光學信息技術原理及應用線性系統與線性空不變系統線性系統的疊加性質二維不變線性系統的定義

一個二維脈沖函數在輸入平面上位移時，線性系統的響應函數形式始終與在原點處輸入的二維脈沖函數的響應函數形式相同，僅造成響應函數相應的位移，即

這樣的系統稱為二維不變線性系統。其脈沖響應函數可表示為脈沖響應函數僅僅依賴于觀察點與脈沖輸入點坐標的相對間距二維線性不變系統還常常叫做空間不變（線性）系統

空間線性不變系統的輸入輸出關系示意圖

線性不變系統的“卷積積分”

物理的空間不變線性系統，輸入平面和輸出平面常常是不同的兩個平面，需要建立兩個坐標

從研究輸入和輸出之間關系的角度來看，輸入和輸出兩種信號放在同一坐標系中是方便的，因此對輸入平面和輸出平面的坐標做歸一化（不管兩者是否表示同一種物理量），使得從數值上有

和脈沖響應函數變為疊加積分變為“卷積積分”

光學成象系統可以把物平面劃分為若干個等暈區，把每個等暈區當作空間不變線性系統處理

二維線性不變系統的傳遞函數如果不變線性系統的輸入是空域函數，其傅里葉變換為

同時輸出函數和脈沖響應函數的傅里葉變換分別為

根據卷積定理有

即稱做線性不變系統的的傳遞函數傳遞函數的意義空間頻譜是基元函數的線性組合中對應的權重因子

輸入和輸出空間頻譜之比表達了系統對于輸入函數中不同頻率的基元函數的作用，也就是系統在把輸入“傳遞”為輸出過程中的作用，因而稱為傳遞函數傳遞函數一般是復函數，其模的作用是改變輸入函數各種頻率基元成分的幅值大小，其幅角的作用是改變這些基元成分的初相位傳遞函數的模稱作振幅傳遞函數，傳遞函數的幅角稱作相位傳遞函數空間頻率的兩種意義空間頻率類似于時域函數的時間頻率，時間倒數稱作頻率，長度倒數稱作空間頻率，即在單位長度內周期函數變化的周數（單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等）信息光學中有兩種空間頻率，一種是對二維圖象進行頻譜分析得到的圖象頻譜對應的空間頻率，這是一種空間強度分布，單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等，其大小是沒有限制的，可以是無窮大另一種是對電磁波場進行頻譜分析得到的平面波對應的空間頻率，因為電磁波在均勻介質中波長是常數，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因而其對應在三維空間坐標上的每個方向的空間頻率（單位為：光波數/mm）表示出的意義實際上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標軸的夾角，而且大小受到光波長的限制，最大是波長的倒數。下章再詳細講這兩者區別不變線性系統的本征函數如果函數滿足以下條件

（式中為一復常數）則稱為算符所表征的系統的本征函數。這就是說，系統的本征函數是一個特定的輸入函數，它相應的輸出函數與它之間的差別僅僅是一個復常系數。前面講的基元函數——復指數函數就是線性不變系統的本征函數即《工程光學》中已經說明光波可以用復指數函數表示，光學系統傳播光波的數學模型，就是這樣一個用復指數函數表示的光輸入變為復指數函數表示的光輸出的不變線性系統非相干成像系統的本征函數（1）下面再討論其脈沖響應是實函數的一類特殊的空間不變線性系統，它把一個實值輸入變換為一個實值輸出。這種系統也是一種常見的線性系統，如一般的非相干成像系統。實函數的傅里葉變換是厄米型函數，即其傳遞函數有

由于

因而由此可見，這種系統振幅傳遞函數是偶函數，位相傳遞函數是奇函數

非相干成像系統的本征函數（2）余弦函數或正弦函數是這類系統的本征函數，輸入函數為余弦函數對應的頻譜為該不變線性系統輸出函數頻譜則為系統輸出函數相應為

非相干成像系統的本征函數（3）因而有：這表明，對于脈沖響應是實函數的空間不變線性系統，余弦輸入將產生同頻率的余弦輸出。同時產生與頻率有關的振幅衰減和相位移動，其大小決定于傳遞函數的模和幅角。非相干光學成象系統的脈沖響應是實函數，對這一類空間不變線性系統的分析是建立光學傳遞函數理論的基礎。線性不變系統圖解法（1）

給定一個線性不變系統，輸入函數是有限延伸的三角波對下列傳遞函數用圖解法確定系統的輸出。（1）（2）計算計算方法，首先求出輸入函數的頻譜，再用圖解找出輸出函數的頻譜，最后用反變換計算出系統的輸出。不變線性系統圖解法（2）輸入函數的頻譜為不變線性系統圖解法（3）輸入函數的頻譜分以下幾個步驟來完成：1、畫出、和2、畫出卷積3、得到乘積畫出傳遞函數

畫出輸出函數版的頻譜（近似）通過簡單計算把剩下來的幾個SINC函數的反變換化簡，最后畫出輸出函數圖象級聯系統

下圖表示的是兩個級聯在一起的空間不變線性系統，前一系統的輸出恰是后一系統的輸入兩個系統級聯的傳遞函數對于總的系統和分別是其輸入和輸出，因為前式代入后式，并利用卷積的結合律，有總的脈沖響應為總的傳遞函數為

n個空間不變線性系統的級聯n個空間不變線性系統級聯的情況，總的等效系統的脈沖響