對數(shù)對數(shù)的概念1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)logaN是loga與N的乘積．(×)(2)(－2)3＝－8可化為log(－2)(－8)＝3.(×)(3)對數(shù)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù)．(√)(4)若3x＝2，則x＝log23.(×)2．有下列說法：①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；②任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對數(shù)式；③以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)；④3log3(－5)＝－5成立．其中正確命題的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：②錯(cuò)誤，如(－1)2＝1，不能寫成對數(shù)式；④錯(cuò)誤，log3(－5)沒有意義；①③正確，故選B.題型1對數(shù)的概念3．若7x＝8，則x＝(C)\f(8,7) B．log87C．log78 D．log7x解析：根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，由7x＝8，可得x＝log78.4．已知log2a＝3，則a＝(C)A．6 B．7C．8 D．9解析：根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，由方程log2a＝3，可得a＝23＝8.5．若logxeq\r(7,y)＝z，則(B)A．y7＝xz B．y＝x7zC．y＝7·xz D．x＝z7y解析：由logxeq\r(7,y)＝z，得xz＝eq\r(7,y)，兩邊同時(shí)7次方得(xz)7＝(eq\r(7,y))7，即y＝x7z.題型2對數(shù)的計(jì)算6．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x>0且a，b，c，x≠1)，則logx(abc)等于(D)\f(4,7) B．eq\f(2,7)C．eq\f(7,2) D．eq\f(7,4)解析：由已知得，x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，所以abc＝xeq\f(7,4)，所以logx(abc)＝eq\f(7,4).7．已知a>0，b>0，若log4a＝log6b＝eq\f(1,2)，則eq\f(a,b)＝eq\f(\r(6),3).解析：根據(jù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化，由log4a＝log6b＝eq\f(1,2)，可得a＝4eq\s\up5(\f(1,2))＝2，b＝6eq\s\up5(\f(1,2))＝eq\r(6)，所以eq\f(a,b)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).8．求下列各式中x的值：(1)x＝logeq\s\do5(\f(\r(2),2))4；(2)x＝log9eq\r(3)；(3)logx8＝－3；(4)logeq\f(1,2)x＝4.解：(1)由已知得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))x＝4，即2－eq\f(x,2)＝22，所以－eq\f(x,2)＝2，解得x＝－4.(2)由已知得9x＝eq\r(3)，即32x＝3eq\f(1,2).所以2x＝eq\f(1,2)，解得x＝eq\f(1,4).(3)由已知得x－3＝8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3＝23，所以eq\f(1,x)＝2，解得x＝eq\f(1,2).(4)由已知得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4＝eq\f(1,16).題型3對數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用9．計(jì)算23＋log23＋32－log39＝__25__.解析：23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋eq\f(32,3log39)＝8×3＋1＝25.10.若log3(x－2)＝log4(2y－1)＝1，則eq\f(x,y)＝__2__.解析：由log3(x－2)＝1可得x－2＝3，所以x＝5.由log4(2y－1)＝1可得2y－1＝4，所以y＝eq\f(5,2).所以eq\f(x,y)＝eq\f(5,\f(5,2))＝2.易錯(cuò)點(diǎn)1記錯(cuò)指數(shù)式與對數(shù)式間各字母關(guān)系致錯(cuò)11．求下列各式中x的值．(1)logx27＝eq\f(3,2)；(2)log2x＝－eq\f(2,3).解：(1)由logx27＝eq\f(3,2)，得xeq\f(3,2)＝27，所以x＝27eq\f(2,3)＝(33)eq\f(2,3)＝9.(2)由log2x＝－eq\f(2,3)，得x＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3,2),2).[誤區(qū)警示]指數(shù)式與對數(shù)式互化公式為ab＝N?b＝logaN，做題時(shí)一定注意各字母的位置．易錯(cuò)點(diǎn)2用錯(cuò)對數(shù)的性質(zhì)致錯(cuò)12．若log2(logeq\s\do5(\f(1,2))(log2x))＝log3(logeq\s\do5(\f(1,3))(log3y))＝log5(logeq\s\do5(\f(1,5))(log5z))＝0，試確定x，y，z的大小關(guān)系．解：由log3(logeq\s\do5(\f(1,3))(log3y))＝0，得logeq\s\do5(\f(1,3))(log3y)＝1，log3y＝eq\f(1,3)，y＝3eq\f(1,3)＝(310)eq\f(1,30)；又由log2(logeq\s\do5(\f(1,2))(log2x))＝0，得logeq\s\do5(\f(1,2))(log2x)＝1，log2x＝eq\f(1,2)，x＝2eq\f(1,2)＝(215)eq\f(1,30)；由log5(logeq\s\do5(\f(1,5))(log5z))＝0，得logeq\s\do5(\f(1,5))(log5z)＝1，log5z＝eq\f(1,5)，z＝5eq\f(1,5)＝(56)eq\f(1,30).因?yàn)?10>215>56，所以y>x>z.[誤區(qū)警示]對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是對數(shù)運(yùn)算的依據(jù)，要熟記公式，以防運(yùn)算時(shí)出錯(cuò)．(限時(shí)30分鐘)一、選擇題1．下列各式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，則x＝10；④若log25x＝eq\f(1,2)，則x＝±5.其中正確的個(gè)數(shù)有(B)A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：底的對數(shù)為1,1的對數(shù)為0，故①②正確；0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，故④錯(cuò)誤；③中10＝lgx，應(yīng)該有x＝1010，所以只有①②正確．2．已知log2x＝3，則x－eq\f(1,2)等于(D)\f(1,3) B．eq\f(1,2\r(3))C．eq\f(1,3\r(3)) D．eq\f(\r(2),4)解析：因?yàn)閘og2x＝3，所以x＝23＝8.所以x－eq\f(1,2)＝8－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).3．2－3＝eq\f(1,8)化為對數(shù)式為(C)A．logeq\s\do5(\f(1,8))2＝－3 B．logeq\s\do5(\f(1,8))(－3)＝2C．log2eq\f(1,8)＝－3 D．log2(－3)＝eq\f(1,8)解析：根據(jù)指對互化得log2eq\f(1,8)＝－3.4．(多選題)下列指數(shù)式與對數(shù)式互化正確的是(ABD)A．e0＝1與loge1＝0B．8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)與log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2與9eq\f(1,2)＝3D．log77＝1與71＝7解析：由指數(shù)、對數(shù)互化的關(guān)系：ax＝N?x＝logaN(a>0，且a≠1，N>0)可知A，B，D都正確；C中，log39＝2?32＝9.5．對數(shù)式M＝log(a－3)(10－2a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．(－∞，5) B．(3,5)C．(3，＋∞) D．(3,4)∪(4,5)解析：由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10－2a>0，,a－3>0，,a－3≠1，))解得3<a<4或4<a<5，即a的取值范圍是(3,4)∪(4,5)．6．若m>0，meq\f(2,3)＝eq\f(16,25)，則logeq\f(4,5)m等于(B)A．2 B．3C．4 D．6解析：因?yàn)閙eq\f(2,3)＝eq\f(16,25)，m>0，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,25)))eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3，logeq\f(4,5)m＝logeq\f(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))3＝3.二、填空題7．已知logx16＝4，則x＝__2__.解析：因?yàn)閘ogx16＝4，所以x4＝16，x>0且x≠1，解得x＝2.8．若log2eq\f(2x－5,3)＝1，則x＝eq\f(11,2).解析：因?yàn)閘og2eq\f(2x－5,3)＝1，所以eq\f(2x－5,3)＝2.即2x－5＝6，解得x＝eq\f(11,2).9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤1，,log81x，x＞1，))則滿足f(x)＝eq\f(1,4)的x的值為__3__.解析：由題意得①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1，,2－x＝\f(1,4)))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,log81x＝\f(1,4)，))解①得x＝2，與x≤1矛盾，故舍去；解②得x＝3，符合x＞1，所以x＝3.三、解答題10．求下列各式中x的值：(1)4x＝5×3x；(2)52－log53＝x；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(alogab))logbc＝x(a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，b≠1)．解：(1)因?yàn)?x＝5×3x，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))x＝5，所以x＝logeq\f(4,3)5.(2)x＝52－log53＝eq\f(52,5log53)＝eq\f(25,3).(3)x＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.11．若logeq\f(1,2)x＝m，logeq\f(1,4)y＝m＋2，求eq\f(x2,y)的值．解：因?yàn)閘ogeq\f(1,2)x＝m，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝x，所以x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m.因?yàn)閘ogeq\f(1,4)y＝m＋2，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))m＋2＝y(tǒng)，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m＋4，所以eq\f(x2,y)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m＋4)＝