第三章復變函數的積分§1

柯西定理一.復變函數的積分二.引理原函數與不定積分三.柯西定理§2

柯西公式一.柯西公式二.高階導數公式四.莫勒拉(Morera)定理目錄上頁下頁返回結束四.復合閉路定理三.柯西不等式與劉維爾定理目錄上頁下頁返回結束主要內容1.

復變函數積分的概念、性質、計算法2.復合閉路定理解析函數的導數仍是解析函數高階導數公式幾個引理柯西定理柯西積分公式Morera定理柯西定理的逆定理柯西不等式,劉維爾定理目錄上頁下頁返回結束一.

復變函數的積分1.定義1.1:函數w=f(z)定義在區域D內,一條光滑有向曲線,(1)分割，插入n-1個分點§1、柯西定理(2)求局部近似值(3)求和并取極限z0為起點,z為終點.其中C是D內的目錄上頁下頁返回結束如果無論對C怎樣的分法，ζk

怎樣的取法,極限都存在，若C為封閉曲線，則記為則稱該極限值為f(z)在C上的積分,

記為即:①.計算方法令則：復變函數的積分可以化為u(x,y),v(x,y)的曲線積分.目錄上頁下頁返回結束該方法主要針對被積函數不是解析函數的積分,例如2、說明目錄上頁下頁返回結束【例1.1】設C為從0到1+i的直線段,求目錄上頁下頁返回結束②f(z)在C上連續,則存在.Proof:

因為f(z)在C上連續,則u(x,y),v(x,y)在C上連續從而存在,也存在.所以目錄上頁下頁返回結束③如果曲線C用參數方程表示,其中t0對應點z0,T對應點z,

黎曼積分的形式.則上積分可以寫成目錄上頁下頁返回結束3.復變函數積分的性質①.線性性②.有向性③.可加性C=C1+C2(其中C,C1,C2同方向)推廣目錄上頁下頁返回結束④有界性若f(z)在C上滿足|f(z)|≤M,則(其中L為C的長度)推廣(其中C,C1,…,Cn同方向)目錄上頁下頁返回結束【例1.2】設C為從原點到點A(3,4)的直線段,求模的一個上界.解:由有界性,求出L,M即可(3,4)340目錄上頁下頁返回結束【例1.3】設C是圓周|z-α|=ρ>0的正向,α為復數,求解：設,于是目錄上頁下頁返回結束【例1.4】設C為連接z0,z兩點的簡單曲線，求解:目錄上頁下頁返回結束積分與路徑無關由例1.4積分與路徑無關C-R條件

f(z)解析且u,v

可微積分與路徑無關事實上,只要被積函數f(z)解析,則積分與路徑無關且

u,

v可微

積分與路徑無關積分與路徑無關目錄上頁下頁返回結束二.

引理、原函數與不定積分1.引理2.1:設f(z)是單連通區域D內的解析函數,C是D內的一個多角形周界,那么(一).引理目錄上頁下頁返回結束(二).原函數與不定積分1.De2.1:設f(z),Φ(z)是區域D內的函數,并且Φ(z)解析如果在D內有,則稱Φ(z)是f(z)的一個原函數或不定積分.ez是ez的一個原函數lnz是1/z的一個原函數-

cosz是sinz的一個原函數

sinz是cosz的一個原函數目錄上頁下頁返回結束3.De2.2:設f(z)在D內連續,為變上限函數.則稱4.引理2.2:f(z)在D內有原函數.積分上限為z,下限為α,設f(z)是在凸區域D內的解析函數,那么Proof:設F(z),Φ(z)為f(z)的任意兩個原函數2.結論:任意兩個原函數相差一個常數.即：目錄上頁下頁返回結束引理2.2:設f(z)是在凸區域D內的解析函數,則f(z)在D內有原函數.Proof:取定α∈D,任取z0\{α}∈D,z\{α,

z0}∈D,令所以連接

α,z0,z由引理2.1因為D是凸區域,的三角形包含在D內,于是由例1.4目錄上頁下頁返回結束由于f(z)在z0處連續,所以使得又從而在

α

點,由仿照上面的證明,得因此F(z)是f(z)在D內的原函數.目錄上頁下頁返回結束復變函數的牛頓-萊布尼茲公式原函數F(z),如果α

,

β

∈D,并且C是在D內連接α

及β

的一條曲線,那么證明:如果C是光滑曲線z=z(t)(a≤t≤b),z(a)=α,z(b)=β,則設f(z)是在區域D內的連續函數,并且在

D內有5.引理2.3:目錄上頁下頁返回結束解：【例1.5】計算積分作業P5（1,2）目錄上頁下頁返回結束補充題:其中C是圓周|z|=2的正向計算積分提示：利用及例1.3目錄上頁下頁返回結束三.

柯西定理(CauchyTh)1.定理3.1.設f(z)是單連通區域D內的解析函數(1).設C是D內任一條簡單閉曲線,那么(2).設C是在D內連接

z0,z兩點的任意一條簡單曲線,那么沿

C從

z0到z的積分值由z0到z點兩點決定,而不依賴曲線C,該積分仍記為f(z)在單連通區域D內解析,則積分與路徑無關目錄上頁下頁返回結束證明:(1)在D內找到有限個圓盤由于C是一個緊集,故可以并用F1(z)F2(z),…,K1,K2,…

,Kn-1覆蓋C,因圓盤是凸區域,由引理2.2f(z)在K1,K2,…,Kn-1內有原函數,Fn-1(z)表示f(z)在這些圓盤上的原函數,取目錄上頁下頁返回結束其中是在C上依反時針方向取的,于是引理2.3引理2.3引理2.1所以(1)成立.目錄上頁下頁返回結束證明:(2)設C1是在D內另一條連接

z0,z兩點的簡單曲線,記由(1)則有所以只與起點z0終點z有關與路徑C無關,(2)成立2.定理3.1'.設C是一條簡單閉曲線,f(z)在以C為邊界的有界閉區域上解析,則目錄上頁下頁返回結束3.定理3.2:f(z)在D內有原函數.4.復變函數的牛頓-萊布尼茲公式設f(z)是單連通區域D內的解析函數,f(z)在D內有原函數F(z),如果α,β∈D,則設f(z)是單連通區域D內的解析函數,那么被積函數在積分區域內不解析,不能用牛頓·萊布尼茲公式目錄上頁下頁返回結束5.換元積分法6.分部積分法設f(z),g(z)在單連通區域D內解析,α,β∈D,則設f(z),g(z)在單連通區域D內解析,f(z)在D內有原函數F(z),如果α,β∈D,則注意:求積分一定是在解析函數的某個解析分支上求.目錄上頁下頁返回結束【例1.6】設D是不含α的單連通區域,z0,z∈D,求解:當m≠1時當m=1時其中對數理解為Ln(z-α)在D內的一個解析分支在z0,z的值,并且在D內沒有割線.(*)目錄上頁下頁返回結束特別設D是沿α出發的任何射線作為割線而得的區域仍然有(*)成立.其中對數理解為Ln(z-α)在D內的一個解析分支在

z0,z的值.z0,z∈D,則目錄上頁下頁返回結束【例1.7】計算下列積分積分路徑為任意曲線積分路徑為不過1的任意曲線其中對數理解為Ln(z-1)的一個解析分支在

a,b

的值.目錄上頁下頁返回結束(被積函數取的解析分支)的解析分支為k=0在|z|=1上解:在|z|=1內lnz在z=0處不解析，取正實軸為割線【例1.8】計算下列積分,其中C:|z|=1的正向目錄上頁下頁返回結束(被積函數取的解析分支)的解析分支為k=1,在|z|=1上解:在|z|=1內在z=0處不解析，取正實軸為割線目錄上頁下頁返回結束四.

復合閉路定理1.設D由n+1條簡單閉曲線C0

,C1,…,Cn圍成,為外曲線

C1,C2…,Cn為內曲線,且內曲線圍成的區域其中C0設f(z)在上解析,設C表示D的全部邊界,

兩兩不相交,那么其中C是區域

D的正向.即C0

是逆時針方向,C1,…,Cn是順時針方向目錄上頁下頁返回結束2.

復合閉路定理的推廣設簡單閉曲線C內有n個奇點z1,z2,…,zn

,則：且作n個閉曲線C1,C2,…,Cn除特別聲明外,以后我們寫出沿簡單閉曲線的積分,都是按反時針方向取的.沿區域邊界的積分,都是按區域正向取的.曲線C圍成的區域其中C,C1,C2,…,Cn取曲線正向.目錄上頁下頁返回結束3.

復合閉路定理的推廣的應用α包含在C中,且n為整數時有：推廣：結論：C是以α為中心

,ρ為半徑的正向圓周，且n為整數時有：目錄上頁下頁返回結束【例1.9】計算下列積分3202020e解析為奇點為奇點目錄上頁下頁返回結束01c1c2目錄上頁下頁返回結束【例1.10】計算積分其中區域逆時針和順時針方向的簡單曲線.C1,C2是圓環D內從z0到z1沿解:取定Argz在z0的值為argz0.當z從z0沿C1連續變動從z0沿C2連續到z1時,z的輻角從

argz0連續變動到argz1;變動到z1時,z的輻角從

argz0連續變動到argz1-2π.令則五.多連通區域內的不定積分(注意:不能用CauchyTh)目錄上頁下頁返回結束從而從而事實上由求出一個積分,容易得出另一個積分.目錄上頁下頁返回結束【例1.11】證明,C為連接-i到i的線段.解:作業P567(1)(2)ln=2πi.9(3).10.目錄上頁下頁返回結束補充題:1.計算積分目錄上頁下頁返回結束一.

柯西公式1.定理4.1:設D是以有限條簡單閉曲線C§2、柯西公式(C由C0,C1,C2組成)為邊界的有界區域.那么在D內任一點z,有設f(z)在D及C所組成的閉區域上解析,(*)(*)稱為柯西公式或柯西積分公式(*)還可以寫為目錄上頁下頁返回結束證明:以z為圓心作一包含在D內的閉圓盤,得一閉區域在上解析,則由復合閉路定理設其半徑為ρ,邊界為圓Cρ.在D內挖去Cρ為邊界的圓盤,并且該積分與ρ無關,又目錄上頁下頁返回結束因為在z處連續,則時,從而即于是,使得當∵積分與ρ無關,∴目錄上頁下頁返回結束【例2.1】解:z=±i為奇點,（如圖所示）求積分其中C:|z|=2的正向i-i02方法一:方法二:目錄上頁下頁返回結束【例2.2】設C為橢圓的正向,設求解:由C圍成的開區域記為D,由柯西定理,柯西積分公式知1+i2-3i023目錄上頁下頁返回結束2.定理4.2:在定理4.1的假設條件下,f(z)在D內任意階可導,并且其導數為3.系4.1:設函數f(z)在D內解析,階導數.(**)稱為高階導數公式(**)還可以寫為(**)二.

高階導數公式則f(z)在D內有任意目錄上頁下頁返回結束解:∵f(z)=cos(zπ)解析【例2.3】求下列函數的積分其中C:|z|=r>1目錄上頁下頁返回結束其中C:|z|=r,1<r<20-2-1解:z=0,z=-1是奇點,由復合閉路定理目錄上頁下頁返回結束解:z=0為奇點,所以【例2.4】設f(z)在|z|≤1上解析,且f(0)=1,求積分目錄上頁下頁返回結束解:一方面由|z|=1,z=eiθ,所以【例2.5】通過計算證明目錄上頁下頁返回結束另一方面由高階導數公式所以作業P565.目錄上頁下頁返回結束補充題:3.求積分2.設f(z)在區域D內解析,C是D內的任意一條簡單閉曲線,從而證明證明對于D內但不在C上任意一點z0,下列等式成立.其中C為不經過a,-a的正向1.計算積分簡單閉曲線,a

為任意復數.目錄上頁下頁返回結束1.定理4.3:設f(z)在以為邊界,則證明:由高階導數公式,在閉圓盤C上(柯西不等式)的閉區域上解析,設其中Cp是圓所以即三.

柯西不等式與劉維爾定理或目錄上頁下頁返回結束設函數f(z)在|z|≤r內解析且有界M,證明【例2.6】設

z0

是|z|<r

內的任一點,在閉圓盤利用柯西不等式,上立即得到由

z0

的任意性得:Proof:目錄上頁下頁返回結束2.定義:在整個復平面上解析的函數f(z)稱為整函數.3.定理4.4:(劉維爾Th)其逆也真

常數是有界整函數逆否

非常數的整函數必無界證明:設f(z)是有界整函數,則使得又f(z)在上解析,由柯西不等式得,由ρ的任意性,從而f(z)在C上有界整函數一定恒等于常數令ρ→+∞,可見恒等于常數.目錄上頁下頁返回結束設f(z)為一整函數,且對所有的z有Ref(z)<M.【例2.7】證明:令F(