第二節 一元二次不等式及其解法1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系．3．會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖.1．一元二次不等式的解法在二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，令y＝0，得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．若將符號“＝”改為不等號“>”或“<”，便得到一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．因此，可以通過y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象與x軸的交點求得一元二次不等式的解，具體如下表：2.用一個程序框圖來描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解的算法過程：4．設集合A＝{x|(x－1)2<3x＋7，x∈R}，則集合A∩Z中有________個元素．解析：由(x－1)2<3x＋7得－1<x<6，∴集合A＝{x|－1<x<6}，∴A∩Z的元素有0,1,2,3,4,5共6個元素．答案：65．a<0時，不等等式x2－2ax－3a2<0的解集是是________．解析：∵x2－2ax－3a2＝0，∴x1＝3a，x2＝－a.又a<0，∴不等式式的解集集為{x|3a<x<－a}．答案：{x|3a<x<－a}熱點之一一一元二次次不等式式及其解解法1．通過函數數圖象了了解一元元二次不不等式與與相應的的二次函函數、一一元二次次方程的的聯系．．2．解一元二二次不等等式時，，當二次次項系數數為負時時要先化化為正，，再求出出對應的的一元二二次方程程的根，，然后結結合相應應的二次次函數的的圖象寫寫出不等等式的解解集，對對于分式式不等式式要等價價轉化為為整式不不等式再再求解．．熱點之二二解含參數數的一元元二次不不等式解含字母母參數的的不等式式要分類類討論求求解，當當二次項項系數中中含有字字母時要要分二次次項系數數大于0、等于0、小于0進行討論論，二次次項系數數的正、、負對不不等號的的方向和和不等式式的解集集均有影影響.其次，對對相應的的方程根根的大小小進行討討論.最后結合合相應的的二次函函數的圖圖象求得得不等式式的解集集.[例2]解關于x的不等式式ax2－(2a＋1)x＋2<0.[思路探究究]這個不等等式的左左端可以以分解為為兩個因因式的乘乘積，即即(ax－1)(x－2)，這樣就就可以根根據字母母a和0的三種關系進進行分類解決決．熱點之三一元二次不等等式與一元二二次方程的根根的關系不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解就是使二二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值大于于0或小于0的x的取值范圍，，因此一元二二次方程ax2＋bx＋c＝0的兩根就是x的取值范圍的的端點值，要要結合二次函函數的圖象去去理解二次不不等式的解集集.[例3]已知拋物線y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(m∈R)．(1)當m為何值時，拋拋物線與x軸有兩個不同同的交點？(2)若關于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的兩個不等實實根的倒數平平方和不大于于2，求實數m的取值范圍．．[課堂即(m－2)2＋4(m－1)>0，所以m2>0，所以m≠1且m≠0.[思維拓拓展]拋物線線實質質是一一元二二次函函數的的圖象象，所所以由由一元元二次次函數數圖象象的性性質特特點來來分析析即可可．關關于方方程的的根的的情況況由韋韋達定定理轉即時訓訓練(2010·山東淄淄博模模擬)若關于于x的不等等式ax2－6x＋a2<0的解集集為(－∞，，m)∪(1，＋∞∞)，則m等于________．解析：：由已知知可得得a<0且1和m是方程程ax2－6x＋a2＝0的兩兩根根，，于于是是a－6＋a2＝0，解解得得a＝－－3，代代入入ax2－6x＋a2＝0得－3x2－6x＋9＝0，所以方方程的另另一根為為－3，即m＝－3.答案：熱點之四四一元二次次不等式式的恒成成立問題題1．解決恒成成立問題題一定要要搞清誰誰是自變變量，誰誰是參數數．一般般地，知知道誰的的范圍，，誰就是是變量，，求誰的的范圍，，誰就是是參數．．2．對于二次次不等式式恒成立立問題，，恒大于于0就是相應應的二次次函數的的圖象在在給定的的區間上上全部在在x軸上方，，恒小于[例4]已知不等等式mx2－2x＋m－2<0.(1)若對于所所有的實實數x不等式恒恒成立，，求m的取值范范圍；(2)設不等式式對于滿滿足|m|≤2的一切m的值都成成立，求求x的取值范范圍．[思路探究究](1)討論m是否為零零，可結結合二次次函數的的圖象求求解；(2)看作關于于m的一次函函數，利利用其單單調性求求解．(2)設g(m)＝(x2＋1)m－2x－2，它是一一個以m為自變量量的一次次函數，，由x2＋1>0知g(m)在[－2,2]上為增函函數，則則由題意意只需g(2)<0即可，即2x2＋2－2x－2<0，解得0<x<1.即x的取值范范圍是(0,1)．即時訓練練設f(x)＝x2－2mx＋2，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥m恒成立，，求實數數m的取值范范圍．解析：設F(x)＝x2－2mx＋2－m，則當x∈[－1，＋∞)時，F(x)≥0恒成立當Δ＝4(m－1)(m＋2)<0，即－2<m<1時，F(x)>0顯然成立立；當Δ≥0時，右圖圖，F(x)≥0恒成立的的充要條條件為：：從近幾年年的高考考試題看看，高考考中常常常以小題題的形式式考查簡簡