習題11-1．質點位矢隨時間變化的函數形式為其中為常量．求：〔1〕質點的軌道；(2)速度和速率。解：(1)由，知：，消去t可得軌道方程：∴質點的軌道為圓心在〔0，0〕處，半徑為R的圓；〔2〕由，有速度：而，有速率：。1-2．質點位矢隨時間變化的函數形式為，式中的單位為m，的單位為s。求：〔1〕質點的軌道；〔2〕從到s的位移；〔3〕和s兩時刻的速度。解：〔1〕由，可知，消去t得軌道方程為：，∴質點的軌道為拋物線?！?〕從到s的位移為：〔3〕由，有速度：和秒兩時刻的速度為：，。1-3．質點位矢隨時間變化的函數形式為，式中的單位為m，的單位為s.求：〔1〕任一時刻的速度和加速度；〔2〕任一時刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由，有：，，有：；〔2〕而，有速率：∴，利用有：。1-4．一升降機以加速度上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機的天花板與底板相距為h，求螺釘從天花板落到底板上所需的時間。解法一：以地面為參照系，坐標如圖，設同一時間內螺釘下落的距離為，升降機上升的高度為，運動方程分別為〔1〕〔2〕相遇時y1=y2即得：。解法二：以升降機為非慣性參照系，那么重力加速度修正為，利用，有：。1-5．一質量為的小球在高度處以初速度水平拋出，求：〔1〕小球的運動方程；〔2〕小球在落地之前的軌跡方程；〔3〕落地前瞬時小球的，，。解：〔1〕如圖，可建立平拋運動學方程：，，∴；〔2〕聯立上面兩式，消去t得小球軌跡方程：〔為拋物線方程〕；〔3〕∵，∴，即：，在落地瞬時，有：，∴又∵，∴。1-6．路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運動，并求其速度.證明：設人向路燈行走，t時刻人影中頭的坐標為，足的坐標為，由相似三角形關系可得：，∴兩邊對時間求導有：，考慮到：，知人影中頭的速度：〔常數〕。1-7．一質點沿直線運動，其運動方程為(m)，在t從0到3s的時間間隔內，質點走過的路程為多少？解：由于是求質點通過的路程，所以需考慮在0~3s的時間間隔內，質點速度為0的位置：假設解得，。1-8．一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對水平的傾角，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠(假設小球碰斜面前后速度數值相等，碰撞時人射角等于反射角)。解：小球落地時速度為，建立沿斜面的直角坐標系，以小球第一次落地點為坐標原點如圖示，→〔1〕→〔2〕第二次落地時：，代入〔2〕式得：，所以：。1-9．地球的自轉角速度最大增加到假設干倍時，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?現在赤道上物體的向心加速度約為，設赤道上重力加速度為。解：由向心力公式：，赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足：，而現在赤道上物體的向心力為：∴1-10．子彈的軌跡為拋物線，初速為，并且與水平面的夾角為。試分別求出拋物線頂點及落地點的曲率半徑。解：〔1〕拋物線頂點處子彈的速度，頂點處切向加速度為0，法向加速度為。因此有：，；〔2〕在落地點子彈速度為，由拋物線對稱性，知法向加速度方向與豎直方向成角，那么：，有：那么：。1-11．飛機以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標上，問：投放物品時，駕駛員看目標的視線和豎直線應成什么角度?此時目標距飛機下方地點多遠?解：設此時飛機距目標水平距離為有：┄①，┄②聯立方程解得：，∴。1-12．設將兩物體和分別以初速和拋擲出去．與水平面的夾角為；與水平面的夾角為，試證明在任何時刻物體相對物體的速度是常矢量。證明：兩個物體初速度為和，在任意時刻的速度為：與時間無關，故相對物體的速度是常矢量。1-13．一物體和探測氣球從同一高度豎直向上運動，物體初速為，而氣球以速度勻速上升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測得物體的速度各多少？解：取g=9.8m/s2。物體在任意時刻的速度表達式為：故氣球中的觀察者測得物體的速度代入時間t可以得到第二秒末物體速度：，〔向上〕第三秒末物體速度：第四秒末物體速度：〔向下〕。1-14．質點沿軸正向運動，加速度，為常數．設從原點出發時速度為，求運動方程。解：由于是一維運動，所以，由題意：，別離變量并積分有：，得：又∵，積分有：∴1-15．跳水運發動自跳臺自由下落，入水后因受水的阻礙而減速，設加速度，.求運發動速度減為入水速度的10%時的入水深度。解：取水面為坐標原點，豎直向下為軸。跳水運發動入水時的速度：，入水后速度減為入水速度的10%時：，列式：，考慮到，有：，1-16．一飛行火箭的運動學方程為：，其中b是與燃料燃燒速率有關的量，為燃氣相對火箭的噴射速度。求：〔1〕火箭飛行速度與時間的關系；〔2〕火箭的加速度。解：看成一維運動，直接利用公式：，有：〔1〕，〔2〕1-17.質點的運動方程為：，，，式中為正的常量。求：〔1〕質點運動的軌道方程；〔2〕質點的速度大?。弧?〕質點的加速度大小。解：〔1〕軌道方程為：，，這是一條空間螺旋線?？臻g螺旋線在平面上的投影，是圓心在原點，半徑為R的圓，其螺距為?！?〕，，，∴；〔3〕∴思考題11-1．點作曲線運動，其瞬時速度為，瞬時速率為，平均速度為，平均速率為，那么它們之間的以下四種關系中哪一種是正確的?〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕答：〔3〕1-2．質點的關系如圖，圖中，，三條線表示三個速度不同的運動．問它們屬于什么類型的運動?哪一個速度大？哪一個速度?。看穑簞蛩僦本€運動；。1-3．結合圖，說明平均加速度和瞬時加速度的幾何意義。答：平均加速度表示速度在時間內的平均變化率，它只能粗略地反映運動速度變化的快慢程度，而瞬時加速度能精確反映質點運動速度的變化。1-4．運動物體的加速度隨時間減小，而速度隨時間增加，是可能的嗎？答：是可能的。加速度隨時間減小，說明速度隨時間的變化率減小，但速度仍在增加。1-5．如下圖，兩船和相距，分別以速度和勻速直線行駛，它們會不會相碰?假設不相碰，求兩船相距最近的距離．圖中和為。答：方法一：如圖，以A船為參考系，在該參考系中船A是靜止的，而船B的速度。是船B相對于船A的速度,從船B作一條平行于方向的直線BC,它不與船A相交,這說明兩船不會相碰.由A作BC垂線AC,其長度就是兩船相靠最近的距離作FD//AB,構成直角三角形DEF，故有：，在三角形BEF中,由余弦定理可得：。方法二：兩船在任一時刻的位置矢量分別為：任一時刻兩船的距離為：令：。1-6．質點在一平面內運動，其位置矢量為，速度為，試說明、、、的物理意義，并指出它們分別為零時，除了表示靜止外，還可表示質點作何運動？解：中的為位置矢量的模〔一般可用表示〕，它表示質點離原點的距離，表示質點離原點的距離隨時間的變化率，即徑向速度.它為零表示質點與原點的距離不變，表示質點的運動軌跡為圓。即當時，質點作圓周運動.表示質點的速率，它為零表示為恒量，所以