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文檔簡介
2023年中考數學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1.如圖,在⊙O中,直徑AB⊥弦CD,垂足為M,則下列結論一定正確的是()A.AC=CD B.OM=BM C.∠A=∠ACD D.∠A=∠BOD2.多項式4a﹣a3分解因式的結果是()A.a(4﹣a2)B.a(2﹣a)(2+a)C.a(a﹣2)(a+2)D.a(2﹣a)23.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,則圖中相似三角形共有()A.1對 B.2對 C.3對 D.4對4.如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,F是上一點,且,連接CF并延長交AD的延長線于點E,連接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數為()A.45° B.50° C.55° D.60°5.如圖,△ABC中,∠C=90°,D、E是AB、BC上兩點,將△ABC沿DE折疊,使點B落在AC邊上點F處,并且DF∥BC,若CF=3,BC=9,則AB的長是()A. B.15 C. D.96.小軒從如圖所示的二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象中,觀察得出了下面五條信息:①ab>0;②a+b+c<0;③b+2c>0;④a﹣2b+4c>0;⑤.你認為其中正確信息的個數有A.2個 B.3個 C.4個 D.5個7.某學習小組做“用頻率估計概率”的實驗時,統計了某一結果出現的頻率,繪制了如下折線統計圖,則符合這一結果的實驗最有可能的是()A.袋中裝有大小和質地都相同的3個紅球和2個黃球,從中隨機取一個,取到紅球B.擲一枚質地均勻的正六面體骰子,向上的面的點數是偶數C.先后兩次擲一枚質地均勻的硬幣,兩次都出現反面D.先后兩次擲一枚質地均勻的正六面體骰子,兩次向上的面的點數之和是7或超過98.的相反數是()A. B.﹣ C.﹣ D.9.如圖,AD∥BE∥CF,直線l1,l2與這三條平行線分別交于點A,B,C和點D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,則EF的長為()A.4 B..5 C.6 D.810.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,下列結論正確的是()A.a<0 B.b2-4ac<0 C.當-1<x<3時,y>0 D.-=1二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11.如圖,在△ABC中,AB=5cm,AC=3cm,BC的垂直平分線分別交AB、BC于D、E,則△ACD的周長為cm.12.如圖,AB是半徑為2的⊙O的弦,將沿著弦AB折疊,正好經過圓心O,點C是折疊后的上一動點,連接并延長BC交⊙O于點D,點E是CD的中點,連接AC,AD,EO.則下列結論:①∠ACB=120°,②△ACD是等邊三角形,③EO的最小值為1,其中正確的是_____.(請將正確答案的序號填在橫線上)13.如圖,在△ACB中,∠ACB=90°,點D為AB的中點,將△ACB繞點C按順時針方向旋轉,當CB經過點D時得到△A1CB1.若AC=6,BC=8,則DB1的長為________.14.因式分解:x2﹣10x+24=_____.15.當2≤x≤5時,二次函數y=﹣(x﹣1)2+2的最大值為_____.16.已知關于x的方程x2﹣2x+n=1沒有實數根,那么|2﹣n|﹣|1﹣n|的化簡結果是_____.三、解答題(共8題,共72分)17.(8分)如圖所示,點B、F、C、E在同一直線上,AB⊥BE,DE⊥BE,連接AC、DF,且AC=DF,BF=CE,求證:AB=DE.18.(8分)計算.19.(8分)先化簡,再求值:,其中x=,y=.20.(8分)如圖,某數學興趣小組想測量一棵樹CD的高度,他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°,然后沿AD方向前行10m,到達B點,在B處測得樹頂C的仰角高度為60°(A、B、D三點在同一直線上).請你根據他們測量數據計算這棵樹CD的高度(結果精確到0.1m).(參考數據:≈1.414,≈1.732)21.(8分)如圖,已知:△ABC中,AB=AC,M是BC的中點,D、E分別是AB、AC邊上的點,且BD=CE.求證:MD=ME.22.(10分)如圖,△ABC是等邊三角形,AO⊥BC,垂足為點O,⊙O與AC相切于點D,BE⊥AB交AC的延長線于點E,與⊙O相交于G、F兩點.(1)求證:AB與⊙O相切;(2)若等邊三角形ABC的邊長是4,求線段BF的長?23.(12分)我市在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下,大力開展科技扶貧工作,幫助農民組建農副產品銷售公司,某農副產品的年產量不超過100萬件,該產品的生產費用y(萬元)與年產量x(萬件)之間的函數圖象是頂點為原點的拋物線的一部分(如圖①所示);該產品的銷售單價z(元/件)與年銷售量x(萬件)之間的函數圖象是如圖②所示的一條線段,生產出的產品都能在當年銷售完,達到產銷平衡,所獲毛利潤為W萬元.(毛利潤=銷售額﹣生產費用)(1)請直接寫出y與x以及z與x之間的函數關系式;(寫出自變量x的取值范圍)(2)求W與x之間的函數關系式;(寫出自變量x的取值范圍);并求年產量多少萬件時,所獲毛利潤最大?最大毛利潤是多少?(3)由于受資金的影響,今年投入生產的費用不會超過360萬元,今年最多可獲得多少萬元的毛利潤?24.某同學用兩個完全相同的直角三角形紙片重疊在一起(如圖1)固定△ABC不動,將△DEF沿線段AB向右平移.(1)若∠A=60°,斜邊AB=4,設AD=x(0≤x≤4),兩個直角三角形紙片重疊部分的面積為y,試求出y與x的函數關系式;(2)在運動過程中,四邊形CDBF能否為正方形,若能,請指出此時點D的位置,并說明理由;若不能,請你添加一個條件,并說明四邊形CDBF為正方形?
參考答案一、選擇題(共10小題,每小題3分,共30分)1、D【解析】
根據垂徑定理判斷即可.【詳解】連接DA.∵直徑AB⊥弦CD,垂足為M,∴CM=MD,∠CAB=∠DAB.∵2∠DAB=∠BOD,∴∠CAD=∠BOD.故選D.【點睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理,熟知在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關鍵.2、B【解析】
首先提取公因式a,再利用平方差公式分解因式得出答案.【詳解】4a﹣a3=a(4﹣a2)=a(2﹣a)(2+a).故選:B.【點睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正確運用公式是解題關鍵.3、C【解析】∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴△ABC∽△ACD,△ACD∽CBD,△ABC∽CBD,所以有三對相似三角形.故選C.4、B【解析】
先根據圓內接四邊形的性質求出∠ADC的度數,再由圓周角定理得出∠DCE的度數,根據三角形外角的性質即可得出結論.【詳解】∵四邊形ABCD內接于⊙O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°.∵,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°,∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°.【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質,圓周角定理.圓內接四邊形對角互補.在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓心角相等,而同弧所對的圓周角等于圓心角的一半,所以在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等.5、C【解析】
由折疊得到EB=EF,∠B=∠DFE,根據CE+EB=9,得到CE+EF=9,設EF=x,得到CE=9-x,在直角三角形CEF中,利用勾股定理列出關于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出EF與CE的長,由FD與BC平行,得到一對內錯角相等,等量代換得到一對同位角相等,進而確定出EF與AB平行,由平行得比例,即可求出AB的長.【詳解】由折疊得到EB=EF,∠B=∠DFE,在Rt△ECF中,設EF=EB=x,得到CE=BC-EB=9-x,根據勾股定理得:EF2=FC2+EC2,即x2=32+(9-x)2,解得:x=5,∴EF=EB=5,CE=4,∵FD∥BC,∴∠DFE=∠FEC,∴∠FEC=∠B,∴EF∥AB,∴,則AB===,故選C.【點睛】此題考查了翻折變換(折疊問題),涉及的知識有:勾股定理,平行線的判定與性質,平行線分線段成比例,熟練掌握折疊的性質是解本題的關鍵.6、D【解析】試題分析:①如圖,∵拋物線開口方向向下,∴a<1.∵對稱軸x,∴<1.∴ab>1.故①正確.②如圖,當x=1時,y<1,即a+b+c<1.故②正確.③如圖,當x=﹣1時,y=a﹣b+c>1,∴2a﹣2b+2c>1,即3b﹣2b+2c>1.∴b+2c>1.故③正確.④如圖,當x=﹣1時,y>1,即a﹣b+c>1,∵拋物線與y軸交于正半軸,∴c>1.∵b<1,∴c﹣b>1.∴(a﹣b+c)+(c﹣b)+2c>1,即a﹣2b+4c>1.故④正確.⑤如圖,對稱軸,則.故⑤正確.綜上所述,正確的結論是①②③④⑤,共5個.故選D.7、D【解析】
根據統計圖可知,試驗結果在0.33附近波動,即其概率P≈0.33,計算四個選項的概率,約為0.33者即為正確答案.【詳解】解:根據統計圖可知,試驗結果在0.33附近波動,即其概率P≈0.33,A、袋中裝有大小和質地都相同的3個紅球和2個黃球,從中隨機取一個,取到紅球的概率為,不符合題意;B、擲一枚質地均勻的正六面體骰子,向上的面的點數是偶數的概率為,不符合題意;C、先后兩次擲一枚質地均勻的硬幣,兩次都出現反面的概率為,不符合題意;D、先后兩次擲一枚質地均勻的正六面體骰子,兩次向上的面的點數之和是7或超過9的概率為,符合題意,故選D.【點睛】本題考查了利用頻率估計概率,大量反復試驗下頻率穩定值即概率.用到的知識點為:概率=所求情況數與總情況數之比.8、B【解析】
一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號,由此即可求解.【詳解】解:的相反數是﹣.故選:B.【點睛】本題考查了相反數的意義,一個數的相反數就是在這個數前面添上“﹣”號:一個正數的相反數是負數,一個負數的相反數是正數,1的相反數是1.9、C【解析】
解:∵AD∥BE∥CF,根據平行線分線段成比例定理可得,即,解得EF=6,故選C.10、D【解析】試題分析:根據二次函數的圖象和性質進行判斷即可.解:∵拋物線開口向上,∴∴A選項錯誤,∵拋物線與x軸有兩個交點,∴∴B選項錯誤,由圖象可知,當-1<x<3時,y<0∴C選項錯誤,由拋物線的軸對稱性及與x軸的兩個交點分別為(-1,0)和(3,0)可知對稱軸為即-=1,∴D選項正確,故選D.二、填空題(本大題共6個小題,每小題3分,共18分)11、8【解析】試題分析:根據線段垂直平分線的性質得,BD=CD,則AB=AD+CD,所以,△ACD的周長=AD+CD+AC=AB+AC,解答出即可解:∵DE是BC的垂直平分線,∴BD=CD,∴AB=AD+BD=AD+CD,∴△ACD的周長=AD+CD+AC=AB+AC=8cm;故答案為8考點:線段垂直平分線的性質點評:本題主要考查了線段垂直平分線的性質和三角形的周長,掌握線段的垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等12、①②【解析】
根據折疊的性質可知,結合垂徑定理、三角形的性質、同圓或等圓中圓周角與圓心的性質等可以判斷①②是否正確,EO的最小值問題是個難點,這是一個動點問題,只要把握住E在什么軌跡上運動,便可解決問題.【詳解】如圖1,連接OA和OB,作OF⊥AB.
由題知:沿著弦AB折疊,正好經過圓心O
∴OF=OA=OB
∴∠AOF=∠BOF=60°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=120°(同弧所對圓周角相等)
∠D=∠AOB=60°(同弧所對的圓周角是圓心角的一半)
∴∠ACD=180°-∠ACB=60°
∴△ACD是等邊三角形(有兩個角是60°的三角形是等邊三角形)
故,①②正確
下面研究問題EO的最小值是否是1
如圖2,連接AE和EF
∵△ACD是等邊三角形,E是CD中點
∴AE⊥BD(三線合一)
又∵OF⊥AB
∴F是AB中點
即,EF是△ABE斜邊中線
∴AF=EF=BF
即,E點在以AB為直徑的圓上運動.
所以,如圖3,當E、O、F在同一直線時,OE長度最小
此時,AE=EF,AE⊥EF
∵⊙O的半徑是2,即OA=2,OF=1
∴AF=(勾股定理)
∴OE=EF-OF=AF-OF=-1
所以,③不正確
綜上所述:①②正確,③不正確.
故答案是:①②.【點睛】考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半.推論:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑.也考查了垂徑定理.13、2【解析】
根據勾股定理可以得出AB的長度,從而得知CD的長度,再根據旋轉的性質可知BC=B1C,從而可以得出答案.【詳解】∵在△ACB中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴,∵點D為AB的中點,∴,∵將△ACB繞點C按順時針方向旋轉,當CB經過點D時得到△A1CB1.∴CB1=BC=8,∴DB1=CB1-CD=8﹣5=2,故答案為:2.【點睛】本題考查的是勾股定理、直角三角形斜邊中點的性質和旋轉的性質,能夠根據勾股定理求出AB的長是解題的關鍵.14、(x﹣4)(x﹣6)【解析】
因為(-4)×(-6)=24,(-4)+(-6)=-10,所以利用十字相乘法分解因式即可.【詳解】x2﹣10x+24=x2﹣10x+(-4)×(-6)=(x﹣4)(x﹣6)【點睛】本題考查的是因式分解,熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵.15、1.【解析】
先根據二次函數的圖象和性質判斷出2≤x≤5時的增減性,然后再找最大值即可.【詳解】對稱軸為∵a=﹣1<0,∴當x>1時,y隨x的增大而減小,∴當x=2時,二次函數y=﹣(x﹣1)2+2的最大值為1,故答案為:1.【點睛】本題主要考查二次函數在一定范圍內的最大值,掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵.16、﹣1【解析】
根據根與系數的關系得出b2-4ac=(-2)2-4×1×(n-1)=-4n+8<0,求出n>2,再去絕對值符號,即可得出答案.【詳解】解:∵關于x的方程x2?2x+n=1沒有實數根,∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(n-1)=-4n+8<0,∴n>2,∴|2?n|-│1-n│=n-2-n+1=-1.故答案為-1.【點睛】本題考查了根的判別式,解題的關鍵是根據根與系數的關系求出n的取值范圍再去絕對值求解即可.三、解答題(共8題,共72分)17、證明見解析【解析】試題分析:證明三角形△ABC△DEF,可得=.試題解析:證明:∵=,∴BC=EF,∵⊥,⊥,∴∠B=∠E=90°,AC=DF,∴△ABC△DEF,∴AB=DE.18、【解析】分析:先計算,再做除法,結果化為整式或最簡分式.詳解:.點睛:本題考查了分式的混合運算.解題過程中注意運算順序.解決本題亦可先把除法轉化成乘法,利用乘法對加法的分配律后再求和.19、x+y,.【解析】試題分析:根據分式的減法和除法可以化簡題目中的式子,然后將x、y的值代入即可解答本題.試題解析:原式===x+y,當x=,y==2時,原式=﹣2+2=.20、這棵樹CD的高度為8.7米【解析】試題分析:首先利用三角形的外角的性質求得∠ACB的度數,得到BC的長度,然后在直角△BDC中,利用三角函數即可求解.試題解析:∵∠CBD=∠A+∠ACB,∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°,∴∠A=∠ACB,∴BC=AB=10(米).在直角△BCD中,CD=BCsin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7(米).答:這棵樹CD的高度為8.7米.考點:解直角三角形的應用21、證明見解析.【解析】試題分析:根據等腰三角形的性質可證∠DBM=∠ECM,可證△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解題.試題解析:證明:△ABC中,∵AB=AC,∴∠DBM=∠ECM.∵M是BC的中點,∴BM=CM.在△BDM和△CEM中,∵,∴△BDM≌△CEM(SAS).∴MD=ME.考點:1.等腰三角形的性質;2.全等三角形的判定與性質.22、(2)證明見試題解析;(2).【解析】
(2)過點O作OM⊥AB于M,證明OM=圓的半徑OD即可;(2)過點O作ON⊥BE,垂足是N,連接OF,得到四邊形OMBN是矩形,在直角△OBM中利用三角函數求得OM和BM的長,進而求得BN和ON的長,在直角△ONF中利用勾股定理求得NF,則BF即可求解.【詳解】解:(2)過點O作OM⊥AB,垂足是M.∵⊙O與AC相切于點D,∴OD⊥AC,∴∠ADO=∠AMO=90°.∵△ABC是等邊三角形,∴∠DAO=∠MAO,∴OM=OD,∴AB與⊙O相切;(2)過點O作ON⊥BE,垂足是N,連接OF.∵O是BC的中點,∴OB=2.在直角△OBM中,∠MBO=60°,∴∠MOB=30°,BM=OB=2,OM=BM=,∵BE⊥AB,∴四邊形OMBN是矩形,∴ON=BM=2,BN=OM=.∵OF=OM=,由勾股定理得NF=.∴BF=BN+NF=.考點:2.切線的判定與性質;2.勾股定理;3.解直角三角形;4.綜合題.23、(1)y=x1.z=﹣x+30(0≤x≤100);(1)年產量為75萬件時毛利潤最大,最大毛利潤為1115萬元;(3)今年最多可獲得毛利潤1080萬元【解析】
(1)利用待定系數法可求出y與x以及z與x之間的函數關系式;(1)根據(1)的表達式及毛利潤=銷售額﹣生產費用,可得出w與x的函數關系式,再利用配方法求出最值即可;(3)首先求出x的取值范圍,再利用二次函數增減性得出答案即可.【詳解】(1)圖①可得函數經過點(100,1000),設拋物線的解析式為y=ax1(a≠0),將點(100,1000)代入得:1000=10000a,解得:a=,故y與x之間的關系式為y=x1.圖②可得:函數經過點(0,30)、(100,10),設z=kx+b,則,解得:,故z與x之間的關系式為z=﹣x+30(0≤x≤100);(1)W=zx﹣y=﹣x1+30x﹣x1=﹣x1+30x=﹣(x1﹣150x)=﹣(x﹣75)1+1115,∵﹣<0,∴當x=75時,W有最大值1115,∴年產量為75萬件時毛利潤最大,最大毛利潤為1115萬元;(3)令
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