圖形的相似、位似【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.如果4x=3y,那么下列結(jié)論正確的是 ()A.x3=y4 B.xC.xy=43 D.x=4,2.已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,則BCB'C'=A.2 B.4C.3 D.163.[2021·西城區(qū)二模]若相似三角形的相似比為1∶4,則面積比為 ()A.1∶16 B.16∶1C.1∶4 D.1∶24.[2021·溫州]如圖1,圖形甲與圖形乙是位似圖形,O是位似中心,位似比為2∶3,點A,B的對應(yīng)點分別為點A',B'.若AB=6,則A'B'的長為 ()圖1A.8 B.9 C.10 D.155.如圖2,在△ABC中,D,E分別是AB和AC的中點,S四邊形BCED=15,則S△ABC= ()圖2A.30 B.25 C.22.5 D.206.如圖3,點D,E分別在△ABC的AB,AC邊上,增加下列條件中的一個:①∠AED=∠B,②∠ADE=∠C,③AEAB=DEBC,④ADAC=AEAB,⑤AC2=AD·AE,使△ADE與△ACB一定相似的有圖3A.①②④ B.②④⑤C.①②③④ D.①②③⑤7.[2021·東城區(qū)一模]一個直角三角形木架的兩條直角邊的長分別是30cm,40cm.現(xiàn)要做一個與其相似的三角形木架,如果以60cm長的木條為其中一邊,那么另兩邊中長度最大的一邊最多可達(dá)到 ()A.60cm B.75cm C.100cm D.120cm8.[2021·海淀區(qū)期末]如圖4,在△ABC中,點D,E分別是邊AB,AC上的點,DE∥BC,AD=1,BD=AE=2,則EC的長為.

圖49.[2020·東城區(qū)期末]《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:“今有竿不知其長,量得影長一丈五尺,立一標(biāo)桿,長一尺五寸,影長五寸,問竿長幾何?”意思就是:有一根竹竿不知道有多長,量出它在太陽下的影子長一丈五尺,同時立一根一尺五寸的小標(biāo)桿(如圖5所示),它的影長五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長為.

圖510.如圖6,在平面直角坐標(biāo)系中,將△AOB以點O為位似中心,23為位似比作位似變換,得到△A1OB1.已知A(2,3),則點A1的坐標(biāo)是圖611.[2021·豐臺區(qū)期末]將矩形紙片ABCD按如下步驟進(jìn)行操作:圖7(1)如圖7①,先將紙片對折,使BC和AD重合,得到折痕EF;(2)如圖②,再將紙片分別沿EC,BD所在直線翻折,折痕EC和BD相交于點O.那么點O到邊AB的距離與點O到邊CD的距離的比值是.

12.如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別是A(1,3),B(4,1),C(1,1).畫出以點O為位似中心,與△ABC的位似比為2∶1的△A2B2C2.圖813.[2021·朝陽區(qū)期末]閱讀下面材料:小軍遇到這樣一個問題:如圖9①,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC內(nèi)一點,∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°,AP=1,求BP的長.圖9小軍的思路是:根據(jù)已知條件可以證明△ACP∽△CBP,進(jìn)一步推理可得BP的長.請回答:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠PCB=∠PBA,∴∠PCA=.

∵∠PAC=∠PCB,∴△ACP∽△CBP.∴APPC=PCPB=∵∠ACB=45°,AB=AC,∴∠BAC=90°.∴ACCB=∵AP=1,∴PC=2.∴PB=.

參考小軍的思路,解決問題:如圖②,在△ABC中,AB=AC,P是△ABC內(nèi)一點,∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=30°,求APBP的值14.如圖10,在矩形ABCD中,E是BC的中點,DF⊥AE,垂足為F.(1)求證:△ABE∽△DFA;(2)若AB=6,BC=4,求DF的長.圖10【能力提升】15.如圖11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足為D,E為BC的中點,AE與CD交于點F,則DF的長為.

圖1116.如圖12,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P為BC邊上的動點(與B,C不重合),PD∥AB,交AC于點D,連接AP,設(shè)CP=x,△ADP的面積為S.(1)用含x的代數(shù)式表示AD的長;(2)求S與x的函數(shù)表達(dá)式,并求當(dāng)S隨x增大而減小時x的取值范圍.圖12

【參考答案】1.A2.B3.A4.B5.D[解析]根據(jù)題意,點D和點E分別是AB和AC的中點,所以DE∥BC且DE=12BC,故可以判斷出△ADE∽△ABC根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方,可知S△ADE∶S△ABC=1∶4,則S四邊形BCED∶S△ABC=3∶4,題中已知S四邊形BCED=15,故可得S△ADE=5,S△ABC=20,因此本題選D.6.A7.C8.49.四丈五尺[解析]設(shè)竹竿的長度為x尺,∵竹竿的影長=一丈五尺=15尺,標(biāo)桿長=一尺五寸=1.5尺,標(biāo)桿的影長=五寸=0.5尺,∴x15=1.故答案為四丈五尺.10.(43,2)[解析]∵將△AOB以點O為位似中心,23為位似比作位似變換,得到△A1OB1,A(2,3),∴點A1的坐標(biāo)是:(23×2,23×3),即A1(43,211.112.解:如圖所示,△A2B2C2為所求.13.解:∠PBC22∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠PCB=∠PBA,∴∠PCA=∠PBC.∵∠PAC=∠PCB,∴△ACP∽△CBP.∴APPC∵∠ACB=30°,∴APPC設(shè)AP=a,則PC=3a,∴PB=3a.∴APBP14.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC.∴∠AEB=∠DAF,∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°.∴∠B=∠DFA,∴△ABE∽△DFA.(2)∵△ABE∽△DFA,∴ABDF∵BC=4,E是BC的中點,∴BE=12BC=12∴在Rt△ABE中,AE=AB2+又∵AD=BC=4,∴6DF∴DF=61015.5485方法一:已知∠ACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理,得AB=5.∵CD⊥AB,∴12AB·CD=12AC·∴CD=AC·如圖,過點E作EH⊥AB于點H.則EH∥CD,∴△BEH∽△BCD,∴EHCD∴EH=12CD=6易得△ABC∽△ACD,∴ACAD=ABAC,得由△ABC∽△CBD,得BCBD∴BD=BC·∴DH=12BD=1由△ADF∽△AHE,得ADAH∴9585+9其他構(gòu)圖方法:構(gòu)造X型方法二:由方法一知:CD=125,AD=95,BD=過點E作EG∥AB交CD于點G,由平行線分線段成比例,得DG=12CD=65,EG=由EG∥AB,知△ADF∽△EGF,∴DFGF=ADEG,即DF6其他構(gòu)圖方法:構(gòu)造反A字型方法三:如圖,過點B作BQ⊥AE交AE的延長線于點Q.∵AE是△ABC的中線,∴S△ABE=12S△ABC=12∵S△ABE=12AE·BQ=12∴BQ=613∵AB=5,∴AQ=AB由△ADF∽△AQB,