第三章控制系統的時域分析法（一）一階系統的時間響應及動態性能

（二）二階系統的時間響應及動態性能

（三）線性系統的穩定性分析（勞斯判據）（四）線性系統的穩態誤差分析

主要問題：一、時域分析法概述建立系統的數學模型后，便可對系統進行分析和設計。分析和設計是自動控制原理課程的兩大任務。（a）系統分析是由已知的系統模型確定系統的性能指標。（b）設計是根據需要在系統中加入一些機構和裝置并確定相應的參數，用以改善系統性能，使其滿足所要求的性能指標。系統分析的目的在于“認識”系統，系統設計的目的在于“改造”系統。系統的分析設計方法一般有時域法、根軌跡法和頻域法。（1）時域法常用的典型輸入信號主要包括單位脈沖函數，單位階躍函數，單位速度（斜坡）函數，單位加速度函數。（2）時域性能指標：穩、準、快延遲時間：階躍響應第一次達到終值的50％所需的時間。上升時間：階躍響應從終值的10％上升到終值的90％所需的時間；對有振蕩的系統，也可定義為從0到第一次達到終值所需的時間。峰值時間：階躍響應越過終值達到第一個峰值所需的時間。調節時間：階躍響應到達并保持在終值誤差帶內所需的最短時間。有時也用終值的2％誤差帶來定義調節時間。超調量:峰值超出終值的百分比，即

在上述動態性能指標中，工程上最常用的是調節時間（描述快”），超調量（描述“勻”）以及峰值時間二、一階系統的時間響應及動態性能

（1）一階系統傳遞函數標準形式及單位階躍響應

其中T=1/K稱為一階系統的時間常數。

系統單位階躍響應的拉氏變換為:一階系統的單位階躍響應如右圖所示，響應是單調的指數上升曲線。依調節時間的定義有：時間常數是一階系統的重要特征參數。時間常數越小，系統極點越遠離虛軸，過渡過程越快。（2）一階系統動態性能指標計算

r(t)R(s)C(s)=F(s)R(s)c(t)一階系統典型響應d(t)11(t)

t（3）一階系統的典型響應例：原系統傳遞函數為現采用如圖3-5所示的負反饋方式，欲將反饋系統的調節時間減小為原來的0.1倍,并且保證原放大倍數不變，試確定參數和的取值。

其中，，和分別稱為系統的阻尼比和無阻尼自然頻率，是二階系統重要的特征參數。三、二階系統的時間響應及動態性能

（1）二階系統傳遞函數標準形式及分類標準形式：

、二階系統的分類：注意：二階系統的單位脈沖響應、單位階躍響應與閉環極點分布關系數學上，線性微分方程的解由特解和齊次微分方程的通解組成。通解由微分方程的特征根決定，代表自由響應運動。如果微分方程的特征根是,且無重根，則把函數，稱為該微分方程所描述運動的模態，也叫振型。如果特征根中有多重根，則模態是具有，形式的函數。如果特征根中有共軛復根，則其共軛復模態與可寫成實函數模態與。每一種模態可以看成是線性系統自由響應最基本的運動形態，線性系統自由響應則是其相應模態的線性組合。，

√ξ2-1S1,2=-ξωn±ωnS1,2=-ξωn-ωn=S1,2=±jωn0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0-±j√1-ξ2ωnS1,2=ωnξh(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+ωnt)e-ω

tnh(t)=1-cosωntj0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0sin(ωdt+β)e-ξωth(t)=√1-ξ211n過阻尼臨界阻尼欠阻尼零阻尼二階系統單位階躍響應(2)二階過阻尼系統的時間響應及動態性能

（臨界阻尼，過阻尼）時系統動態性能指標的計算(3)二階欠阻尼系統的時間響應及動態性能二階欠阻尼系統極點的兩種表示方法：(a)直角坐標表示：

(b)極坐標表示：

二階欠阻尼系統的單位階躍響應：

對上式做拉氏反變換：

二階欠阻尼系統動態性能指標計算:

（a）峰值時間

即有

根據峰值時間定義可得

（b）超調量

將峰值時間代入c(t)，整理后可得（c）調節時間

按階躍響應的包絡線進入5％誤差帶的時間計算調節時間。令可得：

可見，典型欠阻尼二階系統超調量只取決于阻尼比，而調節時間則與阻尼比和自然頻率均有關。典型欠阻尼二階系統動態性能、系統參數及極點分布之間的關系當固定，增加（減小）時，系統極點在平面按下圖中圓弧軌跡（I）移動，對應系統超調量減小；同時由于極點遠離虛軸，增加，調節時間減小。當固定，增加時，系統極點在平面按下圖中的射線軌跡（II）移動，對應系統超調量不變；由于極點遠離虛軸，增加，調節時間減小。一般實際系統中，時間常數T是系統的固定參數，不能隨意改變，而開環增益K是各環節總的傳遞系數，可以調節。K增大時，系統極點在平面下圖中的垂直線（III）移動，阻尼變小，超調量會增加。例：二階系統的結構圖及單位階躍響應分別如下圖(a),(b)所示。試確定系統參數的值。

例：控制系統結構圖如下圖所示，求解：（1）開環增益K=10時，求系統的動態性能指標；（2）確定使系統阻尼比為0.707的K值。改善二階系統動態性能的措施

:

實際應用中常采用測速反饋和比例＋微分控制方式改善二階系統的動態性能。例：在如下圖所示系統中分別采用測速反饋和比例+微分控制，其中。分別寫出它們各自的開環傳遞函數、閉環傳遞函數，計算出動態性能指標，并進行對比分析。系統結構圖圖(a)圖(b)圖(c)開環傳遞函數閉環傳遞函數系統參數0.1580.50.53.163.163.16開環零點—-4.63-4.63極點0，－10，－10，－1閉環零點——-4.63極點-0.5±j3.12-1.58±j2.74-1.58±j2.74動態性能1.011.151.0560％16.3％23％72.22.1

圖(b)系統引入速度反饋，相當于增加了系統的阻尼，使系統的振蕩性得到抑制，超調量減小；圖(c)系統采用了比例加微分控制，微分信號有超前性，相當于系統的調節作用提前，阻止了系統的過調。相對于原系統而言，兩種方法均可以改善系統的動態性能。比較圖(a)和(b)兩系統的開環傳遞函數可以看出，后者比前者多一個開環零點，因而影響了系統的閉環特征多項式，改變了閉環極點的位置（改變模態）。比較圖(b)，(c)兩系統有相同的開環傳遞函數，只是閉環傳遞函數中后者較前者多一個閉環零點。附加閉環零點不會影響閉環極點，因而不會影響單位階躍響應中的各模態。但它會改變單位階躍響應中各模態的加權系數，由此影響系統的動態性能。

四、高階系統的階躍響應及性能估算（1）高階系統單位階躍響應高階系統傳遞函數一般可以表示為：其中：。由于均為實系數多項式，故閉環零點、極點只能是實根或共軛復數。設系統閉環極點均為單極點，系統單位階躍響應的拉氏變換可表示為：對上式進行拉氏反變換可得

可見，除常數項外，高階系統的單位階躍響應是系統模態的組合，組合系數即部分分式系數。模態由閉環極點確定，而部分分式系數與閉環零點、極點分布有關，所以，閉環零點、極點對系統動態性能均有影響。當所有閉環極點均具有負的實部，即所有閉環極點均位于左半s平面時，隨時間的增加所有模態均趨于零（對應瞬態分量），系統的單位階躍響應最終穩定在。很明顯，閉環極點負實部的絕對值越大，相應模態趨于零的速度越快。在系統存在重根的情況下，以上結論仍然成立。（2）閉環主導極點

對穩定的閉環系統，遠離虛軸的極點對應的模態只影響階躍響應的起始段，而距虛軸近的極點對應的模態衰減緩慢，系統動態性能主要取決于這些極點對應的響應分量。此外，各瞬態分量的具體值還與其系數大小有關。根據部分分式理論，各瞬態分量的系數與零、極點的分布有如下關系：①若某極點遠離原點，則相應項的系數很小；②若某極點接近一零點，而又遠離其他極點和零點，則相應項的系數也很小；③若某極點遠離零點又接近原點或其他極點，則相應項系數就比較大。系數大而且衰減慢的分量在瞬態響應中起主要作用。因此，距離虛軸最近而且附近又沒有零點的極點對系統的動態性能起主導作用，稱相應極點為主導極點。（1）穩定性的概念

穩定是控制系統正常工作的首要條件。分析、判定系統的穩定性，并提出確保系統穩定的條件是自動控制理論的基本任務之一。定義：如果在擾動作用下系統偏離了原來的平衡狀態，當擾動消失后，系統能夠以足夠的準確度恢復到原來的平衡狀態，則系統是穩定的；否則，系統不穩定。四、線性系統的穩定性分析

根據系統穩定的定義，若,則系統是穩定的。（2）穩定的充要條件系統穩定的充要條件：系統所有閉環特征根均具有負的實部，或所有閉環特征根均位于左半s平面。閉環系統特征方程：（1）必要條件：（2）勞斯（Routh）判據：勞斯表滿足必要條件的一、二階系統一定穩定，滿足必要條件的高階系統未必穩定，因此高階系統的穩定性還需要用勞斯判據來判斷。判據：勞斯表第一列元素均大于零時系統穩定，否則系統不穩定且第一列元素符號改變的次數就是特征方程中正實部根的個數例：四階系統特征方程：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0，判斷穩定性。解:建立勞斯表s4s3s2s1s01710521010

勞斯表第一列元素變號2次，有2個正根，系統不穩定。

例：系統結構如圖所示，(1)確定使系統穩定的參數(K,ξ)的范圍;(2)當ξ=2時，確定使全部極點均位于s=-1之左的K值范圍。解：當

x=2

時，進行平移變換：五、線性系統的穩態誤差分析

對穩定的系統研究穩態誤差才有意義，所以計算穩態誤差應以系統穩定為前提。通常把在階躍輸入作用下沒有原理性穩態誤差的系統稱為無差系統；而把有原理性穩態誤差的系統稱為有差系統。（1）誤差與穩態誤差按輸入端定義的誤差，即把偏差定義為誤差。

按輸出端定義的誤差:

計算穩態誤差的一般方法（1）判定系統的穩定性

（2）求誤差傳遞函數（3）用終值定理求穩態誤差

例：系統結構圖如圖所示，已知r(t)=n(t)=t，求系統的穩態誤差。例：系統結構圖如圖所示，求r(t)分別為A·1(t),At,At2/2時系統的穩態誤差。解．綜上可知，影響系統穩態誤差的因素主要包括：系統自身的結構參數，外作用的類型（控制量，擾動量及作用點），外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）(1)時域分析法是根據系統傳遞函數直接分析系統穩定性、動態和穩態性能的一種方法。(2)穩定是自動控制系統能否正常工作的首要條件。系統的穩定性取決于系統自身的結構和參數，與外作用的大小和形式無關。線性系統穩定的充要條件是其特征方程的根均位于左半s平面(即系統的特征根全部具有負實部)。(3