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二面角二面角一、二面角的定義二、二面角的畫法βαιαβι二面角二面角從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。直立式平臥式αβι三、二面角的平面角ABPβαι1、定義二面角二面角2、二面角的范圍：從二面角棱上任取一點P，在二面角的兩個半平面內分別作棱的垂線PA、PB，則稱為二面角的平面角。四、作二面角的平面角的常用方法①、點P在棱上②、點P在一個半平面上③、點P在二面角內ιpαβABABpαβιABOαβιp—定義法—三垂線定理法—垂面法二面角例1.如圖，已知P是二面角α-AB-β棱上一點，過P分別在α、β內引射線PM、PN，且∠MPN=60o∠BPM=∠BPN=45o，求此二面角的度數。βαABPMNCDO二面角解：在PB上取不同于P的一點O，在α內過O作OC⊥AB交PM于C，在β內作OD⊥AB交PN于D，連CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角設PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45o∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60o∴CD=PCa∴∠COD=90o因此，二面角的度數為90oaOPC二面角例2．如圖P為二面角α–ι–β內一點，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數。

βαABPιO二面角過PA、PB的平面PAB與棱ι交于O點∵PA⊥α∴PA⊥ι∵PB⊥β∴PB⊥ι∴ι⊥平面PAB∴∠AOB為二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60o∴∠AOB=120o∴這二面角的度數為120o解：βαABPιO二面角例2．如圖P為二面角α–ι–β內一點，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求這二面角的度數。OABPC取AB的中點為E，連PE，OE∵O為AC中點，∠ABC=90o∴OE∥BC且OEBC在Rt△POE中，OE，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值為例3．如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO為二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP二面角1、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是練習2、已知P為二面角內一點，且P到兩個半平面的距離都等于P到棱的距離的一半，則這個二面角的度數是多少？pαβιABOABCP60o二面角二、二面角的平面角一、二面角的定義從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角1、定義2、求二面角的平面角方法①點P在棱上②點P在一個半平面上③點P在二面角內ABPγβαι小結二面角二面角αβιABαβιpιpαβABpαβιABO—定義法—三垂線定理法—垂面法二面角αβABCDA為二面角α–CD

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