第6講不等式選講1．常用的證明不等式的方法(1)比較法：比較法包括作差比較法和作商比較法．

(2)綜合法：利用某些已經證明過的不等式(例如算術平均數與幾何平均數的定理)和不等式的性質，推導出所要證明的不等式． (3)分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立．

(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B.凡涉及的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法．

(5)放縮法：要證明不等式A<B成立，借助一個或多個中間變量通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法．2．絕對值不等式(1)含絕對值不等式的解法設a>0，|f(x)|<a?－a<f(x)<a；|f(x)|>a?f(x)<－a或f(x)>a.(2)理解絕對值的幾何意義|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.{x|－1<x<2}1．用反證法證明時：其中的結論“a>b”，應假設為()A．a>bB．a<bC．a＝bD．a≤bD2．(2010年廣東廣州測試)若關于x的不等式|x－a|<1的解集為(1,3)，則實數a的值為()A(－∞，1)∪(2，＋∞)A．2B．1C．－1D．－2

4．不等式|2x－3|>1的解集為____________________．5．(2010年陜西)不等式|2x－1|<3的解集為_____________．3．不等式|2x－1|>|x|的解集為__________________．考點1比較法證明不等式證明：∵a＋b＝1，∴ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋bay2－2abxy＝ab(x－y)2.又a，b∈R＋，∴ab(x－y)2≥0.∴ax2＋by2≥(ax＋by)2.比較法證不等式步驟可歸納為：第一步：作差并化簡，其化簡目標應是n個因式之積或完全平方式或常數的形式．第二步：判斷差值與零的大小關系，必要時須進行討論．第三步：得出結論.

考點2綜合法證明不等式

利用某些已經證明的不等式和不等式的性質時要注意它們各自成立的條件．綜合法證明不等式的邏輯關系是：A?B1?B2?…?Bn?B，及從已知條件A出發，逐步推演不等式成立的必要條件，推導出所要證明的結論B.考點3分析法證明不等式分析法證明不不等式，就是是“執果索因”，，從所證的不等式出發，，不斷用充分分條件代替前前面的不等式式，直至使不不等式成立的條件已已具備，就斷斷定原不等式式成立．當證證題不知從何何入手時，有時可以以運用分析法法而獲得解決決，特別對于于條件簡單而而結論復雜的題目往往往是行之有有效的方法．．用分析法論證證“若A則B”這個命題的模模式是：欲證證命題B為真，只需證證明命題B1為真，從而又又只需證明命命題B2為真，從而又……只需證明命題題A為真，今已知知A真，故B必真．簡寫為為：B?B1?B2…?Bn?A.考點4利利用放縮法證證明不等式時時應把握好度度要證A>B，可適當選擇擇一個C，使得C≥B，反之亦然．主要要應用于不等等式兩邊差異異較大時的證明．一一般的放縮技巧有：①分式放縮：：固定分子，，放縮分母；；固定分母，，放縮分子．．多見于分式類類不等式的證證明．②添舍放縮：：視情況丟掉掉或增多一些些項進行放縮縮，多見于整整式或根式配方方后需要放縮縮的不等式的的證明．考點5解絕對值不等等式A．(0,2)B．(－∞，，0)AC．(2，＋＋∞)D.(－∞∞，0)∪(0，＋∞)x－2解析：考查絕對值不等式的化簡．絕對值大于本身，值為負數.x<0，解得A.或者選擇x＝1和x＝－1，兩個檢驗進行排除．②(2011年廣東)不等式|x＋1|－－|x－3|≥0的的解集集是____________．．[1，，＋∞∞)解析：：|x＋1|－|x－3|≥≥0??(x＋1)2≥(x－3)2，∴原原不等等式的的解集為[0，，＋∞∞)為___________．

③(2011年江西)對于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集考查含含絕對對值不不等式式的解解法，，對于于含絕絕對值值不等等式主要要是去去掉絕絕對值值后再再求解解，可可以通通過絕絕對值區間法、平方等方法去掉絕對值．題①利用代值法最好；題②利用平方法最好；題③利用零點分區間法最好．考點6不等式式||a|－|b||≤≤|a±b|≤|a|＋|b|的應用用圖5－6－1例6：：設函數數f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不不等式式f(x)>2；(2)求函函數y＝f(x)的最最小值值．對于比比較復復雜的的含絕絕對值值不等等式的的問題題，若若用常常規解法法需分分類討討論，，去掉掉絕對值符符號，，解法法繁瑣瑣，而而靈活活運用用絕對值的的幾何何意義義，往往往能能簡便便、巧巧妙地地將問問題解解決．．【互動動探究究】1．若若不等等式|x－4|＋|x－3|<a的解集集為非非空集集合，，則實實數a的取值范范圍是是()Ca≥3或或a≤1A．a>7B．1<a<7C．a>1D．a≥12．(2010年廣東東佛山山檢測測)若不等等式|x－a|＋|x－2|≥1對對任意意實數x均成立立，則則實數數a的取值值范圍圍為____________.解析因為不等式|x－a|＋|x－2|≥1對?x∈R恒成立，所以|a－2|≥1，解得：a≥3，或a≤1.1．利利用比比較法法證明明不等等式時時，為為了判判斷作作差后后的符符號，，有時時要把這這個差差變形形為一一個常常數，，或者者變形形為一一個常常數與與一個個或幾幾個平方方和和的的形形式式，，也也可可變變形形為為幾幾個個因因式式的的積積的的形形式式，，以以便便判判斷斷其其正正負．．2．．放放縮縮法法證證明明不不等等式式的的理理論論依依據據主主要要有有：：(1)不不等等式式的的傳傳遞遞性性；；(2)等等量量加加不不等等量量為為不不等等量量；；(3)同同分分子子(分分母母)異異分式大小的比較．常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮．3．．特特別別注注意意：：對對于于含含絕絕對對值值的的不不等等式式，，從從2010年年高高考考開開始始由選選考考內內容容改改為為必必考考內內容容，，成成為為這這兩兩年年高高考考的的熱熱點點，，特特別別是是2010年的的壓壓軸軸題題就就是是絕絕對對值值不不等等式式，，應應掌掌握握絕絕對對值值不不等等式式的的解解法法和和利利用||a|－－|b||≤≤|a±b|≤≤|a|＋＋|b|證4．．含含絕絕對對值值不不等等式式的的解解法法：：等等價價轉轉化化法法、、分分類類討討論論法法及及平平方方法5．．理理解解絕絕對對值值的的幾幾何何意意義義，，并并了了解解下下列列不不等等式式成成立立的的幾幾何何意意義及及取取等等號號的的條條件件：：|a＋b|≤≤|a|＋＋|b|(a，b∈R)；；|a＋b|≤≤|a－c|＋＋|c－b|(a，b∈R).1．．分分析析法法和和綜綜合合法法是是對對立立統統一一的的兩兩種種方方法法，，分分析析法法的的證證明明過過程，恰好好是綜合合法的分分析、思思考過程程，即綜綜合法是是分析法法的逆過過程．混淆淆了它們們間的區區別與聯聯系易產產生思維維障礙．．要注意意兩種證證明方法的的書寫格格式，