第二章

地圖的數學基礎（1）西南大學地理科學學院沈敬偉Email：jingweigis@163.comMobile圖學

§1地球體

§2地球坐標系與大地定位

2浩瀚宇宙之中:

地球是一個表面光滑的球體。§1

地球體3機艙窗口俯視大地:地表是一個有些微起伏、極其復雜的表面。

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。45事實是： 地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。6地球的物理表面 和重力方向線相垂直，形成了無數個曲面，每一個曲面上重力位相等，我們把重力位相等的面稱為重力等位面，即通常所說的水準面。地球表層不均勻導致水準面的形狀很復雜。

在眾多的水準面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準面。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。7大地水準面的意義1.地球形體的一級逼近： 對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當。2.起伏波動在制圖學中可忽略：

對大地測量和地球物理學有研究價值，但在制圖業務中，均把地球當作正球體。8地球的數學表面在測量和制圖中就用旋轉橢球體來代替大地球體，這個旋轉橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。

它是一個規則的數學表面，所以人們視其為地球體的數學表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。9橢球體

三要素: 長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。10 對地球形狀a，b，f

測定后，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關系。即確定與局部地區大地水準面符合最好的一個地球橢球體——參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。 通過數學方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數學上給出對地球形狀的三級逼近。11

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區不同，故地球橢球體的元素值有很多種。12中國1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯玻爾可夫天文臺）；自1980年開始采用GRS1975（國際大地測量與地球物理學聯合會IUGG1975推薦）新參考橢球體系。13 §1地球體

§2地球坐標系與大地定位

14§2地球坐標系與大地定位2.1地理坐標

——用經緯度表示地面點位的球面坐標。

地球表面上的定位問題，是與人類的生產活動、科學研究及軍事國防等密切相關的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統的建立。①天文經緯度②大地經緯度③地心經緯度15①

天文經緯度：表示地面點在大地水準面上的位置，用天文經度和天文緯度表示。2.1地理坐標天文經度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。16②

大地經緯度：表示地面點在參考橢球面上的位置，用大地經度l

、大地緯度

和大地高h

表示。2.1地理坐標大地經度l

：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經為正，西經為負。大地緯度：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。17③

地心經緯度：即以地球橢球體質量中心為基點，地心經度同大地經度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。2.1地理坐標

在大地測量學中，常以天文經緯度定義地理坐標。在地圖學中，以大地經緯度定義地理坐標。在地理學研究及地圖學的小比例尺制圖中，通常將橢球體當成正球體看，采用地心經緯度。182.2我國的大地坐標系統1954年北京坐標系：1954年，我國將原蘇聯采用克拉索夫斯基橢球元素建立的坐標系，聯測并經平差計算引申到我國，以北京為全國大地坐標原點，確定了過渡性大地坐標系，稱1954北京坐標系。缺點是橢球體面與我國大地水準面不能很好地符合，誤差較大。192.2我國的大地坐標系統1980年國家大地坐標系：1978年采用新的橢球體參數GRS(1975)，以陜西省西安市以北涇陽縣永樂鎮某點為國家大地坐標原點，進行定位和測量工作，通過全國天文大地網整體平差計算，建立了全國統一的大地坐標系，即1980年國家大地坐標系。陜西省涇陽縣永樂鎮北洪流村為“1980坐標系”大地坐標的起算點——大地原點。202.2我國的大地坐標系統優點：橢球體參數精度高；定位采用的橢球體面與我國大地水準面符合好；天文大地坐標網傳算誤差和天文重力水準路線傳算誤差都不太大，而且天文大地坐標網坐標經過了全國性整體平差，坐標統一，精度優良，可以滿足1：5000甚至更大比例尺測圖的要求等。212.2我國的大地坐標系統與當今社會發展存在的矛盾：①坐標維的矛盾。隨著衛星定位導航技術在我國的廣泛使用，二維不能適應現代的三維定位技術；②精度的矛盾。衛星定位技術可達10-7～10-8的點位相對精度，而西安80系只能保證3×10-6；③坐標系統（框架）的矛盾。數字地球的發展要求用戶需要提供與全球總體適配的地心坐標系統。22“參心坐標系”與“地心坐標系”地球體參心質心地心坐標系橢球參心坐標系橢球最佳擬合區23ChinaGeodeticCoordinateSystem2000，(CGCS2000):隨著社會的進步，國民經濟建設、國防建設和社會發展、科學研究等對國家大地坐標系提出了新的要求，迫切需要采用原點位于地球質量中心的坐標系統（簡稱地心坐標系）作為國家大地坐標系。采用地心坐標系，有利于采用現代空間技術對坐標系進行維護和快速更新，測定高精度大地控制點三維坐標，并提高測圖工作效率。2.2我國的大地坐標系統24

衛星軌道及遠程彈道計算都更加精確；衛星遙感數據便于納入地球坐標系統；衛星定位的精度提高；地球重力場測定精度提高；

科學觀測（如地殼運動觀測，板塊移動監測）精度提高。優點：25

原來的地圖經緯度坐標值將會改變，工作量大；已建成的地理空間數據庫的坐標值將要改算；局部地區的地圖變形將增大；帶來的問題：26大地控制網大地控制網由平面控制網和高程控制網組成。包括具有精確測定平面位置和高程的典型的具有控制意義的點，它是測制地圖的基礎。平面控制網采用平面控制測量確定控制點的平面位置，即大地經度（L）和大地緯度（B）。其主要方法是三角測量和導線測量。27大地控制網三角測量：在平面上選擇一系列控制點，建立三角網，經測量由已知推算未知。為達到層層控制的目的，由國家測繪主管部門統一布設一、二、三、四等三角網。一等三角網是全國平面控制的骨干，由近于等邊的三角形構成，邊長在20～25km左右，基本上沿經緯線方向布設；二等三角網是在一等三角網的基礎上擴展的，三角形平均邊長約為13km，這樣可以保證在測繪1:10萬、1:5萬比例尺地形圖時，每150km2內有一個大地控制點，即每幅圖至少有3個控制點；以此類推，保證不同比例尺地圖的精度。28角度測量水平角測量原理

概念：地面上某點到兩目標的方向線鉛垂投影在水平面上所成的角度，稱為水平角，取值范圍：0-360。29距離測量

1、鋼尺。鋼尺是鋼制的帶尺，用于較高精度的量距工作。

2、皮尺。皮尺是麻線與細金屬絲織成的帶狀尺。

3、繩尺。又稱測繩，是內含金屬絲的繩子，外用棉線包裹。

4、標桿。又稱花桿。用以標定點位或直線的方向，由堅實不易彎曲的木桿制成，也有用鋁合金制成的金屬標桿。

5、測桿。在測量距離過程中，用以標志所量尺段的起止點，計算整尺段數。30當兩個地面點之間的距離較長或地勢起伏較大時，為使量距工作方便起見，可分成幾段進行丈量。這種把多根標桿標定在已知直線上的工作稱為直線定線。

31光電測距通過直接或間接地測定測距信號在被測距離上的往返傳播時間t2D，同時求定測距信號在大氣中的傳播速度v，即可按下式求得距離D：32正弦公式在ΔABC中，以a,b,c表示∠A，∠B，∠C之對邊長度，則

a／sinA=b／sinB=c／sinC=2R，其中R為ΔABC外接圓的半徑。

33余弦公式cosA=ABCa

a2=b2+c2

2bccosAcc2=a2+b2

2abcosCb

b2=a2+c2

2accosBcosB=cosC=亦可把余弦公式寫成以下的形式:AaBbCc34三角測量示意圖35大地控制網導線測量：把各個控制點連成連續折線，然后測定這些折線邊長和轉角，最后根據起算點坐標及方位角推算其它點坐標。包括：一種是閉合導線；另一是附合導線。建立大地控制網時，通常要隔一定距離選測若干大地點的天文經緯度、天文方位角和起始邊長，作為定向控制及校核數據使用，故大地控制網又有天文大地控制網之稱。363738平面控制網國家測繪局39高程系高程控制網的建立，必須規定一個統一的高程基準面。我國利用青島驗潮站1950～1956年的觀測記錄，確定黃海平均海水面為全國統一的高程基準面，并在青島觀象山埋設了永久性的水準原點。以黃海平均海水面建立起來的高程控制系統，統稱“1956年黃海高程系”。青島觀象山水準原點40高程系1987年，因多年觀測資料顯示，黃海平均海平面發生了微小的變化，水準原點由原來的72.289m變為72.260m，國家決定啟用新的高程基準面，即“1985年國家高程基準”。高程控制點的高程也發生微小的變化，但對已成圖上的等高線的影響則可忽略不計。41水準測量借助水準儀提供的水平視線來測定兩點之間的高差，是建立高程控制網的主要方法。兩點之間的高差H=a-b，設HA為已知點的高程，則待求點的高程HB=HA+H42

普通水準測量方法

已知水準點BM.A的高程HA＝19.153m，欲測定距水準點BM.A較遠的B點高程，按普通水準測量的方法，由BM.A點出發共需設五個測站，連續安置水準儀測出各站兩點之間的高差，觀測步驟如下：4344高程控制網是在全國范圍內按照統一規范，由精確測定了高程的地面點所組成的控制網，是測定其它地面點高程的基礎。表明地面點高程位置的方法有兩種：絕對高程，即地面點到大地水準面的高度。相對高程，即地面點到任意水準面的高度。建立高程控制網的目的是為了精確求算絕對高程，即高程。45高程控制網國家測繪局46

2.3全球定位系統-GPS

授時與測距導航系統/全球定位系統(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是美國國防部開發的星際全球無線電導航系統。47全球定位系統優勢它可為全球范圍的飛機、艦船、地面部隊、車輛、低軌道航天器，提供全天候、連續、實時、高精度的三維位置、三維速度以及時間數據。GPS應用于測量工程與經典大地測量相比的優勢：①觀測站之間無需通視；②定位精度高；③提供三維坐標；④操作簡便；⑤全天候作業。48GPS系統定位原理通過測量衛星信號到達接收機的時間延遲，即可算出用戶到衛星的距離。再根據三維坐標中的距離公式，利用3顆衛星的數據，組成3個方程式，就可以解出觀測點的位置（X,Y,Z）。考慮到衛星的時鐘與接收機時鐘之間的誤差，實際上有4個未知數，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛星，形成4個方程式以求解，從而得到觀測點經緯度和高程。

49GPS系統的組成1.空間部分：21顆工作衛星，3顆備用衛星（白色）。它們在高度20200km的近圓形軌道上運行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55°，兩個軌道面之間在經度上相隔60°，每個軌道面上布放四顆衛星。衛星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點，任意時刻，至少同時可見到四顆衛星。50

2.地面支撐系統：1個主控站，3個注入站，5個監測站。它向GPS導航衛星提供一系列描述衛星運動及其軌道的參數；監控衛星沿著預定軌道運行；保持各顆衛星處于GPS時間系統及監控衛星上各種設備是否正常工作等。51地面監控部分主控站一個，設在美國的科羅拉多的斯普林斯。主控站負責協調和管理所有地面監控系統的工作，包括：根據所有地面監測站的觀測資料推算編制各衛星的星歷、衛星鐘差和大氣層修正參數等，并把這些數據及導航電文傳送到注入站；提供全球定位系統的時間基準；調整衛星狀態和啟用備用衛星等。52地面監控部分注入站又稱地面天線站，主要任務是通過一臺直徑為3.6m的天線，將來自主控站的衛星星歷、鐘差、導航電文和其它控制指令注入到相應衛星的存儲系統，并監測注入信息的正確性。注入站現有3個，分別設在印度洋的迭哥加西亞、南太平洋的卡瓦加蘭和南大西洋的阿松森群島。53地面監控部分監測站主要任務是連續觀測和接收所有GPS衛星發出的信號并監測衛星的工作狀況，將采集到的數據連同當地氣象觀測資料和時間信息經初步處理后傳送到主控站。地面監控系統除主控站外均由計算機自動控制，勿需人工操作。各地面站間由現代化通訊系統聯系，實現了高度自動化和標準化。54

3.用戶設備部分：GPS接收機——接收衛星信號，經數據處理得到接收機所在點位的導航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數據，如到航路點的距離和航向或提供圖示。55GPS的應用主要體現在GPS衛星定位和導航：靜態定位和動態定位。在飛機、輪船、車輛上廣泛應用的導航就是一種廣義上的動態定位。56歐洲伽利略衛星導航定位系統2002年3月24日，歐盟首腦會議批準了建設伽利略衛星導航定位系統的實施計劃。由于在科索沃戰爭以及阿富汗戰爭期間，歐洲軍隊使用GPS技術事實上都受到了限制。因此，歐盟首腦們意識到：“如果放棄伽利略計劃，我們將在今后20-30年間失去防務上的主動權。”此外，伽利略計劃帶來的經濟利潤也是不容忽略的。歐盟的一項研究預測表明，發展伽利略衛星導航定位技術，僅在歐洲就可以創造出14萬多個就業崗位，每年創造的經濟收益將會