小學數學學習心理學學生第一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日內容結構先前知識

元認知、非認知因素、兒童心理特征、學習環境、評價……

數學學習論通識知識（主體）

數學概念的理解、數學技能的習得、數學問題解決、數與運算的學習、幾何學習、代數學習、統計與概率學習數學學習論拓展問題

（章節后的研討問題）第二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：元認知問題：

1.什么是元認知？包含哪些成份？其核心成份是什么？各成份之間具有怎樣的關系？并舉例。

2.培養小學生元認知監控能力的策略有哪些？為什么？并舉例。

……第三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：非認知因素為學正如上水船，方平穩處，盡行不妨，及到灘脊急流之中，舟人來這上一篙，不可放緩。直須著力撐上，不一步不緊。放退一步，則此船不得上矣。

——朱熹：《朱子語類》

在科學上面沒有平坦的大路可走，只有那在崎嶇小路的登攀上不畏勞苦的人，才有希望達到光輝的頂點。

——馬克思：《資本論》法文版序言第四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：非認知因素問題：

1.什么是非認知因素？

2.非認知因素對學習有什么作用？

3.描述一個關于非認知因素的教育故事。

……第五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日先前知識梳理：兒童的心理特征問題：

1.兒童的認知規律？并舉例

2.兒童如何對待別人的評價？并舉例

3.兒童的心理特點？并舉例

……第六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解什么是數學概念從數學本身的發展看，數學概念一是反映直接從客觀事物的數量關系和空間形式，二是反映在抽象的數學理論基礎上再經過多級抽象的結果。第七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解數學概念的基本特征

1.概念發展的抽象性

1）數學抽象的特點：只保留量的關系和空間形式而舍棄了其它一切；數學的抽象是一級一級逐步提高的，所達到的抽象程度大大超出其他學科中的一般抽象；數學本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關系的圈子之中，如果自然科學家為了證明自己的論斷常常求助于實驗，那么數學家證明定理只需用推理和計算，……這樣看來，不僅數學的概念是抽象的、思辨的，而且數學的方法也是抽象的、思辨的（亞歷山大洛夫Alexanderlov，1988）第八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解數學概念的基本特征

1.概念發展的抽象性

2）數學概念并非一開始就是精確的，有一個抽象化和精致化的過程：（拉卡托斯lakatos，1976）產生一個模糊的想法；

嘗試對這個想法用語言進行描述；通過形式的定義得到初步的概念；

嘗試由定義給出具體的例子、推出某些性質、驗證相關定理、尋找等價或者相似的對象；對原先的定義進行修正以排除不合理的推論；

調整、變更或者拓展對概念的理解，以便適應新的可能性第九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解數學概念的基本特征

2.概念表征的多元性

表征：用某種形式將事物或想法重新表現出來，以達到交流的目的；根據信息加工理論，表征就是以一物代替另一物。第十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解

數學概念的基本特征

2.概念表征的多元性

萊什等人認為，學生必須具備下列條件才算了解了一個概念：

1）必須能將此概念放入各種不同的表征系統中；

2）在給定的表征系統中，必須能夠有彈性地處理這個概念；

3）必須很精確地將此概念從一個表征系統轉換到另一個表征系統。第十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解

數學概念的基本特征

3.概念理解的層次性

概念抽象的逐步性以及概念表征的多元性，一定程度都反映了數學概念理解的層次性。

數學概念學習可分為五個階段（克勞斯梅爾Klansmeier，等人）

具體期：學生能理解一個先前經驗過的例子；

確認期：可以了解一個之前遭遇的例子，即使這個例子是由不同時空觀點或不同形式來觀察的；

分類期：能夠舉出正例和反例；

生產期：可以自行舉出關于此概念的例子；

形成期：可以說出此概念的定義。斯根普（skemp）：初級概念（直接由感知得到）

二級概念（初級概念再抽象）第十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解

數學概念的基本特征

4.概念聯結的系統性

數學概念的前三個特征直接導致了它的第四個特征，即數學概念具有廣泛的聯系性。這里的聯系既包括概念與背景的聯系，也包括概念之間的聯系；既有縱向的聯系，也有橫向的聯系。因此，數學概念都被嵌入到組織良好的概念體系中。這樣，個別概念的意義總有部分是來自與其他概念的相互關系，或出自系統的整體特征（Lesh,1979）。

第十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解

兒童產生錯誤概念的原因及解決辦法

錯誤概念形成的原因可能是：（1）從直接的實際經驗或日常生活經驗和觀察得來；（2）由通常的用語或隱喻的使用得來；（3）由正式或非正式的教學而來；（4）同伴的影響而來；（5）來自教科書的內容或教師的教學過程；（6）由字義的聯想、混淆、沖突或缺乏知識。（Sutton&West,1982）第十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解

兒童產生錯誤概念的原因及解決辦法

從邏輯上看，錯誤概念的類型主要有以下三種（Markle&Tiemann,1970）：

兒童錯誤概念的解決辦法：

1.前兩種是由于對概念的內涵把握得不夠準確，從而縮小或擴大了概念的外延，解決辦法：分別找到相應的正、反、特例；

2.第三種則是由于對概念內涵的理解出現了偏離，從而形成了交叉外延，解決辦法：必須同時指出交集以外的正反、特例。概念（1）類化不足（2）過度類化（3）概念偏離第十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解概念理解的評價途徑用于評價學生的概念理解的途徑比較多，其中包括測試（包括標準化測試）、問卷、訪談、出聲思維，等等。近年來，隨著動態評價方式的流行，概念圖逐漸成為評價學生概念理解的重要手段，在數學領域也不例外。（1）什么是概念圖（conceptmap）概念圖最早由美國康奈爾大學的諾瓦克（JosephD.Novak）教授等人于20世紀60年代提出，即用圖式的方法來表達人們頭腦中的概念、思想、理論等，把人腦中的隱形知識顯性化、可視化，便于人們思考、交流、表達。概念圖又稱為概念構圖或概念地圖。第十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解

概念理解的評價途徑

（3）概念圖的圖表結構節點（結點）：方框中的概念聯結線：表示兩個概念之間的意義聯系聯結詞：置于連線上的兩個概念之間形成命題的聯系詞概念圖軟件Inspiration

第十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解概念理解的評價途徑

（4）概念圖計分方法簡介成份結構評分法

1）關系：一個有效且有意義的聯結關系，給予一分；

2）階層：每一個有效的階層，給予五分；

3）交叉聯結：概念圖中某概念階層的一部分和另一階層的部分概念間呈現有意義的聯結。一個重要且有效的交叉聯結，給予十分，有效但不能指出相關概念（或命題）所組成的交叉聯結，則給予兩分；

4）舉例:根據自己理解，舉出特殊且具代表性的例子（非現成例子）。舉出一個例子，給予一分。

總分越高，表示學生概念學習越好。其他：相似度評價法（學生與專家的概念圖比較）綜合評定法（綜合運用基于成份和基于專家圖匹配的兩種方法）第十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學概念的理解思考題：數學概念表征的意義何在？根據你的了解，舉一個學生數學概念錯誤的例子，說明屬于什么類型，并找出解決辦法。根據數學概念的特征和兒童數學概念的形成途徑，你認為小學數學概念教學有哪些有效策略？請舉例。你認為用概念圖評價學生數學概念的掌握情況的優勢和不足是什么？根據本專題內容，畫出你的概念圖。

你還能提出什么問題？第十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得什么是技能和數學技能數學技能的基本特征

中小學課程中的數學技能

數學技能的形成第二十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得什么是技能和數學技能

在認知心理學中，技能一般被看作是按照固定步驟進行，利用常規思路順利完成某種任務的一種動作或心智活動方式。數學技能是指，在數學學習過程中通過訓練得以順利完成數學學習任務的一種行動方式或心智行動方式。也可以說，是通過數學練習在個體上固定下來的自動化活動方式。據其本身性質和特點，數學技能可以分為操作技能（動作技能）和心智技能（智力技能）兩種類型。第二十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得數學技能的基本特征

1.數學操作技能的特征

操作性數學技能是指數學活動中由一系列實際動作以合理、完善的程序構成的操作活動方式。三個基本特征：外顯性客觀性非簡約性第二十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得數學技能的基本特征

2.數學心智技能的特征

數學心智技能（認知性數學技能），是指借助內部語言在頭腦中按一定的、合理的、完善的方式自動地進行數學認知活動的方式。有以下特點：直接對象是抽象的數學概念、命題與表象，而不是具有物質形態的客觀對象；主體的變化具有很強的內隱性；心智活動的簡縮性；

第二十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

1.國外數學課程中的技能美國：注重在課程文件中強調數學技能的是加州數學課程標準與框架（比NCTM更重視），規定在12年的中小學數學學習中必須熟練技能：能正確算出加法、減法、乘法和除法的答案；能正確找出等值的分數、小數和百分比；能運用分數、小數和百分比；能測量；能計算出簡單圖形的周長和面積；能解釋日常生活中遇到的圖表；第二十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

1.國外數學課程中的技能美國：注重在課程文件中強調數學技能的是加州數學課程標準與框架（比NCTM更重視），規定在12年的中小學數學學習中必須熟練技能：能從日常生活中的一組數據找出中位數和平均數；能運用科學記號表示非常大或非常小的數；能運用基本幾何性質，包括畢達哥拉斯定律；能根據已知兩點，找出通過這兩個點的線性方程式；能解出線性方程式和線性方程式組的解；等等第二十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

2.中國數學“雙基”之一的數學基本技能數學運算技能：符號操作技能：圖形處理技能：數據分析技能：推理論證技能：數學交流技能：第二十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（1）數學思維的含義數學思維是人腦和數學對象（空間形式、數量關系、結構關系等）交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的內在理性活動。數學思維是一個從外感到內化的交互作用過程，是認知主體將外部材料轉化為內部材料的信息增殖過程，也是從感性認識上升到理性認識、從感性材料轉化為理性材料以及理性材料不斷純化和多樣化的前進過程。

第二十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維

（2）數學思維的特點

概括性、問題性（3）數學思維方式

思維方式：是內化于人腦中的世界觀和方法論的理性認識方式，是體現一定思維心智方法和思維內容的思維模式。

數學思維方式：就是在數學思維過程中，主體進行數學思維活動的相對定型、相對穩定的思維樣式。它是數學思維心智方法與數學思維形式的統一，并且通過一定的數學思維內容體現出來。第二十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

1）集中思維與發散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）指調動各種信息（已知的或回憶的），按照常規習慣尋求解決問題、整理知識或總結方法的思維方式。（1）特點

思路集中，所有信息都朝向一個目標深入發展，以生成新信息。在思維方向上具有定向性、層次性和聚合性；在思維內容上具有求同性和專注性。通常較多采用分析、綜合、概括等思維心智操作方法。第二十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

1）集中思維與發散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）（2）分類

1）定向思維（正向思維）：連續性、漸進性和聯結性由定向思維所造成的思維的趨向性或專注性的狀態就稱為思維定勢。思維定勢有正遷移和負遷移作用。第三十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

1）集中思維與發散思維

集中思維（聚合思維、收斂思維）（2）分類

2）縱向思維把思維目標沿著逐步深入的方向分成若干前后聯系的小目標（中途點或環節），通過小目標的逐個解決達到解決大目標的思維方式。思維的連續性、漸進性和聯結性，但更強調思維環節之間的層次性和因果性。第三十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

1）集中思維與發散思維發散思維（輻射思維）（1）特點思路廣闊、尋求變異，對已知信息通過轉換或改造進行擴散、派生以形成各種新信息。在思維內容上，具有變通性和開放性；在思維方向上，具有逆向性、側向性（橫向性）和多向性。第三十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

1）集中思維與發散思維發散思維（輻射思維）

（2）分類逆向思維：是發散思維的重要形式。思維過程的間斷性、突變性和反聯結性。側向（橫向）思維：數形結合等多向思維：在數學課堂教學中，多向思維過程主要有三種基本體現形式：一題多解、一法多用、一題多變。第三十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維

抽象邏輯思維（1）含義

以詞語過程進行表達，以概念、判斷、推理為其基本形式，以比較與分類、抽象與概括、分析與綜合等邏輯方法為其基本心智操作方法的思維方式。邏輯思維是數學思維的核心。第三十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

1）概念：是事物本質屬性的反映，邏輯思維最基本的思維形式數學概念形成的思維過程：（對多個數學對象進行）感知辨認——（在人腦中形成）個別表象——（通過）思維加工（從若干思維表象）分化（出它們的）各種屬性——（再通過）比較（得出）共同屬性——形成一般表象——（并在思維的）抽象概括下，確認（此類事物）本質屬性——（最后通過）詞語表達形成概念——（部分可）簡化為符號形式。第三十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

2）判斷：是邏輯思維在概念基礎上的發展，表現為對概念的性質或關系有所肯定或否定，是認識概念間聯系的思維形式。數學中的判斷又稱為數學命題，是用語言、符號或式子表達數學判斷的語句。如公里、公設、定理等就是真實的數學命題。第三十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維抽象邏輯思維

（2）基本形式

3）推理：從一個或幾個已知判斷推出另一個判斷的思維形式。是對判斷間邏輯關系的認識。數學推理指由已知的數學命題得出新命題的思維形式，是嚴格推理，即每前進一步都有依據，由此探尋數學中的各種因果關系，表現出數學邏輯思維的嚴謹性。最常用數學推理包括演繹推理和歸納推理。第三十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維（1）含義依靠對形象材料（指客觀事物的整體在人腦中形成的表象）的意識領會得到理解，以表象、直感和想象為其基本形式，以觀察與實驗、聯想、類比、猜想等為其基本心智操作方法的思維形式。形象思維是數學思維的先導。第三十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數學形象思維的基本形式

1)表象：人們對當前沒有直接作用于感覺器官的、以前感知過的事物形象的反映。個別表象一般表象數學表象第三十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數學形象思維的基本形式

1)表象：表象的兩個重要特征：直觀性：指表象中重現的事物形象具有一定程度的生動逼真性，與客觀事物本身相近似，有“如見其形”之感。概括性：指表象所包含的內容，是同類事物主要的表面特征綜合的結果。第四十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數學形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運用表象對具體形象的直接判別和感知。數學直感是在數學表象的基礎上對有關數學形象的特征判別。

A．形象識別直感：用數學表象這個類象的特征去比較具體數學對象的個象，根據形象特征整合的相似性來判別個象是否與類象同質的思維形式.第四十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數學形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運用表象對具體形象的直接判別和感知。數學直感是在數學表象的基礎上對有關數學形象的特征判別。

B．模式補形直感：利用主體已經在頭腦中建構的數學表象模式，對具有部分特征相同的數學對象進行表象補形，實施整合的思維形式。這是由部分形象去判斷整體形象、或由殘缺形象補全整體形象的直感。幾何補形、代數補形第四十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數學形象思維的基本形式

2）直感（insight）：

運用表象對具體形象的直接判別和感知。數學直感是在數學表象的基礎上對有關數學形象的特征判別。

C．形象相似直感：以形象識別直感和模式補形直感為基礎的復合直感。在數學問題解決中表現為問題的變更和轉化。例如，做輔助線，配方法、拆添項法、構造法等第四十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維形象思維

（2）數學形象思維的基本形式

3）想象：在頭腦中對已有表象經過結合和改造，產生新表象的思維過程。想象的基本材料是表象，基本手段是直感。數學想象是似真推理（合情推理）的基本成分。想象的重要性還在于它是創造性思維的重要成分。

討論：請發表你對數學形象思維的認識和看法。第四十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維直覺思維

（1）含義：直覺思維是客觀存在的一種思維形式，是一種以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題實質的思維。（2）主要特征：能在一瞬間迅速解決問題。簡約性、創造性、自信力第四十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維直覺思維

（3）分類

1）直覺：運用有關知識組塊（知識的濃縮、形象的結晶）和形象直感對當前問題進行敏銳的分析、推理，并能迅速發現解決問題的方向或途徑的思維形式。特征：經驗性、迅速性、跳躍性（直覺思維的本質特征）、或然性。數學直覺一方面是形象直感的擴大，另一方面是邏輯推理過程的壓縮。直覺的跳躍性是邏輯性與非邏輯性的矛盾統一。

第四十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

2）邏輯思維、形象思維和直覺思維直覺思維

（3）分類

2）靈感（頓悟）：表現為人們對長期探索而未能解決的問題的一種突然性領悟，也就是對問題百思不得其解后的一種“茅塞頓開”。特征：突發性、偶然性、模糊性、非邏輯性。第四十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

高層次數學思維技能目前已成為最活躍的數學教學與研究領域。并無統一定義，被引用最多的是瑞思尼克（Resnick,1987）的研究：思維是處理抽象事物以及發現事物基本原理的過程，不只停留在事實和知識或個別案例的具體水平上。在這個過程中包含了諸如分類、歸納、演繹和推理等心智操作。第四十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

高層次數學思維技能可以從五個方面對高層次數學思維加以區分（周超，2003）

深刻性：對數學概念理解透徹，有合理的概念圖；……能運用分析、比較、概括等心智操作；……在解決問題后能夠主動尋找具有普遍意義的方法、模式，并能夠遷移和推廣。第四十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

高層次數學思維技能可以從五個方面對高層次數學思維加以區分（周超，2003）

靈活性：起點靈活，能從與題目相關的各種角度和方向考慮問題，能運用多種方法解決問題，這些方法在質上不同；思維轉向比較容易、迅速，……；思維過程善于轉化，很容易化生為熟，……。第五十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

高層次數學思維技能可以從五個方面對高層次數學思維加以區分（周超，2003）

獨創性：獨立思考，能從與眾不同的“新”角度觀察，能在“平常”信息中發現不尋常之所在；……不受常規限制和束縛，富于聯想，……思維活躍，經常產生有別于常規、正統、創造性的想法。第五十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

高層次數學思維技能可以從五個方面對高層次數學思維加以區分（周超，2003）

批判性：不盲從，不附和，……，能堅持自己合理的看法，但在發現自己的錯誤時，愿意糾正并接受其中的教訓；……能評估信息資源的可靠性，判斷從一個結論導出另一個結論的充分性，可以發現他人解題過程或結論中的錯誤；……能對解題過程全程監控，進行有意識的自我調節，修正過程和結論。第五十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

中小學數學課程中的數學技能

3.數學思維（方式）

高層次數學思維技能可以從五個方面對高層次數學思維加以區分（周超，2003）

敏捷性：能較快且正確完成對題目的文字理解；能自覺運用簡便方法；……能迅速判別題目模式，從而縮短解題時間：……能迅速判斷，在時間緊迫情況下做出是否放棄解決此題的決策。五個方面相互聯系、滲透的統一體。深刻性是基礎，靈活性和獨創性在深刻性基礎上發展；批判性以深刻為基礎，又直接制約獨創性；敏捷性則以其余四個因素為前提，只有正確領會知識、把握問題實質，達到融會貫通，才能有真正的敏捷性。第五十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

數學技能的形成

1、操作性技能的形成過程

動作的定向階段：通過視覺形成為達到某一目的如何展開與調節操作活動的表象與概念，在頭腦里初步建立起操作的自我調節機制，通過對“做什么”和“怎么做”的了解而明確實施數學活動的程序與步驟。

動作分解階段：是操作技能進入實際學習的最初階段，把某項數學技能的全套動作分解成若干單項動作，在老師的示范下依次模仿練習，從而掌握局部動作的活動方式。第五十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

數學技能的形成

1、操作性技能的形成過程

動作的整合階段：把所掌握的各個局部動作按照一定的順序聯結起來，使形成一個連貫而協調的操作程序，并固定下來。

動作的熟練階段：是動作技能形成的最后階段，通過練習而形成的數學活動方式能適應各種變化情況，其操作表現出高度完善化的特點。第五十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

數學技能的形成

2、認知性數學技能的形成過程

認知定向：主要讓學生了解并記住與活動任務有關的知識，明確活動的過程和結果，在頭腦中形成活動本身及其結果的表象。主要任務是在頭腦里確定心智技能的活動程序，并讓這種程序的動作結構在頭腦里得到清晰的反映。

具體化模仿：把在頭腦里已初步建立的活動程序以外顯的操作方式付諸執行。通常教師采用語言指導和操作提示相結合的方式。第五十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

數學技能的形成

2、認知性數學技能的形成過程

言語化模仿：學生運用自己的口頭語言表述進行模仿訓練，后期，往往通過默想的方式進行。這一活動水平的出現，標志著學生的活動已開始向智力化活動水平轉化。

內化：該階段，學生的智力活動過程有了高度的濃縮和簡化，整個過程達到完全自動化的水平。

數學技能自動化的幾個顯著特點：快速、不費力、自主刻板、無意識。第五十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得思考題你認為目前中小學數學教學中，哪些數學思維方式并沒有得到足夠的重視？為什么？舉例說明。你認為促進數學技能形成的重要條件與措施是什么？你如何解讀“熟能生巧”？你認為“孰能生笨”、“孰能生厭”嗎？你認為如何有效培養學生的數學思維？以形象思維、發散思維為例進行說明在信息時代，哪些數學技能更為重要？如何在小學教學中培養學生的技能？

你還能提出什么問題？第五十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學技能的習得

如何解讀“熟能生巧”？你認為“孰能生笨”、“孰能生厭”嗎？李士锜教授發表于《數學教育學報》三篇文章：

《熟能生巧嗎？》《熟能生笨嗎？——再談熟能生巧問題》《孰能生厭嗎？——三談熟能生巧問題》第五十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學問題解決數學問題解決的教學目標作為數學教學的三大基本任務之一，數學問題解決的教學擔負著數學課程的許多重要目標，主要包括以下四個方面：

1.學生成為優秀的數學問題解決者好的問題解決者應具備的素養（顧泠沅，2003）（1）較為廣博的知識，形成很好的數學結構（2）較為豐富的解題經驗，并能根據實際情況綜合、靈活、創造性地加以應用（3）較好的自我調節能力，敢于堅持，大膽否定，富有信心第六十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學問題解決數學問題解決的教學目標（4）能自覺抵制和糾正不正確的觀念，并逐漸形成“分析和理解（結構和結構關系）”、“觀察和思考”的偏好（5）較好的“解題胃口”，并獲得真正的樂趣（6）傾向于從結構出發探索事物的數學特征，從而進行抽象和一般化；善于尋找多種解題途徑，進而建立新的聯系、發現新的元素、形成新的問題（7）傾向于猜想和探索，進而檢驗猜想、推理論證，或者在反例的基礎上放棄猜想；能運用不同策略解決問題，并運用于心的情境，并逐漸形成特定的數學思維模型，包括模型化、抽象化、最優化、邏輯分析、數據推理和符號運用。第六十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學問題解決數學問題解決的教學目標

作為數學教學的三大基本任務之一，數學問題解決的教學擔負著數學課程的許多重要目標，主要包括以下四個方面：

2.幫助學生增進對數學的理解

NCTM在美國2000年數學課程標準中指出：“解決問題的能力不僅是數學學習的目的，也是一種主要的學習形式。當學生運用問題解決的途徑去研究數學內容時，他們可以發展新的數學理解，強化運用所學數學知識的能力?！?/p>

另外，Kilpatrick（1985）,James等人（1993）的研究也表明，問題解決有助于學生的數學理解。第六十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學問題解決數學問題解決的教學目標

作為數學教學的三大基本任務之一，數學問題解決的教學擔負著數學課程的許多重要目標，主要包括以下四個方面：

3.學會數學式的思維

Schoenfeld認為，要通過問題解決培養學生的數學思維，首先必須選擇一個合適的有真正數學味道的問題，這種問題的一個特征是：在解答過程中可以產生新的數學問題，由此得出一連串的數學問題。例：方程和等式之間是怎樣的關系？什么是方程？什么是等式？方程是不是等式？等式是不是方程？第六十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學問題解決數學問題解決的教學目標

作為數學教學的三大基本任務之一，數學問題解決的教學擔負著數學課程的許多重要目標，主要包括以下四個方面：

4.幫助學生形成正確的數學信念

Schoenfeld1994年曾做過一個教學實驗：“數學權威在哪里？”學生數學信念的轉化進程：老師是仲裁者→數學論斷是否正確并不是哪個人說了算，而是數學本身的原因→討論重點轉移到：什么是有說服力的數學論據（首先說服自己；然后說服你的朋友；然后說服你的敵人），明白正確的理解、判斷的涵義，學會數學交流→自己尋找證據，而不是依賴老師的仲裁第六十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學問題解決

數學問題解決的教學模式目前，數學問題解決教學有以下幾種流行模式：

1.樣例學習（例中學）

2.學徒式教學

3.基于問題的學習

4.專題學習

5.發現式學習

6.變式教學第六十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數學問題解決

思考題影響數學問題解決的主要因素有哪些？查閱資料更多了解數學問題解決的幾種教學模式。你認為教學實踐中數學問題解決教學存在什么問題？如何解決？舉例說明？你認為在數學問題解決教學中如何實現上述四個目標？除了上述問題，你還能提出什么問題？第六十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展估算技能與算法思想的形成算數中的問題解決數與運算的教學第六十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成從心理學研究來看，主要集中在有理數、特別是自然數上，有關無理數和虛數的研究寥寥無幾.（Zazkis&Sirotic,2004）有理數概念是學生在小學階段遇到的最重要也是最復雜的概念之一。

第六十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

有理數概念的重要性主要體現在以下方面（Lesh&Lando,1990）：1）從實踐方面看，能有效處理這些概念將大大改進兒童理解和把握現實世界中的情況和問題的能力；2）從心理學角度看，有理數概念為兒童提供了一個豐富的領域，使他們能夠形成和擴展那些今后智力發展所必需的智力結構；3）從數學的角度看，有理數概念的掌握為以后初等代數運算提供了可靠的基礎。第六十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（1）自然數

有關自然數概念的研究主要來自皮亞杰的工作，他認為學習自然數概念的基礎是數守恒（numberconservation）的概念。數守恒概念主要有以下三個特點：

1）相互性：(增加部分能抵消減少部分。矮寬和高窄杯）

2）同一性：(水倒入不同的容器）

3）逆反性:(杯中的水倒入不同容器，可再回到原來的杯中)第七十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（1）自然數兒童對數概念的認識有三個發展階段：

1）4-5歲，對數概念無法理解，無法運用一對一的對應關系去建構兩組有同樣數目的實物，通常用實物的長度是否相同來判定兩組數目是否相等2）5-6歲是過渡時期，會運用一對一關系建構同等數，但當這個關系被破壞，便認為兩組實物非同數，即無法保留自己建構的同等性，對一對一的關系沒有充分理解3）6歲半以后，對數概念真正理解，已經能用各種方法建構同等性。第七十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（2）位值位值是小學階段比較難學的概念之一，涉及一系列復雜的想法及關系。從20世紀70年代開始，位值概念就是數學教育心理學的一個研究熱點，其中一些重要的研究成果包括：

1）貝德納茲和詹妮弗（Bednarz&Janvier,1982）的研究：學生把“個、十、百”的位值含義更多地根據位值的順序來理解，而不是根據十倍的分組順序；學生把借位的含義解釋為“刪去一個數位，拿走一個，在下一數位上加一”，而不是重新分組的一個手段。第七十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（2）位值

2）整數和小數之間的位值聯系（或相似）對學習是有利的，但是兒童通常只注意整數方面的而未能適應小數方面的（Hiebert,1992）例如，0.56大于0.7；0.56讀作“點五十六”等；“更多位”的小數更大為了減少位值概念的教學困難，一些教輔工具和軟件應運而生：狄氏多層算數積木、

unifix軟件

“分群與位值軟件”

……第七十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（3）分數

在分數概念形成過程中，有幾個關鍵的因素（Piageteral.,1960）

1）對單位量的認知：一盒雞蛋10個，能夠把1/5盒視為10個雞蛋五等份中的一份，就是2個雞蛋；

2）具有等分割的概念

3）理解部分與整體的關系第七十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（4）小數由于小數與分數和整數之間分別具有不少相同之處，小數的學習或多或少受到分數或整數的影響。小數概念形成有兩條基本途徑：

1）通過分數的“部分與整體”的關系。有限小數是分數的特例；一位小數是記錄十分之幾的分量；兩位小數是記錄百分之幾的分量；

……

第七十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（4）小數

2）利用整數的位值概念。任何非負整數皆可用展開式表示：a3a2a1a0

在此記錄系統下，個位是記錄幾個一的位置，其位值是1；以個位為基準點，往左一位是十位，記錄幾個十，位值是10；再往左一位是百位，記錄幾個百，其位值是100，以此類推，無限延伸……

同樣，個位也能向右延伸，將指數范圍擴大至負整數。個位是基準點，，向右一位是除以10的結果，再往右擴展一位是除以100的結果……

利用位值往右擴展的結果，有了新符號（小數符號）及新位名的產生：十分位、百分位、千分位……第七十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

2、數概念的形成

（5）負數在使用負數和它的運算方面，中國在世界上處于遙遙領先的地位，2000多年前，《九章算術》的“方程”章中就引入了負數概念和正負數加減法的運算法則。印度是628年左右提出負數。而歐洲晚得多，也困難得多，有關“負數是不是數”的辯論延續了幾百年后才逐漸取得比較一致的看法：負數和零、正數一樣，也是數。在負數概念的教學中，中國學生似乎并沒有遇到像西方學生那樣多的困難。目前，對于在小學階段引入負數概念，是否會給學生帶來困難并對后繼的數學學習產生負面影響，仍然缺乏深入研究。第七十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數概念與數意識的形成與發展

3、數意識的形成與發展

數意識（numbersense）的認識和解釋并不統一，一些代表性說法

NCTM2000：1）了解數字及其表征的方法、數字之間的關系和數字系統；

2）了解運算的意義亦即運算之間的關聯性；

3）流利地計算并做合理的估算。（對運算的要求有了明顯提高）中國新課程：1）理解數的意義，能用多種方法表示數；

2）能在具體情境中把握數的相對大小關系；

3）能用數來表達和交流信息；

4）能為解決問題而選擇適當的算法；

5）能估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋。第七十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算估算技能與算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算（computationalestimation）在西方各國早就是中小學數學的教學內容，中國則是首次在課程標準中出現。（與數學運用有關；與數意識密切相關）

一個好的估算者至少擁有三種策略（Sowder,1992）

1)重組（reformulation）：改變數字數據以方便心算；

2）轉換（translation）：把原結構轉化成更易處理的形式；

3）調整（compensation）：計算中及計算后，可調整估計值至較接近的近似值。

第七十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算估算技能與算法思想的形成

1、估算技能的形成

估算技能形成的影響因素

1）思維的靈活性，對位值、基本的數常識、運算的性質和數字的比較有很好的理解。

2）心算（mentalcomputation）能力與估算能力密切相關。心算不是指在腦中做快速計算，而是要求學生仔細查看題目中的數字，考慮數字的意義，并能了解運算中某一部分的改變會有什么影響。因此，心算需要反省，需要理解數字，進而擴扎對數字的更深入理解。心算是培養數意識和估算技能的方法。

3）估算能力和計算能力之間并沒有很高的相關性，研究發現，計算能力強的學生其估算能力并不一定高。第八十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算估算技能與算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

算法（algorithm）一詞出現于12世紀。意指以有限的步驟解決數學問題的程序。算法的一般要求可以歸納為五性：

可行性：指算法中每一步都能實現。例如，不能出現負數開方、0作除數等

確定性：指每執行一步后，對于下一步有明確的指示，不允許模糊或多義，保證其“機械性”，可交由計算機執行。（“如果x>0,就將x加上一個正數”，錯誤，必須指出這個正數是什么）

有窮性：指算法能在有限的步驟內結束

有效性：指每個算法對滿足條件的問題能得到正確的結果

普遍性：指能解決一類問題而不是一個問題隨著計算機的普及，算法思想顯得越來越重要。第八十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算估算技能與算法思想的形成

2、算法思想的初步形成

雖然我國數學新課程首次把算法作為正式的教學內容，并且安排在高中，但實際上，算法思想在小學階段就已經開始滲透。例如，找規律、運算律和運算性質等。在小學階段學習算法至少有以下理由（Clarke,2005）:1)可以有效解決一類問題；2）是壓縮的、一般化的解題程序；3）是程序化的，不明原理仍可掌握；4）可教的；5）教師易于處理和評價。也有研究者指出過早學習算法的不利影響：

1）算法程序常常與人們的思維習慣不一致；2）會誘使學生放棄自己的想法，不利于“原創思想”的培養；3）不利于數意識的形成；4）會使學生盲目接受運算的結果；5）在實際生活中，書面算法很少使用。第八十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決小學階段的數學問題解決研究，特別是有關算術問題的研究，是數學教學心理學中成果最為豐富的一個領域。

1、算術問題的基本類型及其解題策略算術中的問題主要包括自然數、分數和小數的四則運算及其應用題，這里主要討論算術應用題。（1）加減法應用題（加減法文字題）類型托馬斯·P·卡彭特（ThomasP．Carpenter）把加減法文字題分成四類：變化、合并、比較和相等。第八十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決1、算術問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應用題（加減法文字題）類型變化類型舉例結合：康妮有5顆彈子，吉姆又給了她8顆，康妮有多少顆彈子？康妮有一些彈子，吉姆又給了她5顆，現在13顆，原來康妮有多少顆？康妮有5顆彈子，如果她共有13顆，還需要給她多少顆？分離：康妮有13顆彈子，她給了吉姆一些，她現在還剩8顆，康妮給吉姆多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆5顆，她還剩多少顆彈子？康妮有一些彈子，她給吉姆5顆，現在她有8顆，原來康妮有多少顆？第八十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決1、算術問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應用題（加減法文字題）類型合并類型舉例康妮有5顆紅色彈子和8顆藍色的彈子，她共有少顆彈子？康妮有13顆彈子，5顆紅色的，剩余是藍的，康妮有多少顆藍色彈子？

第八十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決1、算術問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應用題（加減法文字題）類型比較類型舉例

康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，康妮比吉姆多幾顆？康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，吉姆比康妮少幾顆？吉姆有5顆彈子，康妮比吉姆多8顆，康妮有多少顆？吉姆有5顆彈子，他比康妮少8顆，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，她比吉姆多5顆，吉姆有多少顆？康妮有13顆彈子，吉姆比康妮少5顆，吉姆有多少顆？第八十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決1、算術問題的基本類型及其解題策略（1）加減法應用題（加減法文字題）類型相等類型舉例康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，吉姆要贏多少顆才能與康妮的彈子數相等？康妮有13顆彈子，吉姆有5顆，康妮失掉多少顆才能與吉姆的彈子數量相等？吉姆有5顆彈子，如果他贏得8顆，那么他就會和康妮的彈子一樣多，康妮有多少顆？吉姆有5顆彈子，如果康妮失掉8顆，她將會和吉姆擁有的彈子一樣多，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，如果吉姆贏得5顆，他將和康妮的彈子一樣多，吉姆有多少顆？康妮有13顆彈子，如果她失掉5顆，她會和吉姆擁有的彈子一樣多，吉姆有多少顆？第八十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決1、算術問題的基本類型及其解題策略（2）乘法應用題類型

尤西斯金和貝爾（Usiskin&Bell，1983）將乘法應用題分為三類：

1）大小改變：原始量x改變大小的比率=改變后的量，如利率問題

2）交叉運用：兩個基本單位量相互交叉運算，得到一個復合單位的量，如面積和組合問題

3）比例因子：比例因子x數量=另一個量，其中比例因子如3個/人，60km/h等

第八十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決1、算術問題的基本類型及其解題策略（3）除法應用題類型

尤西斯金和貝爾（Usiskin&Bell，1983）將除法應用題分為五類：

1）求同單位量之間的比率：兩個意義相同及單位相同的數量比較所得無單位的數值，如倍數、百分率等

2）求異單位量之間的比率：兩個不同單位量相互比較，得到一個單位量，如單價、人口密度、速率等

3）除數為異單位之間比率的除法：為乘法比例因子的逆運算，如分物，實踐單位轉換等

4）除數為大小改變因子的除法：乘法大小改變的逆運算，即已知一數量的倍數或一部分，而求原數量

5）反求因子：為乘法交叉運算的逆運算。

第八十九頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決1、算術問題的基本類型及其解題策略（4）相關解題策略的研究

目前，主要對乘除法應用題的解題策略進行了研究，比如，乘法應用題解題策略的表現層次：直接表征法、過渡型計數法、加法和背誦乘法事實除法應用題解題策略表現層次：直接表征、數值上的加數處理、減法、加減與乘法、分配律。有待進一步研究。第九十頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決2、算術問題的難度分析了解算術問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認知角度有效地指導兒童跨越障礙。

1）未知數的位置（變化類型）康妮有5顆彈子，如果她共有13顆，還需要給她多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆一些，她現在還剩8顆，康妮給吉姆多少顆？康妮有13顆彈子，她給了吉姆5顆，她還剩多少顆彈子？康妮有一些彈子，吉姆又給了她5顆，現在13顆，原來康妮有多少顆？康妮有一些彈子，她給吉姆5顆，現在她有8顆，原來康妮有多少顆？

未知數的位置越在前面，難度越高。第九十一頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決2、算術問題的難度分析了解算術問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認知角度有效地指導兒童跨越障礙。

2）語言的表述（比較類型）

吉姆有5顆彈子，康妮比吉姆多5顆，康妮有多少顆？康妮有13顆彈子，她比吉姆多5顆，吉姆有多少顆？

具有一致性語言的情形易于非一致性語言的情形參照量未知的情形要難于比較量未知的情形

第九十二頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決2、算術問題的難度分析了解算術問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認知角度有效地指導兒童跨越障礙。

3）數字的形式（乘除法應用題）研究表明，對于乘法應用題，問題類型對學生的影響不大，數字形式才是關鍵，特別當乘數是小數的情況，往往會覺得更困難；對于除法應用題，等分除和包含除題型亦會受到數字形式的影響，特別當被除數小于除數時對學生的影響較大。乘法總是變大，除法總是變小第九十三頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決2、算術問題的難度分析了解算術問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認知角度有效地指導兒童跨越障礙。

4）問題的結構（除法應用題）

研究表明，學生在解決除法問題時，往往會形成“等分模式”的思維定勢；學生的直覺模式是等分除（即將整體平均分成幾份，求每一份的數量

）；學生較易接受等分除的概念，但也因此產生許多錯誤概念，甚至妨礙包含除（即告訴每一份的數量，求能將整體平均分成幾份

）概念的理解。第九十四頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決2、算術問題的難度分析了解算術問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認知角度有效地指導兒童跨越障礙。

5）單位的變化在數量單位的變化中，除了名稱的變化外，還包括維度的變化，這也是造成乘除法問題比加減法問題困難的原因。因為后者只涉及一位空間，但前者可能涉及二維或三維的度量空間，甚至涉及度量空間之間的關系。（林碧珍，1991）兒童甚至于成人一般均避免使用乘除法方法，而比較喜歡以加減運算來解決問題。（Hart,1981）第九十五頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算算術中的問題解決2、算術問題的難度分析了解算術問題的難度因素和難度點，可以幫助教師從心理認知角度有效地指導兒童跨越障礙。

6）問題的表征在算術問題中造成問題表征困難的主要原因是缺乏相應的符號，如未知數符號的使用。“一個數的5倍加4等于24，求這個數”，若將這個數用未知數符號x表示，則問題就轉化為簡單的計算；而若用算術思維方法，則需要一個逆向思維的過程。第九十六頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數與運算的教學

研究表明，有些內容從來都是被認為難教難學，其中包括分數、小數、比例和百分數（Barnett,Goldenstein&Jackson,1994）。因此，有關這些數學內容的教學也就成為小學階段學習理論研究的熱點，成果也比較豐富。第九十七頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數與運算的教學

1、數與運算教學的認知分析（1）認知層次分數概念學習五個連續層次（Kieren,1992）

1）把分數作為整體的一部分；

2）對一個事先分成若干份的整體，通過數其中一部分的份數而得到分數；

3）把一個整體平均分成若干份，對整體的份數和部分的份數分別進行計數；

4）通過數“份數”對兩個異分母的分數求和；

5）根據分數的加法原理，對兩個異分母的分數求和。

Kieren認為，分數教學應該按照上述五個層次進行，不同層次之間不能隨意“串位”，否則容易造成理解上的混亂。第九十八頁，共一百三十九頁，2022年，8月28日數學學習論通識知識：數與運算數與運算的教學

1、數與運算教學的認知分析（1）認知層次小數的6個認知層次（Hartetal,1981）：

1）千位數以內的位值概念；

2）一位小數；

3）二、三位小數；

4）與左邊的位值關系，如5.13X10的結果與5.13的差異；