第4課時數列的綜合應用

考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考第課時數列的綜合應用溫故夯基·面對高考4溫故夯基·面對高考1．解答數列應用題的步驟(1)審題——仔細閱讀材料，認真理解題意．(2)________——將已知條件翻譯成數學(數列)語言，將實際問題轉化成數學問題，弄清該數列的特征、要求是什么．(3)求解——求出該問題的數學解．(4)_________——將所求結果還原到原實際問題中．建模還原2．數列應用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數時，該模型是等比模型，這個固定的數就是公比．(3)遞推數列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化時，應考慮是an與an＋1之間的遞推關系，還是前n項和Sn與前n＋1項和Sn＋1之間的遞推關系．思考感悟銀行儲蓄單利公式及復利公式是什么模型？提示：單利公式——設本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和an＝a(1＋rn)，屬于等差模型．復利公式——設本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和an＝a(1＋r)n，屬于等比模型．考點探究·挑戰高考考點一等差、等比數列的綜合問題考點突破(1)等差數列與等比數列相結合的綜合問題是高考考查的重點，特別是等差、等比數列的通項公式，前n項和公式以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點．(2)利用等比數列前n項和公式時注意公比q的取值．同時對兩種數列的性質，要熟悉它們的推導過程，利用好性質，可降低題目的難度，解題時有時還需利用條件聯立方程求解．例1(2011年河源質檢)已知等差數列{an}的前四項的和A4＝60，第二項與第四項的和為34，等比數列{bn}的前四項的和B4＝120，第二項與第四項的和為90.(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；(2)設cn＝an·bn，且{cn}的前n項和為Sn，求Sn.【思路分析】

(1)由已知設出公差與公比聯立方程求解．(2)利用錯位相減法求解．【名師點點評】{an·bn}(一個是是等比比數列列，一一個是是等差差數列列)求和是是典型型的錯錯位相相減法法求和和，解解題時時注意意應用用，同同時注注意公公比q的情況況．互動探探究若將本本例(2)中cn＝an·bn改為cn＝an＋bn，又如如何求求{cn}的前n項和Sn.考點二數列的實際應用問題解數列列應用用題，，要充充分運運用觀觀察、、歸納納、猜猜想等等手段段，建建立等等差數數列、、等比比數列列、遞遞推數數列等等模型型．(比較典典型的的問題題是存存款的的利息息計算算問題題，通通常的的儲蓄蓄問題題與等等差數數列有有關，，而復復利計計算則則與等等比數數列有有關．．)例2考點三數列與函數、解析幾何、不等式的綜合應用數列是是特殊殊的函函數，，以數數列為為背景景的不不等式式證明明問題題及以以函數數為背背景的的數列列的綜綜合問問題體體現了了在知知識交交匯點點上命命題的的特點點，該該類綜綜合題題的知知識綜綜合性性強，，能很很好地地考查查邏輯輯推理理能力力和運運算求求解能能力，，因而而一直直為高高考命命題者者的首首選．．例3【思路路分分析析】(1)賦值值，，運運用用奇奇偶偶性性定定義義．．(2)尋求求f(xn＋1)與f(xn)的關關系系．．【解】(1)證明明：：令令x＝y＝0，得得2f(0)＝f(0)，∴∴f(0)＝0.令y＝－－x，得得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－－f(x)．∴∴f(x)在(－1,1)上是是奇奇函函數數．．【名師師點點評評】數列列與與函函數數的的綜綜合合問問題題主主要要有有以以下下兩兩類類：：(1)已知知函函數數，，解解決決數數列列問問題題，，此此類類問問題題一一般般利利用用函函數數的的性性質質，，圖圖象象研研究究數數列列問問題題；；(2)已知知數數列列條條件件，，解解決決函函數數問問題題．．解解決決此此類類問問題題一一般般要要充充分分利利用用數數列列的的范范圍圍、、公公式式、、求求和和方方法法、、對對式式子子化化簡簡變變形形．．方法感悟方法法技技巧巧1．深深刻刻理理解解等等差差(比)數列列的的性性質質，，熟熟悉悉它它們們的的推推導導過過程程是是解解題題的的關關鍵鍵．．兩兩類類數數列列性性質質既既有有相相似似之之處處，，又又有有區區別別，，要要在在應應用用中中加加強強記記憶憶．．同同時時，，用用好好性性質質也也會會降降低低解解題題的的運運算算量量，，從從而而減減少少差差錯錯．．2．在等差差數列與與等比數數列中，，經常要要根據條條件列方方程(組)求解，在在解方程程組時，，仔細體體會兩種種情形中中解方程程組的方方法的不不同之處處．3．數列的的滲透力力很強，，它和函函數、方方程、三三角形、、不等式式等知識識相互聯聯系，優優化組合合，無形形中加大大了綜合合的力度度．解決決此類題題目，必必須對蘊蘊藏在數數列概念念和方法法中的數數學思想想有所了了解，深深刻領悟悟它在解解題中的的重大作作用，常常用的數數學思想想方法有有：“函函數與方方程”、、“數形形結合””、“分分類討論論”、““等價轉轉換”等等．4．在現實實生活中中，人口口的增長長、產量量的增加加、成本本的降低低、存貸貸款利息息的計算算、分期期付款等等問題，，都可以以利用數數列來解解決，因因此要會會在實際際問題中中抽象出出數學模模型，并并用它解解決實際際問題．．失誤防范范1．數列的的應用還還包括實實際問題題，要學學會建模模，對應應哪一類類數列，，進而求求解．2．在有些些情況下下，證明明數列的的不等式式要用到到放縮法法．考向瞭望·把脈高考從近幾年年的高考考試題來來看，等等差數列列與等比比數列交交匯、數數列與解解析幾何何、不等等式交匯匯是考查查的熱點點，題型型以解答答題為主主，難度度偏高，，主要考考查學生生分析問問題和解解決問題題的能力力．預測2012年廣東高高考，等等差數列列與等比比數列的的交匯、、數列與與解析幾幾何、不不等式的的交匯仍仍將是高高考的主主要考點點，重點點考查運運算能力力和邏輯輯推理能能力．考情分析規范解答例(本題滿分分12分)(2010年高考浙浙江卷)設a1，d為實數，，首項為為a1，公差為為d的等差數數列{an}的前n項和為Sn，滿足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范范圍．【名師點評評】本題主要要考查等等差數列列的概念念、求和和公式等等基礎知知識及轉轉化思想想，方程程思想的的運用．．本題從外外觀上看看，題設設與所求求都很普普通，其其綜合強強度并不不大，但但滿分率率并不高高，分析析其原因因：(1)轉化思想想運用不不熟：不不知如何何構造關關于d的不等式式．(2)分析題意意有誤，，認為(1)是(2)的條件將將(1)中求得的的a1，代入(2)中，結果果求不出出d的范圍．．名師預測1．已知{an}，{bn}均為等差差數列，，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6,則由{an}，{bn}的公共項項組成的的新數列列{cn}的通項公公式cn＝()A．3n＋4B．6n＋2C．6n＋4D．2n＋2答案：C2．有一種種細菌和和一種病病毒，每每個細菌菌