典型例題題型一：定義的應用例1、動圓M與圓C1:(x+1)2+y2=36內切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。例2、方程 表示的曲線是題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：1、橢圓：由 , 分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。2、雙曲線：由 , 項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；3、拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。典型例題例1、已知方程x2y2m121表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是m例2、k為何值時,方程x2y21的曲線：(1)是橢圓;(2)是雙曲線.9k5k題型三：圓錐曲線焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題1、橢圓焦點三角形面積Sb2tan；雙曲線焦點三角形面積Sb2cot222、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解3、mn,mn,mn,m2n2四者的關系在圓錐曲線中的應用；典型例題例1、橢圓x2y21(ab0)上一點P與兩個焦點F1，F2的張角∠F1PF2，a2b2求證：△F1PF2的面積為b2tan 。2例2、已知雙曲線的離心率為 2，F1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點， 且 ，1．求該雙曲線的標準方程題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法1、a,b,c 三者知道任意兩個或三個的相等關系式，可求離心率，漸進線的值；2、a,b,c 三者知道任意兩個或三個的不等關系式，可求離心率，漸進線的范圍；3、注重數形結合思想不等式解法 ;典型例題x2y21（a0,b0）的兩焦點，以線段F1F2為邊作正例1、已知F1、F2是雙曲線2b2a三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是例2、雙曲線x2y21（a＞0,b＞0）的兩個焦點為121|=2|PF2a2b2F、F,若P為其上一點，且|PF|,則雙曲線離心率的取值范圍為例3、橢圓G：x2y21(ab0)的兩焦點為F1(c,0),F2(c,0)，橢圓上存在a2b2點M使F1MF2M0.求橢圓離心率e的取值范圍；例4、已知雙曲線x2y21(a0,b0)的右焦點為FF且傾斜角為60的直線與雙a2b2，若過點曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是題型五：點、直線與圓錐的位置關系判斷1、點與橢圓的位置關系2點在橢圓內x2y21；點在橢圓上x2y21；a2b2a2b2點在橢圓外x2y21;a2b22、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題：>0 相交=0 相切 （需要注意二次項系數為 0的情況）<0 相離3、弦長公式：AB1k2x1x21k2(x1x2)1k2aAB11y1y211(y1y2)11k2k2k2a4、圓錐曲線的中點弦問題：1、韋達定理：2、點差法：1）帶點進圓錐曲線方程，做差化簡2）得到中點坐標比值與直線斜率的等式關系典型例題例1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例2、已知中心在原點，對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線 L:x+y=1交于A,B兩點，C是AB的中點，若|AB|=2 2，O為坐標原點，OC的斜率為 2/2，求橢圓的方程。題型六：動點軌跡方程：1、求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；32、求軌跡方程的常用方法：（1）直接法：直接利用條件建立 之間的關系 ；例1、已知動點P到定點F(1,0)和直線 的距離之和等于4，求P的軌跡方程．2）待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程――先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數。例2、如線段AB過x軸正半軸上一點 M（m，0） ，端點A、B到x軸距離之積為 2m，以 x軸為對稱軸，過 A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；例3、由動點P向圓0作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，∠APB=60，則動點P的軌跡方程為例4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_______例5、一動圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動圓圓心的軌跡為(4)代入轉移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程:例6、如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為__________(5)參數法：當動點坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程）。4例7、過拋物線 的焦點F作直線 交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是直線與圓錐曲線的常規解題方法總結：一、設直線與方程；（提醒：①設直線時分斜率存在與不存在；②設為 y=kx+b與x=my+n的區別）二、設交點坐標；（提醒:之所以要設是因為不去求出它 ,即“設而不求”）三、聯立方程組；四、消元韋達定理；（提醒：拋物線時經常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）五、根據條件重轉化； 常有以下類型：①“以弦 AB為直徑的圓過點 0”（提醒：需討論K是否存在）OA OB K1 K2 1 OAOB 0 x1x2 y1y2 0②“點在圓內、圓上、圓外問題”“直角、銳角、鈍角問題” “向量的數量積大于、等于、小于 0問題”x1x2 y1y2>0；③“等角、角平分、角互補問題” 斜率關系（K1 K2 0或K1 K2）；④“共線問題”（如：AQ QB 數的角度：坐標表示法；形的角度：距離轉化法） ；（如：A、O、B三點共線 直線OA與OB斜率相等）；⑤“點、線對稱問題” 坐標與斜率關系；⑥“弦長、面積問題” 坐標與弦長公式問題（ 提醒：注意兩個面積公式的合理選擇） ；六、化簡與計算；七、細節問題不忽略：①判別式是否已經考慮；②拋物線問題中二次項系數是否會出現0.直線與圓錐曲線的基本解題思想總結：1、“常規求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式；2、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解；3、證明定值問題的方法： ⑴常把變動的元素用參數表示出來，然后證明計算結5果與參數無關；⑵也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點問題的方法： ⑴常把方程中參數的同次項集在一起，并令各項的系數為零，求出定點；⑵也可先取參數的特殊值探求定點，然后給出證明5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數，幾何法、配方法（轉化為二次函數的最值）、三角代換法（轉化為三角函數的最值）、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決；6、轉化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優化方法，才能使計算具有可行性，關鍵是積累“轉化”的經驗；7、思路問題：大多數問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來，即可自然而然產生思路。典例1、已知點F0,1，直線l：y1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且QPQFFPFQ．（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）已知圓M過定點D0,2，圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設DAl1，DBl2，求l1l2的最大值．l2l1例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設DM=λ，求λ的取值范圍.DN6x2y21(ab0)的左右焦點。例3、設F1、F2分別是橢圓C：22ab（1）設橢圓C上點(3,3)到點F1、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標；2（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段KF1的中點B的軌跡方程；（3）設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，試探究kPMKPN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論。例4、已知橢圓C的中心在坐標原點， 焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）若直線l:y kx m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點，求證：直線 l過定點，并求出該定點的坐標．例5、已知橢圓兩焦點F1、F2在y軸上，短軸長為22，離心率為2，P是橢圓在第一2象限弧上一點，且PF1PF21，過P作關于直線1PA、PB分別交橢圓FP對稱的兩條直線于A、B兩點。（1）求P點坐標；（2）求證直線 AB的斜率為定值；7典型例題：例1、由①、②解得，xa2．不妨設Aa2,0，Ba2,0，∴l1∴l1l2l12l222a216l2l1l1l2a464③當a0時，由③得，l1l221l2l1

a24，l2a24．22a2282116a22464a4，a64161622．≤218a2642a2當且僅當a22時，等號成立．當a0時，由③得，l1l22．l2l1故當a22時，l1l2的最大值為22．l2l1例2、解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，∵|PAPBQAQB222|+||=||+||=2125＞|AB|=4.∴曲線C為以原點為中心，A、B為焦點的橢圓.8設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=25,∴a=5,c=2,b=1.∴曲線C的方程為x2y2=1.5+ykx(2)設直線l的方程為+2,=代入x2y2=1,得(1+5k2x2kx+15=0.5+)+202k2＞2＞3由圖可知DMx1=(20k)－4×15(1+5)0,得k.λ5DNx2=x1x220k15k2由韋達定理得15x1x215k2將x1=λx2代入得(1)2x22400k2(15k2)2x221155k2兩式相除得(1)2400k28015(15k2)13(5k2)k23,015,5k21520,即480165k233133(k25)4(1)216,DM0,解得13①3DN3x1DM,M在D、N中間，∴λ＜1②x2DN又∵當k不存在時，顯然λ=DM1DN3綜合得：1/3≤λ＜1.

(此時直線l與y軸重合)3)在橢圓上，(3)2(3)2例3、解：（1）由于點(3,21得2a=4,2a2b2橢圓C的方程為x2y2，焦點坐標分別為(1,0),(1,0)?4分413（2）設KF1的中點為B（x,y）則點K(2x1,2y)???????5分9把K的坐標代入橢圓x2y21中得(2x1)2(2y)21???7分43432線段KF1的中點B的軌跡方程為 (x 1)2y 1 ???????8分2 34（3）過原點的直線 L與橢圓相交的兩點 M，N關于坐標原點對稱設M(x0,y0)N( x0, y0), p(x,y),M,N,P在橢圓上，應滿足橢圓方程，得x02y02x2y2a2b21，2b21akPMKPN=yy0yy022=b2y2y022xx0xx0xx0a故：kPMKPN的值與點P的位置無關，同時與直線L無關.例4、解：（Ⅰ）橢圓的標準方程為x2y21．43（Ⅱ）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，ykx，m聯立x2y2得(34k2)x28mkx4(m23)0，431.64m2k216(34k2)(m23)0，即34k2m20，則x1x28mk，34k2x1x24(m223).34k又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23(m24k2)，34k2因為以AB為直徑的圓過橢圓的右焦點D(2，0)，kADkBD1，即y1y21，y1y2x1x22(x1x2)40，x12x223(m24k2)4(m23)16mk40，9m216mk4k20．34k234k234k2解得：m2k，m22k，且均滿足34k2m20，17101、當m12k時，l的方程為yk(x2)，直線過定點，，與已知矛盾；(20)2、當m22k時，l的方程為ykx2，直線過定點2，．7770所以，直線l過定點，定點坐標為2，．7例5、解（1）y2x21F1(0,2),F2(0,2)，設P(x0,y0)(x00,y00)42。則PF1(x0,2y0),PF2(x0,2y0),PF1PF2x02(2y02)1點P(x0,y0)在曲線上，則x02y021.x024y02242從而42y02(2y02)1，得y02，則點P的坐標為(1,2)（2）由（1）知PF1//x軸，直線PA、PB斜率互為相反數，設PB斜率為k(k0)，則PB的直線方程為：