2023-2023第二學期彈性力學考試答案及評分標準概念問答題以應力作未知量，應滿足什么方程及什么邊界條件？答：以應力作為未知量應滿足平衡微分方程、相容方程及邊界條件。（5分）2、平面問題的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面問題有x、y、xy、x、y、xy、u、v八個，方程有兩個平衡方程，三個幾何方程，三個物理方程。（5分）3、已知，，及，，，試分別在圖中所示單元體畫出應力狀態圖。（2分）（3分）4、簡述圣維南原理。答：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對同一點的主矩也相同），那么，近處的應力分量將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計。（5分）5、簡述應變協調方程的物理意義。答：⑴形變協調條件是位移連續性的必然結果。連續體→位移連續→幾何方程→形變協調條件。（2分）⑵形變協調條件是與形變對應的位移存在且連續的必要條件。形變協調→對應的位移存在→位移必然連續；形變不協調→對應的位移不存在→不是物體實際存在的形變→微分體變形后不保持連續。（3分）6、剛體位移相應于什么應變狀態。答：剛體位移相應于零應變狀態，對平面問題為x=y=xy=0（5分）7、簡述最小勢能原理，該原理等價于彈性力學的哪些基本方程？答：由位移變分方程可得或其中為物體得總勢能（形變勢能和外力勢能在之和），稱為最小勢能原理，它表明物體處于平衡位置時，總勢能的一階變分為零。可以證明：在線彈性體中，，即在所有幾何可能的位移中，實際的位移使總勢能取最小值。最小勢能原理等價于平衡微分方程和靜力邊界條件。（5分）二、已知下述應變狀態是物體變形時產生的，試求各系數之間應滿足的關系（5分）答：應變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件，即（2分）由題中給出的應變可得：，，則由相容條件可得：上式對任意x，y均成立，則有：（3分）三、試寫出圖中所示各邊的精確邊界條件，圖中s、q均為均勻分布荷載，AF為固定邊界。（15分）解：AF邊：u=0，v=0（2分）AB邊：y=0，xy=0（2分）EF邊：y=0，xy=0（2分）BC邊：（4分），CD邊：（2分）DE邊：（3分），四、對于圖中所示結構，l遠大于h，已知M是集中彎矩，q為均勻分布荷載，試證明它是圣維南條件下的解。（15）解：驗證相容方程：，這里顯然滿足。（1分）應力分量：（3分）邊界條件左側，成立（2分）右側：，成立成立（2分）頂部，積分后為偶數，故為0（2分），成立（2分），成立（3分）五、試按逆解法推導軸對稱問題的應力解和位移解。（15分）解：應力數值軸對稱—僅為的函數，應力方向軸對稱—相應的應力函數，應力分量：（a）（3分）相容方程其中：相容方程成為常微分方程，積分四次得Φ的通解，（3分）(2)應力通解：將式(c)代入式(a)，（3分）(3)應變通解：將應力(d)代入物理方程，得對應的應變分量的通解。應變也為軸對稱。(4)求對應的位移：將應變代入幾何方程，對應第一、二式分別積分，將代入第三式，分開變量，兩邊均應等于同一常量F,（3分）即得兩個常微分方程，代入，得軸對稱應力對應的位移通解，（3分）其中I，K—為x、y向的剛體平移，H—為繞o點的剛體轉動角度。六、一端固定、另一端彈性支撐的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數，彈簧系數為k，承受分布荷載q(x)的作用（如圖所示）。試用位移變分方程（或最小勢能原理）導出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件（15分）解：用位移變分方程推導梁內總應變能的改變為（1分）外力總虛功為（1分）由位移變分方程得(a)（1分）對上式左端運用分部積分得代入(a)式，經整理得(b)（3分）由于變分的任意性，式(b)成立的條件為(c)(d)(e)（3分）式(c)就是以撓度v表示的平衡微分方程。下面討論邊界條件。由于梁的左端為固定端，因此有，(f)（2分）梁的右端為彈性支撐，則有，