§6.2一元二次不等式

考點探究?挑戰高考考向瞭望?把脈高考§6.2一元二次不等式

雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理><2．一元二次不等式及其解法(1)一元二次不等式的定義含有一個未知數，且未知數的最高次數是________________叫一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式為：ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．(2)一元二次不等式的解法利用一元二次不等式、一元二次方程及二次函數間的關系求解一元二次不等式．三者的關系見下表：二次的不等式判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0有兩個不等實根x1，x2(x1<x2)有兩個相等實根x1＝x2無實根二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖像{x|x<x1，或x>x2}{x|x1<x<x2}?思考感悟當a<0時，ax2＋bx＋c>0與ax2＋bx＋c<0的解集如何？提示：當a<0時，可利用不等式的性質將二次項系數化為正數，注意不等號的變化，而后求得方程兩根，再利用“大于號取兩邊，小于號取中間”求解．

課前熱身1．(教材習題改編)不等式－x2＋x＋2≤0的解集為(

)A．[－2,1]

B．[－1,2]C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2]∪[－1，＋∞)答案：C2．(2009年高考四川卷)設集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，則S∩T＝(

)A．{x|－7<x<－5}B．{x|3<x<5}C．{x|－5<x<3}D．{x|－7<x<5}答案：C答案：A答案：：1考點探究?挑戰高考考點突破考點一一元二次不等式及簡單高次不等式的解法解一元元二次次不等等式時時，當當二次次項系系數為為負時時要先先化為為正，，再求求出對對應的的一元元二次次方程程的根根，然然后結結合相相應的的二次次函數數的圖圖像寫寫出不不等式式的解解集，，對于于分式式不等等式要要等價價轉化化為整整式不不等式式再求求解．．例1【思路點點撥】(1)根據分分段函函數的的解析析式脫脫掉函函數符符號“f”后求解解；(2)分式不不等式式化為為整式式不等等式求求解．．可得解解集為為{x|－2<x<－1或x>2}．【規律小小結】解一元元二次次不等等式的的步驟驟：變式訓訓練1解下列列不等等式：：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)2x3－x2－15x>0；(3)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.考點二含參數的一元二次不等式的解法解含參參數的的一元元二次次不等等式可可按如如下步步驟進進行：：(1)若二次次項系系數為為常數數，可可先考考慮分分解因因式，，再對對參數數進行行討論論；若若不易易因式式分解解，則則可對對判別別式進進行分分類討討論，，分類類要不不重不不漏．．(2)二次項項若含含有參參數應應討論論是等等于0、小于于0、還是是大于于0，然后后將不不等式式轉化化為二二次項項系數數為正正的形形式．．(3)判斷方方程的的根的的個數數，討討論判判別式式Δ與0的關系系．(4)確定無無根時時可直直接寫寫出解解集，，確定定方程程有兩兩個根根時，，要討討論兩兩根的的大小小關系系，從從而確確定解解集的的形式式．解關于于x的不等等式ax2－(2a＋1)x＋2<0.【思路點撥撥】本題主要要考查含含參數的的不等式式的解法法與分類類討論思思想的運運用．顯顯然當a＝0時，它是是一個關關于x的一元一一次不等等式，當當a≠0時，還需需分a>0及a<0來討論．．例2【名師點評評】解含字母母參數的的一元二二次不等等式，要要把握好好分類討討論的層層次，一一般按下下面次序序進行討討論：首首先根據據二次項項系數的的符號進進行討論論；其次次根據根根是否存存在即Δ的符號進進行討論論；最后后在根存存在時，，根據根根的大小小進行討討論．互動探究究2若將例2不等式變變為x2＋4ax－(4a＋1)≤0，該如何何求解？？考點三一元二次不等式的實際應用實際應用用問題是是新課標標下考查查的重點點，突出出了應用用能力的的考查，，在不等等式應用用題中常常以函數數模型出出現，如如一元二二次不等等式應用用題常以以二次函函數為模模型．解解題時要要理清題題意，準準確找出出其中不不等關系系，再利利用不等等式解法法求解．．例3【思路點點撥】設出變變量建建立不不等式式，并并解不不等式式．【反思感感悟】解不等等式應應用題題，一一般可可按如如下四四步進進行：：(1)閱讀理理解、、認真真審題題、把把握問問題中中的關關鍵量量、找找準不不等關關系；；(2)引進數數學符符號，，用不不等式式表示示不等等關系系(或表示示成函函數關關系)；(3)解不等等式或或求函函數最最值；；(4)回扣實實際問問題．．考點四一元二次不等式恒成立問題對于二二次不不等式式恒成成立問問題，，恒大大于0就是相相應的的二次次函數數的圖圖像在在給定定的區區間上上全部部在x軸上方方，恒恒小于于0就是相相應的的二次次函數數的圖圖像在在給定定的區區間上上全部部在x軸下方方．已知不不等式式mx2－2x－m＋1<0.(1)若對于于所有有的實實數x不等式式恒成成立，，求m的取值值范圍圍；(2)設不等等式對對于滿滿足|m|≤2的一切切m的值都都成立立，求求x的取值值范圍圍．例4【失誤點點評】本例第第(1)問極易易漏掉掉m＝0的情況況，導導致誤誤解．．第(2)問中多多數會會利用用二次次函數數在閉閉區間間上的的最值值求解解，可可行但但解法法麻煩煩．方法感悟方法技技巧1．解一一元二二次不不等式式時，，首先先要將將一元元二次次不等等式化化成標標準型型，即即ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式式，其其中a>0.(如例1(2))2．一元元二次次不等等式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的形式式(其中a>0)與一元元二次次方程程ax2＋bx＋c＝0的關系系．(1)知道一一元二二次方方程ax2＋bx＋c＝0的根可可以寫寫出對對應不不等式式的解解集；；(如例2)(2)知道一一元二二次不不等式式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集集也可可以寫寫出對對應方方程的的根．．(如課前前熱身身5)3．數形形結合合：利利用二二次函函數y＝ax2＋bx＋c的圖像像可以以一目目了然然地寫寫出一一元二二次不不等式式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0的解集集．(如例1)4．解含含參數數的不不等式式時，，必須須注意意參數數的取取值范范圍，，并在在此范范圍內內對參參數進進行分分類討討論．．分類類的標標準是是通過過理解解題意意(例如能能根據據題意意挖掘掘出題題目的的隱含含條件件)，根據據方法法(例如利利用單單調性性解題題時，，抓住住使單單調性性發生生變化化的參參數值值)，按照照解答答的需需要(例如進進行不不等式式變形形時，，必須須具備備的變變形條條件)等方面面來決決定，，一般般都應應做到到不重重復、、不遺遺漏．．(如例2)5．一元元二次次不等等式的的解集集有兩兩種特特殊情情況，，即??和R.f(x)>0的解集為???y＝f(x)圖像全在x軸下方或開開口向下且且與x軸相切；f(x)>0的解集為R?y＝f(x)圖像全在x軸上方．(如例4)失誤防范1．一元二次次不等式的的界定．對對于貌似一一元二次不不等式的形形式要認真真鑒別．如如：解不等式(x－a)(ax－1)>0，如果a＝0時，它實際際上是一個個一元一次次不等式；；只有當a≠0時，它才是是一個一元元二次不等等式．2．當判別式式Δ<0時，ax2＋bx＋c>0(a>0)解集為R；ax2＋bx＋c<0(a>0)解集為?.二者不要混混為一談．．考情分析考向瞭望?把脈高考一元二次不不等式是每每年高考必必考的知識識點之一，，考查重點點是一元二二次不等式式的解法，，含參數不不等式的解解法以及二二次函數、、一元二次次方程、一一元二次不不等式之間間的聯系的的綜合應用用等問題．．題型多為為選擇題、、填空題，，有時也會會在解答題題中出現，，會在知識識交匯點處處命題，部部分考查一一元二次不不等式的有有關知識．．客觀題主主要考查一一元二次不不等式的解解法，屬中中、低檔題題；主觀題題與其他知知識交匯命題題，，考考查查學學生生分分析析問問題題、、解解決決問問題題的的能能力力，，突突出出靈靈活活性性，，屬屬中中、、高高檔檔難難度度題題目目．．預測測2012年高高考考仍仍將將以以解解一一元元二二次次不不等等式式，，含含參參數數的的一一元元二二次次不不等等式式為為主主要要考考點點，，重重點點考考查查學學生生的的運運算算能能力力及及邏邏輯輯推推理理能能力力．．真題透析例【思路路點點撥撥】先將將不不等等式式等等價價地地轉轉化化為為(ax－1)(x＋1)<0，然然后后根根據據a的不不同同取取值值進進行行分分類類討討論論，，與與不不等等式式的的解解集集進進行行比比較較確確定定a的值值．．【答案案】－2(3)解形形如如ax2＋bx＋已知知二二次次函函數數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖像經經過A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，且且滿足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)證明：y1＝－a或y2＝－a；(2)證明：函函數f(x)的圖像必必與x軸有兩個個交點；；(3)若關于x的不等式式f(x)>0的解集為為{x|x>m或x<n}(n<m<0)，解關于于x的不等式式cx2－bx＋a>0.名師預測解：(1)證明：∵a2＋(y1＋y2)a＋y1y2