第三 多元函數的微分 章 多函元 隱函數微分函-1第三 多元函數的微分復合函數微 如果函數u(t)及v(t)都在 zf(u,v)在對應點(u,v)章

zf[(t),(t)]多dzdzzduzuv分分

dzzdu zdv u v-2第三 設t獲得增量

多元函數的微分則u(tt)(t v(tt)(t由于函數zf(uv)在點(uv)第 zzuzvu章 多 當u0，v0時，10，2函的 zzuzvu的分 1 2分法當t0時，u0，vudu

vdv -3第三 多元函數的微分dzlimzzduzdv t0

第 章zuz如vwt如vwt的 dzzduzdv 分

u v

dz稱為-4第三 多元函數的微分函數的情況：zf[x,y),x,y)].如果uxyvxy)都在點xy第對章

和yzf(u,v)在對應點(u,v)多函 zf[(x,y),(x,函的的zzzuzvuvzzuzuv-5第三 多元函數的微分z zvyvy函 zzuzv函 數微 zzuzv微 法-6第三 多元函數的微分類似地再推廣設u(x, v(x,

ww(x,都在點xy)具有對x和y的偏導數，f(u,vw)點(u,vw)八 zf[(x,y),(x,y),w(x,在對應點xy)元函u zzuzvzu微 u v w 微 法 法

zu

zv

z w u v w-7第三 多元函數的微分特殊地zf(ux, zf[(x,y),x,

ux令v w八 v 八

v w f多數 f多數 把復合函數zf把復合函數zf[x,yx,y看作不變而對x的偏導數

ffu 把zf(把zf(ux,中的uy看作不變而對x-8第三 多元函數的微分1設zeusinv，而uxy，vxy，求 x和y第章 章解

z

z 函 eusinvyeucosv1eu(ysinvcosv),函的 的分 分 法eusinvxeucosv1eu(xsinvcosv).-9第三 多元函數的微分2設zuvsint，而uet，vcost 求全導數dz 章 dzzduzdv 微微

v u(sint)cos 法

cost

sintcoset(costsint)cost.-10第三 多元函數的微分 z(1xy)xy z 令u1xy,vx第

則z章 z章

z u函 vuv1函數

vuvlnu

(xy)y(1xy)x

(1xy)xyln(1y

(xy)x(1xy)x

(1xy)xyln(1-11第三 多元函數的微分 設zf(x

y,x2

2z計算xy

其中 二八第 八章

uxy,vx2y

f1

f(u,v)多

2f(u,v),同理有f2,f11,f22, 函的 zfu的

f

f12xy u v分 一談.

-12第三 多元函數的微分3)在計算高階偏導數時,要注意復合關系.

f1,f2f 2z

[

2

]

f2章 章

2

2xy f1f1uf1v函 u v 函

x2微 f2f2uf2v微 u v

21x2法 f11x2法

2

2xy(f21x2 2xf2f11(x2

2xy) 2x3 -13第三 多元函數的微分

zxf(

y),

2z 2z

f x2,xy第 zfxffx(fyf fxfy

2zf

xf1y y數 數

x fyffx( y )yx x分

y( y 2f1xf11 f12-14

第三 多元函數的微分zfxfy 2

y x

f2 章八章

xyxf2 x元 y元

f2x

f12

2z數f

zx2f 的例6分

f

xyu(y法

的一元函數.z2xfx2

2xfx2(y)f -15第三 多元函數的微分2xfyf2z

2x f 八

y 2多

ff y

f函 f f函 -16第三 多元函數的微分 設zf(t,u,v),ulnt,vln其中f(tu,v)

t1,求d2 dzf1

2lnt

d2z元 元

1

2lnt

t 1( 1

2lnt

)2(1lnt)t t的

t 微 2ln

(f31t

2lnt

f33 2

4lnt

1 1

t t -17第三 多元函數的微分例 設wf(xyz,xyz)，f具有二階連續偏 2w第

x和xz解解多2w

yzf2 數 (f1yzf2) 1yf2yz 數函

微 f1微

xy

21xyff11 yf2yz(f21xyf22f11y(xz)f12xy2zf22yf2-18第三 多元函數的微分例 設zxf(y),x第22zx第

y22z其中f 解 z解元 元

x

y)f

fyfx 2z

( (

x2)f

f

x(x2) f分 zx1分

f

2z f f22zx

y22z

y2

fx

f-19第三 多元函數的微分 設函數zf(u,v)u,v第 dz

zdu

z 元uxy)vxy)元

zuzv的 dz dx 的

微

u x

zuzvzudxudy zvdxvdyzduzv

-20

第三 多元函數的微分無論z是自變量u、vu、dzzdzzduz章 數-21第三 多元函數的微分一階(偏)導數.八 八

設zf(x,y,u, ug(x,y),wh(x,y,章求多

,y dzf1dxf2dyf3du函 f1dx f3(g1dx的分 (1x分 f1dxf2dyf3(g1dxf4(h1dxh2dyh3(g1dx-22第三 多元函數的微分f1dxf2dyf3(g1dxf4(h1dxh2dyh3(g1dx (f1f3g1f4h1f4h3g1元 (f2f3g2f4h2f4h3g2元 ffgfhfh微 微 z

2 ff3g2f4h2f4h32.-23第三 多元函數的微分 隱函數的微分八 1）F(x,y)八 設函數F(x,y)在點P(

,y0多的某一鄰域內具有連續的偏導數，且

F(x0,y0)函元Fyx0y0函

Fxy0在點Px0y0dy數一鄰 dy的微的函數yfx),它滿足條件y0fx0Fx,fx分-24x2y2第三 多元函x2y2例 已知

arctany，求dy解法 令F(x,y) x

x2x2xy則章 Fx(x,y)則章

x2y2

Fy(x,y)

x2y2元 dyFxxy元

y數 視方程中y為x函數方程兩邊對x求微 xy 2x22(x2y2

1 y1

y

xyy-25第三 多元函數的微分例１2驗證方程x2y210在點(0,1)的某鄰域內能唯一確定一個單值可導、且x0y1的隱函數yfx)，并求這函數的一階和二階導數在x0的值.第 F(x,y)章

y2 Fx2元 F(0,1)數

Fy2Fy(0,1)2微 依定理知方程x2y210在點(0,1)的某鄰域內能微分法一確定一個單值可導、且x0y1yfx)．-26第三 多元函數的微分dy

x

d2yyxy

y

xd2y1 d2-27第三 F(x,y,z)

多元函數的微分 設函數F(x,y,z)在點P(x0,y0,z0 第

F(x0,y0,z0)章 則方程F(x,y,z)0在點P(x0,y0,z0章的某一鄰 元導數的函數

zfxy),它滿足條件

f(

,

),zzzz微-28第三 多元函數的微分例 已知e

2zez0z和z,dz 視方程exy2zez0中z x,第八的函數，方程兩邊分別關于xy章 yexy2 ez

z

ye 函

ez數

exy2

ez

z

xedz

ye

dx

xe

ez(ez (ez-29第三 多元函數的微分 ∵d(exy2zez)八 exyd(xy)2dzezdz八章(ez2)dzexy(xdy多dz dz dx 的 (ez (ez的微

ye

zxe x

2

2-30

第三 多元函數的微分-31第三 多元函數的微分例 設x2y2z

4z0，求2zx

F(x,y,z)x2y2z2第

2x,

2z

z

2元 2元 數數

(2z) (2(2z)2x2.(2z)3

(2z)x (2

2-32第三 多元函數的微分 視方程x2y2z24z0中的z為xy的函數方程兩邊對x 2

4

z

2章 對關系式2

z4

兩邊關于x元一次偏導數數 zz 2z數

2z微 22x 微

4 2分2 2

z1(x

z

(2z)2x2.(2z)3

-33

2第三 多元函數的微分 例 設zf(xy xyz)，求x，y，z 思路：把z看成x,y的函數對x求偏導數得z章 章元 x看成z,元函數

求偏導數得 把y看成x,z的函數對z求偏導數 分 uxy v zf(u,v),-34第三 多元函數的微分zf(xyz,把z看成x,y的函數對x求偏導數得八 八

(1

z)fv(yz

函 整理得函數

fuyzfv 1fuxyfv微 把x看成z,y的函數對y求偏導數微

u(

fv(xz

y

xfuxzfv fu-35第三 多元函數的微分zf(xyz, 把y看成x,z的函數對z求偏導數八多 1f(y1)f(xyxzy多 元

y1fuxyfv fu-36第三 多元函數的微分 第以兩個方程確定兩個隱函數的情況為例,即八 F(x,y,u,v) G(x,y,u,v)元

uu(x,vv(x,函由FG數的 J

(F,G)(u,v)

稱為F,G的雅可比Jacobi)行列式-37第三 多元函數的微分定理3Fxyu,v),Gxyu,v)滿足:Px0y0u0,v0的某一鄰域內具有連續偏八第八 ②F(

,

,

,v0

)0,

G(

,

,

,v0

)多 ③

(F (u,v) 微Fxyuv)0,Gx