第講3含絕對值的不等式和一元二次不等式（第二課時）第一章集合與簡易邏輯1題型四：二次不等式、分式不等式的解法

由x2-6x+8＞0，得(x-2)(x-4)＞0，所以x＜2或x＞4.由，得，所以1＜x＜5.所以原不等式組的解集是(1，2)∪(4，5).1.解不等式組2點評：解一元二次不等式，一般先化二次項系數為正，然后解得其對應的一元二次方程的兩個根，再由此寫出不等式的解集；分式不等式，一般是先通分，然后對分子分母分解因式，再根據實數乘除的符號法則化為一元二次不等式進行求解.3解不等式原不等式可化為即，即所以其解用數軸表示如下：所以不等式的解集是(1，)∪(2，+∞).4題型五：高次不等式的解法2.解下列不等式：(1)2x3-x2-15x＞0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0.5(1)原不等式可化為x(2x+5)(x-3)＞0，把方程x(2x+5)(x-3)=0的三個根x1=0，x2=，x3=3順次標在數軸上，然后從右上開始畫曲線順次經過三個根，其解集為如圖所示的陰影部分.所以原不等式的解集為{x|＜x＜0或x＞3}.6(2)原不等式等價于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0x+5≠0(x+4)(x-2)＞0所以原不等式的解集為{x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}.x≠-5x＜-4或x＞2.點評：解高次不等式的策略是降次，降次的方法一是分解因式法，二是換元法.本題是利用分解因式，然后根據實數的積的符號法則，結合數軸標根法得出不等式的解集.7

(原創)解不等式原不等式可化為即(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)≤0，所以(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)≤0且x≠-3，x≠2，用“數軸標根法”畫草圖，所以原不等式的解集是(-3，-1］∪(2，4］.8題型六：含參數的一元二次不等式的解法3.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，求cx2+bx+a＜0的解集.9解法1：注意到一元二次不等式的解集與相應二次方程的根之間的關系，可以知道ax2+bx+c=0的兩個根為1，3，即原不等式與(x-1)(x-3)＜0同解.即x2-4x+3＜0與-ax2-bx-c＜0同解，因此這樣目標不等式cx2+bx+a＜0可變成3x2-4x+1＞0，而方程3x2-4x+1=0的根為因此所求不等式的解集為{x|x＜或x＞1}.10解法2：由ax2+bx+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，可知ax2+bx+c=0的兩個實根為為1，3，且a＜0，根據韋達定定理有因為a＜0，不等式cx2+bx+a＜0可變成即3x2-4x+1＞0，解得或或x＞1，故原不等式的的解集為{x|或x＞1}.11點評：一元二次不等等式與一元二二次方程有著著千絲萬縷的的關系，如一一元二次不等等式解集的邊邊界值等于其其對應的一元元二次方程的的兩根，而方方程的根又與與系數有著聯聯系，因此不不等式的邊界界值與系數也也就聯系起來來了.不同的是要注注意一元二次次不等式最高高次項的符號號.12已知a<1，解關于x的不等式：(x+2)(ax-1)(x+a)>0，因為a<1，所以，(1)當a=0時，原不等式式-x(x+2)>0-2<x<0；13(2)當0<a<1時，原不等式式(x+2)(x-)(x+a)>0，因為-2<-a<，所以-2<x<-a或x>；(3)當a<0時，原不等式式(x+2)(x-)(x+a)<0，①若時時，，原不等式-2<x<-a或x<；②若時時，，原不等式且且x≠-2；14③若時時，原不不等式<x<-a或x<-2，綜上，當0<a<1時，解集是{x|-2<x<-a或}；當a=0時，解集是{x|-2<x<0}；當時時，，解集是{x|-2<x<-a或}；當時時，解集是{x|且x≠-2}；當時時，解集是{x|或x<-2}.15不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4＜0對一切實數x都成立，求實實數m的取值范圍.①若m=2，不等式可化化為-4＜0，這個不等式式與x無關，即對一一切x∈R都成立.

參考題16②若m≠2，這是一個一一元二次不等等式.由于解解集為為R，故知知拋物物線y=(m-2)x2+2(m-2)x-4的開口口向下下，且且與x軸無交交點，，必有有m-2＜0Δ＜0，解得-2＜m＜2.綜上，，m的取值值范圍圍是{m|-2＜m≤2}.m-2＜04(m-2)2-4(m-2)(-4)＜0，即171.含參數數的二二次不不等式式可從從①二次項項系數數與0的大小小；②判別式式與0的大小小；③一元二二次方方程的的根這這三個個方面面進行行分層層討論論.182.一元n(n≥2，n∈N)次不等等式及及分式式不等等式的的求解解問題題也可可采用用標根根分區區間法法求解解.其步驟驟是：：(1)將多多項項式式的的最最高高次次項項的的系系數數化化為為正正數數;(2)將多多項項式式分分解解為為若若干干個個一一次次因因式式的的積積；；19(3)將每每一一個個一一次次因因式式的的根根標標在在數數軸軸上上，，從從右右上上方方依依次次通通過過每每一一點點畫畫曲曲線線；；(4)根據據曲曲線線顯顯現現出出的的多多項項式式值值的的符符號號變變化化規規律律，，寫寫出出不不等等式式的的解解集集.20一般般地地，，一一元元n次不不等等式式:(x-a1)(x-a2)……(x-an)＞0(x-a1)(x-a2)……(x-an)＜0其中中a1＜a2＜a3＜…＜an，把把a1，a2，…，an按大大小小順順序序標標在在數數軸軸上上，，則則不不等等式式的的解解的的區區間間如如下下圖圖所所示示.21右端端第第一一區區間間(an，+∞∞)一定定為為正正，，然然后后正正負