第十二章

動能定理§12-1力的功一、常力在直線運動中的功二、變力在曲線運動中的功元功記1.重力的功質點系由重力的功只與始、末位置有關，與路徑無關。得三、幾種常見力的功質點2.彈性力的功彈簧剛度系數k(N/m)彈性力的功為得即彈性力的功也與路徑無關3.定軸轉動剛物體上作用力的功則若常量由從角轉動到角過程中力的功為4.任意運動剛體上力系的功無論剛體作何運動，力系的功總等于力系中所有力作功的代數和。對剛體而言，力系的簡化和等效原理對動力學也適用。將力系向剛體上任一點簡化，一般簡化為一個力和一個力偶。由力系的等效原理，這個力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有平面運動剛體說明:1.對任何運動的剛體,上述結論都適用;

2.C點不是質心,而是剛體上任意一點時,上述結論也成立3.計算力系的主矢、主矩時，可以不包含不作功的力。

當質心由,轉角由時,力系的功為思考：已知:均質圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運動,

f,初靜止。

求:

O走過S路程時力的功。

例12-1

F重力，摩擦力，法向約束力都不作功，只有力F作功，將力F向質心簡化，得解：CFSPFNF§12-2質點和質點系的動能2.質點系的動能1.質點的動能（1）平移剛體的動能

即

（2）定軸轉動剛體的動能

即

平面運動剛體的動能等于隨質心平移的動能與繞質心轉動的動能之和.得速度瞬心為P（3）平面運動剛體的動能對于任意質點系（可以是非剛體）的任意運動，質點系在絕對運動中的動能等于它隨質心平移的動能與相對于質心平移坐標系運動的動能之和。將兩端點乘,§12-3動能定理1.質點的動能定理因此得質點動能的增量等于作用在質點上力的元功。－－質點動能定理的微分形式－－質點動能定理的積分形式在質點運動的某個過程中,質點動能的改變量等于作用于質點的力作的功.2.質點系的動能定理質點系動能的增量，等于作用于質點系全部力所作的元功的和.

由得－－質點系動能定理的微分形式－－質點系動能定理的積分形式質點系在某一段運動過程中,起點和終點的動能改變量,等于作用于質點系的全部力在這段過程中所作功的和.3.理想約束及內力的功

光滑固定面、固定鉸支座、光滑鉸鏈、不可伸長的柔索等約束的約束力作功等于零.稱約束力作功等于零的約束為理想約束.對理想約束,在動能定理中只計入主動力的功即可.內力作功之和不一定等于零.當輪子在固定面只滾不滑時，接觸處是否為理想約束？思考：為什么？已知:m,h,k,其它質量不計.求:

例12-2

解:已知：輪O：R1

，m1

,質量分布在輪緣上;均質輪C

：R2

，

m2

，純滾動,初始靜止;θ,M

為常力偶。求:輪心C

走過路程s時的速度和加速度例12-3輪C與輪O共同作為一個質點系解:式(a)是函數關系式，兩端對t求導,得求:沖斷試件需用的能量。已知:沖擊試驗機m=18kg,l=840mm,桿重不計，在時靜止釋放，沖斷試件后擺至例12-4得沖斷試件需要的能量為解:沖擊韌度：衡量材料抵抗沖擊能力的指標。例12-5已知:均質圓盤R,m,F=常量,且很大,使O向右運動,

f,初靜止。求:O走過S路程時ω，。圓盤速度瞬心為C

解:將式(a)兩端對t求導,并利用得已知:,均質;桿m均質,=l

,M=常量,純滾動,處于水平面內,初始靜止.

例12-6求:轉過φ角的研究整個系統解:求導得注意:輪Ⅰ、Ⅱ接觸點C是理想約束,其摩擦力Fs盡管在空間是移動的,但作用于速度瞬心,故不作功.已知:均質桿OB=AB=l,m，在鉛垂面內;M=常量,初始靜止,不計摩擦.

求:當A運動到O點時,例12-7解:提問：是否可以利用求導求此瞬時的角加速度？

§12-4功率、功率方程、機械效率1.功率：單位時間力所作的功.即:功率等于切向力與力作用點速度的乘積.

由,得作用在轉動剛體上的力的功率為單位W（瓦特）,1W=1J/S2.功率方程功率方程:即質點系動能對時間的一階導數,等于作用于質點系的所有力的功率的代數和.或車床3.機械效率機械效率有效功率多級傳動系統例12-8求:切削力F的最大值。已知:解:當時已知:m，l0

，k，

R，J。求:系統的運動微分方程。例12-9解:令為彈簧靜伸長，即mg=k

,以平衡位置為原點§12-5勢力場.勢能.機械能守恒定律1.勢力場勢力場(保守力場):力的功只與力作用點的始、末位置有關,與路徑無關.

力場:一物體在空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用.勢力場中,物體所受的力為有勢力.2.勢能在勢力場中,質點從點M運動到任意位置M0,有勢力所作的功為質點在點M相對于M0的勢能.（1）重力場中的勢能（2）彈性力場的勢能

稱勢能零點（3）萬有引力場中的勢能取零勢能點在無窮遠質點系重力場（4）質點系受到多個有勢力作用質點系的零勢能位置:各質點都處于其零勢能點的一組位置.質點系的勢能:質點系從某位置到其零勢能位置的運動過程中,各有勢力做功的代數和為此質點系在該位置的勢能.已知:均質桿l,m

,彈簧剛度系數

k,

AB水平時平衡，彈簧變形為.舉例:求:桿有微小擺角時系統勢能.

重力以桿的水平位置為零勢能位置,彈簧以自然位置O為零勢能位置:取桿平衡位置為零勢能點:即質點系在勢力場中運動,有勢力功為對于不同的零勢能位置,系統的勢能是不同的.3.機械能守恒定律由質點系僅在有勢力作用下運動時,機械能守恒.此類系統稱保守系統.得機械能:質點系在某瞬時動能和勢能的代數和.質點系僅在有勢力作用下,有非保守系統的機械能是不守恒的.已知：重物m=250kg,以v=0.5m/s勻速下降，鋼索

k=3.35×N/m.求:輪D突然卡住時，鋼索的最大張力.例12-10卡住前

卡住后解:得即由有取水平位置為零勢能位置已知：m,,k，水平位置平衡，OD=CD=b。初角速度為。求：角速度與

角的關系。解:例12-114.勢力場的其他性質：(1)有勢力在直角坐標軸上的投影等于勢能對于該坐標的偏導數冠以負號。

（2）勢能相等的點構成等勢能面。

（3）有勢力方向垂直于等勢能面，指向勢能減小的方向。系統有多個有勢力作用等勢能面不能相交。勢能等于零的等勢能面為零勢能面。§12-6普遍定理的綜合應用動量、動量矩

動能矢量，有大小方向內力不能使之改變只有外力能使之改變約束力是外力時對之有影響。不與能量相互轉化，應用時不考慮能量的轉化與損失。當外力主矢為零時，系統動量守恒當外力對定點O或質心的主矩為零時，系統對定點或者質心的動量矩守恒。動量定理描述質心的運動變化動量矩定理描述繞質心或繞定點的運動變化。非負的標量，與方向無關內力作功時可以改變動能理想約束不影響動能在保守系統中，機械能守恒動能定理描述質心運動及相對質心運動中動能的變化。已知:均質圓輪

m,r,R

,純滾動.求:輪心Ｃ的運動微分方程.例1解:本題也可用機械能守恒定律求解.得已知:兩均質輪m

,R

;物塊m,ｋ,純滾動,于彈簧原長處無初速釋放，輪與地面間無滑動.求:重物下降h時,v，a及滾輪與地面的摩擦力.例2解:（a）將式（a）對t

求導得其中已知:

l,m，地面光滑.求:桿由鉛直倒下,剛到達地面時的角速度和地面約束力.例3解:時(a)(b)(c)已知:輪I:r,

m1;輪III:r,m3;輪II:R=2r,m2;壓力角（即齒輪間作用力與圖中兩圓切線間的夾角）為20度,物塊:mA;在輪I上作用有力偶M，摩擦力不計.求:O1,O2處的約束力.例4其中解:其中研究I輪壓力角為研究物塊A研究II輪例5已知：塔輪質量，大半徑，小半徑，對輪心C的回轉半徑，質心在幾何中心C。小半徑上纏繞無重細繩，繩水平拉出后繞過無重滑輪B懸掛一質量為的重物A。