調查研究預測技術價值分析環境分析可行性分析決策技術可靠性分析評價標準研制方案分析評估方案優選實驗實證普遍實施確定目標發現問題反饋科學決策程序

4.1基本概念一、問題的提出例4.1

環境工程設施設計某單位計劃建造環境工程設施，在已經確定選址及總規定總建筑面積的前提下，作出了三個設計方案，現要求從以下5個目標綜合選出最佳的設計方案：低造價（每平方米造價不低于500元，不高于700元）；抗震性能（抗震能力不低于里氏5級不高于7級）；建造時間（越快越好）；結構合理（單元劃分、生活設施及使用面積比例等）；造型美觀（評價越高越好）這三個方案的具體評價表如下:具體目標方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造價（元/平方米）500700600抗震性能（里氏級）6.55.56.5建造時間（年）21.51結構合理（定性）中優良造型美觀（定性）良優中

基本特點目標不至一個目標間的不可公度性目標間的矛盾性具體目標方案1（A1）方案2（A2）方案3（A3）低造價（元/平方米）500700600抗震性能（里氏級）6.55.56.5建造時間（年）21.51結構合理（定性）中優良造型美觀（定性）良優中目標體系――是指由決策者選擇方案所考慮的目標組及其結構；備選方案――是指決策者根據實際問題設計出的解決問題的方案；決策準則――是指用于選擇的方案的標準。通常有兩類：最優準則，滿意準則。

多目標問題的三個基本要素二、幾個基本概念1）劣解和非劣解如某方案的各目標均劣于其他目標，則該方案可以直接舍去。這種通過比較可直接舍棄的方案稱為劣解。

如圖中A、B、C、D、E、F、G均為劣解。非劣解：既不能立即舍去，又不能立即確定為最優的方案稱為非劣解。如圖中H、I。第一目標值第二目標值ABCDEFGHI對于m個目標，一般用m個目標函數，它滿足刻劃，其中x表示方案。最優解：設最優解為2）選好解在處理多目標決策時，先找最優解，若無最優解，就盡力在各待選方案中找出非劣解，然后權衡非劣解，從中找出一個按某一準則較為滿意的解，這個過程稱為“選好解”。單目標――辨優多目標――辨優＋權衡（反映了決策者的主觀價值和意圖）4.2決策方法

一、化多目標為單目標的方法二、重排次序法三、分層序列法一、化多目標為單目標的方法主要目標優化兼顧其它目標的方法線性加權和法3.平方和加權法4.乘除法

設有m個目標f1(x)，f2(x)，…，fm(x)；均要求為最優，但在這m個目標中有一個是主要目標，例如為f1(x)，并要求其為最大。在這種情況下，只要使其它目標值處于一定的數值范圍內，即就可把多目標決策問題轉化為下列單目標決策問題：1.主要目標優化兼顧其它目標的方法

設有一多目標決策問題，共有f1(x)，f2(x)，…,fm(x)等m個目標，則可以對目標fi(x)分別給以權重系數（i=1，2，…,m），然后構成一個新的目標函數如下：2.線性加權和法

計算所有方案的F(x)值，從中找出最大值的方案，即為最優方案。技巧：在多目標決策問題中，或由于各個目標的量綱不同，或有些目標值要求最大而有些要求最小，則可首先將目標值變換成效用值或無量綱值，然后再用線性加權和法計算新的目標函數值并進行比較，以決定方案取舍。

并要求minF(x)。其中是第i(i=1,2,…,m)個目標的權重系數。3.平方和加權法

設有m個目標的決策問題，現要求各方案的目標值f1(x)，f2(x)，…,fm(x)與規定的m個滿意值f1*，f2*，…,fm*的差距盡可能小，這時可以重新設計一個總的目標函數：4.乘除法

并要求minF(x)。

當有m個目標f1(x)，f2(x)，…，fm(x)時，其中目標f1(x)，f2(x)，…，fk(x)的值要求越小越好，目標fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x)的值要求越大越好，并假定fk(x)，fk+1(x)，…，fm(x)都大于0。于是可以采用如下目標函數，重排次序法是直接對多目標決策問題的待選方案的解重排次序，然后決定解的取舍，直到最后找到“選好解”。下面舉例說明重排次序法的求解過程。二、重排次序法例4.2

設某新建廠選擇廠址共有n個方案m個目標。由于對m個目標重視程度不同，事先可按一定方法確定每個目標的權重系數。若用fij

表示第i

方案第j目標的目標值，則可列表如下。（1）無量綱化。為了便于重排次序，可先將不同量綱的目標值fij

變成無量綱的數值yij。

變換方法：對目標fj，如要求越大越好，則先從n個待選方案中找出第j個目標的最大值確定為最好值，而其最小值為最差值。即：并相應地規定

而其它方案的無量綱值可根據相應的f的取值用線性插值的方法求得。對于目標fi，如要求越小越好，則可先從n個方案中的第j個目標中找最小值為最好值，而其最大值為最差值。可規定(2)通過對n個方案的兩兩比較，即可從中找出一組“非劣解”，記作{B}，然后對該組非劣解作進一步比較。(3)通過對非劣解{B}的分析比較，從中找出一“選好解”。最簡單的方法是設一新的目標函數：若Fi值為最大，則方案i為最優方案。三、分層序列法分層序列法是把目標按照重要程度重新排序，將重要的目標排在前面，例如已知排成f1(x)，f2(x)，…，fm(x)。然后對第1個目標求最優，找出所有最優解集合，用R1表示，接著在集合R1范圍內求第2個目標的最優解，并將這時的最優解集合用R2表示，依此類推，直到求出第m個目標的最優解為止。將上述過程用數學語言描述，即…

這種方法有解的前提是R1，R2，…，Rm-1等集合非空，并且不至一個元素。但這在解決實際問題中很難做到。于是又提出了一種允許寬容的方法。所謂“寬容”是指，當求解后一目標最優時，不必要求前一目標也達到嚴格最優，而是在一個對最優解有寬容的集合中尋找。這樣就變成了求一系列帶寬容的條件極值問題。

4.3多目標風險決策分析模型

設有方案A，自然狀態有l個，目標有n個，該方案在第一個自然狀態下各目標的后果值為θ11,θ12

，…,θ1n，第二個自然狀態下各目標的后果值分別為θ21,θ22

，…,θ2n，等等。第l

個自然狀態下各目標的后果值分別為θl1,θl2

，…,θlnp1p2plθl1,θl2

，…,θlnθ21,θ22

，…,θ2nθ11,θ12

，…,θ1nA該方案第一個目標的期望收益值為一般地，假設有m個備選方案，n個目標，第i個備選方案面臨li

個自然狀態。該模型可表述為下圖。第二個目標的期望收益值為第n個目標的期望收益值為多目標風險型決策模型各方案中各目標的期望收益值分別為…

…這樣，便把有限個方案的多目標風險型決策問題轉化成為有限方案的多目標確定型決策問題：

問題：從現有的m個備選方案中選取最優方案（或最滿意方案），決策者決策時要考慮的目標有n個：。決策者通過調查評估得到的信息可用下表表示4.4有限個方案多目標決策問題的分析方法

1.基本結構這一表式結構可用矩陣表示為稱為決策矩陣，是決策分析方法進行決策的基礎。決策準則：其中為第j個目標的權重。存在兩個問題：第一，在決策矩陣中，各目標采用的單位不同，數值及其量級可能有很大的差異。如果使用原來目標的值，往往不便于比較各目標。第二，權重如何確定？w1w2……wn2.決策矩陣的規范化xy(1,2)xy

把一個向量化為單位向量1）效用值法2）向量規范化

把造價向量（500，700，600）規范化

把造價向量（500，700，600）規范化

一般地，bij無量綱，在區間(0,1)內。但變換后各屬性的最大值和最小值并不是統一的，其最大者不一定是1，最小者不一定是0，有時仍不便比較。還有一個問題，上面例子中的造價是越小越好，而抗震性能是震級越高越好，這樣二者不統一，還需作處理。3）線性變換如目標為效益（目標值愈大愈好），可令如目標為成本（目標值愈小愈好），令

如收益向量（20，40，30）如造價向量（500，700，600）首先，選聘L個專家（即專家或有豐富經驗的實際工作者），請他們各自獨立地對n個目標給出相應的權重。3.確定權的方法設第j位專家所提供的權重方案為：，滿足則匯集這些方案可列出如表所示。

1)專家法目標權重專家給定允許，若…如果檢驗不通過，則需要和那些對應于方差估值大的專家進行協商，充分交換意見，再讓他們重新調整權重，更新權重方案表。重復上述過程，最后得到一組滿意的權重均值作為目標的權重。方法實用，但L不能太小。檢驗：則取各目標的權重為2）環比法這種方法先隨意把各目標排成一定順序，接著按順序比較兩個目標的重要性，得出兩目標重要性的相對比率——環比比率，然后再通過連乘把此環比比率換算為都以最后一個目標基數的定基比率，最后在歸一化為權重。設某決策有五個目標，下面按順序來求其權重，見下表。目標按環比計算的重要性比率換算為以E為基數的重要性比率權重A2.04.50.327B0.52.250.164C3.04.500.327D1.51.500.109E—1.000.073合計13.751.000否則，,即。選擇一組權，使比較各目標的相對重要度，（）—第i個目標對第j個目標的相對重要性的估計值；

—這兩個目標的權重和的比；如果決策人對（）的估計一致，則3）權的最小平方法

如用拉格朗日乘子法解此有約束的優化問題，則拉格朗日函數為：為最小，其中滿足4.強制決定法

此法要求把各個目標進行兩兩對比，兩個目標比較，重要者記1分，次要者記0分。舉例說明。考慮一個機械設備設計方案決策，設其目標有：靈敏度、可靠性、耐沖擊性、體積、外觀和成本共6項，首先畫一個棋盤表格如下,其中打分所用列數為15（如目標數為n，則打分數為n(n-1)/2）。目標重要性得分總分修正總分權重靈敏度00111340.190可靠性11111560.286耐沖擊性10111450.238體積00010120.095外觀00000010.047成本00011230.142合計15211.000

在每個列內只打兩個分，即在重要的那個目標行內打1分，在次要的那個目標行內打0分。該列的其余各行任其空著。表中總分列為各行得分之和，修正總分列是為了避免使權系數為0而設計的，其數值由總分列各數分別加上1得到，權重為各行修正總分歸一化的結果。4.5

層次分析法（AHP）

層次分析法（AHP,theanalytichierarchyprocess）是20世紀70年代由美國學者薩蒂最早提出的一種多目標評價決策法。特點：將決策者對復雜系統的評價決策思維過程數學化。基本思想是把復雜的問題分解成若干層次和因素，在同層次各要素間簡單地進行比較、判斷和計算，以獲得不同要素和不同備選方案的權重。定量信息要求較少，但要對問題的本質包含的要素相互間的邏輯關系掌握透徹。步驟：1）對構成決策問題的各種要素建立多級遞階的結構模型；總目標子目標評價準則方案2）對同一層次的要素以上一級的要素為準則進行兩兩比較，根據評定尺度確定其相對重要程度，并據此建立判斷矩陣；3）確定各要素的相對重要度；4）對重要度進行綜合，對各方案進行優先排序。一、多級遞階結構用層次分析法分析的系統，其多級遞階結構一般可以分成三層，即目標層，準則層和方案層。目標層為解決問題的目的，要想達到的目標。準則層為針對目標評價各方案時所考慮的各個子目標（因素或準則），可以逐層細分。方案層即解決問題的方案。層次結構往往用結構圖形式表示，圖中標明上一層次與下一層次元素之間的聯系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯系，稱為完全相關結構。層次結構往往用結構圖形式表示，圖中標明上一層次與下一層次元素之間的聯系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯系，稱為完全相關結構。目標準則1準則3準則2方案1方案2方案1目標層A準則層C方案層P完全相關性結構圖綜合決策

某地要改善一條河道的過河運輸條件，為此需要確定是否要建立橋梁或隧道以代替現有的輪渡。在此問題中過河方式的確定取決于過河的效益與代價（即成本）。通常我們用費效比（即效益/代價）作為選擇方案的標準。為此分別給出了兩個層次結構（圖1.1.2和圖）。它們分別考慮了影響過河的效益與代價的因素，這些因素可分為三類：經濟的、社會的和環境的。

決策的制定將取決于根據這兩個層次結構確定的方案的效益權重與代價權重之比，即如能知道底層方案Di（i=1,2,3）對最高層Aj（j=1,2）的權系數wij（i=1,2,3，j=1,2），則可根據如下的決策公式Si=wi1/wi2，i=1,2,3

對三個方案進行排序、選擇。工作選擇可供選擇的單位P1’

P2，Pn

貢獻收入發展聲譽工作環境生活環境目標層準則層方案層層次結構模型

準則層A

方案層B目標層Z若上層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，稱為完全層次結構，否則稱為不完全層次結構。某城市鬧市區域的某一商場附近，由于顧客過于稠密，常常造成車輛阻塞以及各種交通事故。市政府決定改善鬧市區的交通環境。經約請各方面專家研究，制定出三種可供選擇的方案：A1：在商場附近修建天橋一座，供行人橫穿馬路；A2：同樣目的，在商場附近修建一條地下行人橫道；A3：搬遷商場。現試用決策分析方法對三各備選方案進行選擇。一個完全相關性結構的案例這是一個多目標決策問題。在改變鬧市區交通環境這一總目標下，根據當地的具體情況和條件，制定了以下5個分目標作為對備選方案的評價和選擇標準：C1：通車能力；C2：方便過往行人及當地居民；C3：新建或改建費用不能過高；C4：具有安全性；C5：保持市容美觀。改變鬧市區交通環境（G）通車能力C1方便市民C2改建費用C3安全性C4市容美觀C5天橋A1地道A2搬遷A3二、判斷矩陣

判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是計算各要素權重的重要依據。1.建立判斷矩陣設對于準則C，其下一層有n

個要素A1，A2，…，An。以上一層的某一要素C作為判斷準則，對下一層的n個要素進行兩兩比較來確定矩陣的元素值，其形式如下：CA1A2…Aj…AnA1a11a12…a1j…a1nA2a21a22…a2j…a2n…………………Aiai1ai2…aij…ain………………Anan1an2…anj…annCA1A2A3…Anaij表示以判斷準則C

的角度考慮要素Ai對Aj的相對重要程度。若假設在準則C下要素A1，A2，…，An的權重分別為w1,w2,…,wn，即w=

(w1,w2,…,wn)T,則aij=wi/wj，矩陣稱為判斷矩陣。若假設在準則C下要素A1，A2，…，An的權重分別為w1,w2,…,wn，即w=(w1,w2,…,wn)T,則aij=wi/wj，aij應該滿足：1）aii

=1；2)aij=1/aji；3)aikakj

=aij2)判斷尺度判斷矩陣中的元素aij是表示兩個要素的相對重要性的數量尺度，稱做判斷尺度，其取值如表所示。判斷尺度定義判斷尺度定義1對C而言，Ai和Aj同樣重要7對C而言，Ai比Aj重要的多3對C而言，Ai比Aj稍微重要9對C而言，Ai比Aj絕對重要5對C而言，Ai比Aj重要2，4，6，8介于上述兩個相鄰判斷尺度之間三、相對重要度及判斷矩陣的最大特征值的計算在應用層次分析法進行系統評價和決策時，需要知道Ai關于C的相對重要度，也就是Ai關于C的權重，即已知＝＝求

由=n知，n為矩陣A的一個特征值，W是矩陣A

的對應于特征值n的特征向量。AW=nW成立，這樣的數

稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A的對應于

的特征向量。假設A是n階矩陣，如果數

和n維非零列向量x，使關系式矩陣A的特征向量即特征方程時，A具有唯一的非零最大特征值，且當矩陣A的元素滿足由于判斷矩陣A的最大特征值所對應的特征向量即為W，為此，可先求出判斷矩陣的最大特征值所對應的特征向量，再經過歸一化處理，即可求出Ai關于C的相對重要度。由于判斷矩陣A的最大特征值所對應的特征向量即為W，為此，可先求出判斷矩陣的最大特征值所對應的特征向量，再經過歸一化處理，即可求出Ai關于C的相對重要度。求A的最大特征值和其對應的特征向量單位化得權重向量W設某一AHP判斷矩陣為計算該矩陣的最大特征值及對應的特征向量的步驟如下：1.方根法1）計算矩陣A的每一行元素的乘積Mi2)計算Mi的n次方根i=1,2,…,n3）對向量作歸一化處理，即令從而得到另一向量即為所求。4)

計算A的最大特征值由例求判斷矩陣的最大特征值及其對應的特征向量。解：（1）求A中各行元素之乘積M1=1/15,M2=15,M3=1（2）求Mi

的n次方根（n＝3）（3）對向量w(0)＝(0.4055,2.4662,1)T

作歸一化處理M1=1/15,M2=15,M3=1即為所求特征向量。w＝(0.4055,2.4662,1)T4）求0.10470.63700.2583精度比較：算法w1w2w3方根法3.03850.10470.63700.2583乘冪法3.03850.10420.63730.2583注：乘冪法為“計算方法”中計算矩陣的最大特征值的最常用的方法之一。這里取精度為0.0001。求解步驟如下：1）將判斷矩陣A中各元素按列作歸一化處理，得另一矩陣B=(bij)，其元素一般項為2）將矩陣B中各元素按行分別相加，其和為2.和積法3）對向量作歸一化處理，得向量即為所求。4）求的方法與方根法相同，即對前例用和積法求得的結果如下：這樣就提示我們可以用的關系來度量偏離相容性的程度。四、相容性判斷若矩陣A完全相容，則有，否則由于判斷矩陣的三個性質中的前兩個容易被滿足，第三個“一致性”則不易保證。如判斷矩陣A被判斷為A'有偏差，則稱A'為不相容判斷矩陣，這時就有度量相容性的指標為C.I.(ConsistenceIndex)，一般情況下，若C.I.≤0.10，就可認為判斷矩陣A'有相容性，據此計算的W'是可以接受的，否則重新進行兩兩比較判斷。判斷矩陣的維數n越大，判斷的一致性將越差，故應放寬對高維判斷矩陣一致性的要求，于是引入修正值R.I，見下表，并取更為合理的C.R為衡量判斷矩陣一致性的指標。維數123456789R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45五、綜合重要度的計算

方案層n個方案對準則層的各準則的相對權重為：設有目標層A、準則層C、方案層P構成的層次模型（對于層次更多的模型，其計算方法相同），準則層C對目標層A的相對權重為：AC1C2C3C4P1P2P3p11p12p13p14c1c2c3c4P1對A的權重為：p11c1+p12c2+p13c3+p14c4

對層次總排序也需作一致性檢驗，檢驗仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進行。

設層中與相關的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經一致性檢驗，求得單排序一致性指標為，（），相應的平均隨機一致性指標為（已在層次單排序時求得），則層總排序隨機一致性比例為當時，認為層次總排序結果具有較滿意的一致性并接受該分析分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。案例1

旅游問題（2）構造成對比較矩陣(3)計算層次單排序的權向量和一致性檢驗成對比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應的歸一化特征向量

對成對比較矩陣可以求層次總排序的權向量并進行一致性檢驗，結果如下：計算可知通過一致性檢驗。對總目標的權值為：（4）計算層次總排序權值和一致性檢驗又決策層對總目標的權向量為：同理得，對總目標的權值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗。可作為最后的決策依據。故最后的決策應為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權重排序為

挑選合適的工作。經雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業生。該生根據已有信息建立了一個層次結構模型，如下圖所示。案例2111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222331AB1B2B3B4B5B6B1

B2

B3B4B5B6（方案層）11/41/211/41/5413411/221/31521B1C1C2C3C1C2C3B2C1C2C3C1C2C3131/311/351/31731731/711/51/711171791171/7111/71/711/911B5C1C2C3B6C1C2C3B3C1C2C3B4C1C2C3C1C2C3C1C2C3C1C2C3C1C2C3層次總排序）如下表所示。準則研究課題發展前途待遇情況同事地理位置單位名氣總排序權值準則層權值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879方案層單排序權值工作1工作2工作30.13650.09740.24260.27900.46670.79860.62500.33310.08790.64910.46670.10490.23850.56950.66940.07190.06670.09650.39520.29960.3052根據層次總排序權值，該生最滿意的工作為工作1案例3某單位準備挑選一位負責人，根據組織章程，上級提出了挑選負責人的十二條標準（1）忠誠正派；（2）責任心強；（3）虛懷若谷；（4）有遠見；（5）有組織協調能力；（6）知人善用；（7）多某善斷；（8）精通業務；（9）學歷高，知識面廣；（10）具有現代管理知識；（11）身體健康；（12）年齡合適。在報名競爭的總經理人選中，根據上級任命的人事小組評選結果，得分最高的三人總分一樣，其得分如下：標準候選人得分123456789101112總分甲96784985868785乙89978768565785丙88775857669985為了從中選出一人為負責人，應進行權重分析。若得到十二個指標的權重，便可詳細區分。選書記B1B2B3B4123456789101112B1:道德水平B2:管理才能B3:學識水平B4:健康水平目標層準則層標準層AB1B2B3B4B11223B21/2152B31/21/512B41/31/21/21（每行相加）（歸一化）維數123456789R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45B2C4C5C6C7C8C413331C51/31211/2C61/31/2121/3C71/311/211/2C812321B3C8C9C10C811/31/2C9312C1021/21B4C11C12C1113C121/31案例4改變鬧市區交通環境（G）通車能力C1方便市民C2改建費用C3安全性C4市容美觀C5天橋A1地道A2搬遷A3C1A1A2A3A1115A2115A31/51/51C2A1A2A3A1135A21/312A31/51/21C3A1A2A3A1147A21/414A31/71/41GC1C2C3C4C5C113535C21/31313C31/51/311/33C41/31313C51/51/31/31/31C4A1A2A3A111/21/3A2211A3311C5A1A2A3A111/21/3A221