函數(shù)的概念及其表示函數(shù)的概念課時1函數(shù)的概念(一)1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯誤的打“×”)．(1)函數(shù)值域中的每一個值都有定義域中的一個值與它對應(yīng)．(√)(2)f(a)表示當自變量x＝a時，函數(shù)y＝f(x)的值．(√)(3)函數(shù)的定義域是無限集，則值域也是無限集．(×)2．(多選題)下列關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的說法正確的是(AD)A．y是x的函數(shù)B．x是y的函數(shù)C．對于不同的x，y也不同D．當x＝a時，f(a)有且只有一個解析：根據(jù)函數(shù)的定義知B錯誤；對于不同的x，y可以相同，C錯誤；A，D正確．題型1函數(shù)概念的理解3.[2020·杭州高一期中]下列關(guān)于x，y的解析式中，y可以表示為x的函數(shù)解析式的是(D)A．x2＋y2＝1 B．|x|＋|y|＝1C．x3＋y2＝1 D．x2＋y3＝1解析：＋y2＝1，當x＝0時，y＝±1，不滿足函數(shù)的概念；B.|x|＋|y|＝1，當x＝0時，y＝±1，不滿足函數(shù)的概念；＋y2＝1，當x＝0時，y＝±1，不滿足函數(shù)的概念；＋y3＝1，y＝eq\r(3,1－x2)，滿足函數(shù)的概念．4．函數(shù)y＝f(x)，x∈R的圖象與直線x＝2020的交點個數(shù)是(C)A．0 B．0或1C．1 D．1或2020解析：由函數(shù)定義可得，定義域內(nèi)一個自變量x只有唯一確定的y與之對應(yīng)，因為x∈R，所以x＝2020與函數(shù)y＝f(x)只有一個交點，故選C.5．(多選題)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示從A到B的函數(shù)的是(BC)A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝2xC．f：x→y＝eq\f(2,3)x D．f：x→y＝eq\r(x)解析：B選項中，當x＝4時，y＝24＝16?B，因此B選項不能表示從A到B的函數(shù)；C選項的對應(yīng)關(guān)系是f：x→y＝eq\f(2,3)x，可得f(4)＝eq\f(8,3)?B，不滿足函數(shù)的定義，其他選項均符合函數(shù)的定義．題型2求函數(shù)的值6．已知f(x)＝eq\f(2,x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．3 D．67．已知f(x)＝eq\f(1,x2＋1).求f(－1)，f(0)和f(2)．解：由已知可得，f(－1)＝eq\f(1,－12＋1)＝eq\f(1,2)，f(0)＝eq\f(1,02＋1)＝1，f(2)＝eq\f(1,22＋1)＝eq\f(1,5).題型3求函數(shù)的定義域8．函數(shù)y＝eq\r(1－x)的定義域是(A)A．{x|x≤1} B．{x|x<1}C．{x|x≥1} D．{x|0≤x≤1}9.[2020·銀川高一期中]函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(3－x),x－1)的定義域是__{x|x≤3且x≠1}__．10.求下列函數(shù)的定義域．(1)f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(x＋3)－1；(2)f(x)＝eq\r(x＋5)＋eq\f(1,x＋2).解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋3≥0，))得函數(shù)的定義域為{x|－3≤x≤1}．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥0，,x＋2≠0，))得函數(shù)的定義域為{x|x≥－5且x≠－2}．易錯點1對函數(shù)y＝f(x)的含義不理解致錯11.[2020·北京高一期中]如圖，A，B，C是函數(shù)y＝f(x)的圖象上的三點，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f(f(3))的值為(B)A．0 B．1C．2 D．3解析：根據(jù)圖象可知，f(3)＝2，f(2)＝1，所以f(f(3))＝f(2)＝1.[誤區(qū)警示]計算f(f(3))時應(yīng)先計算f(3)的值，再代入計算f(f(3))的值．易錯點2對函數(shù)的概念不理解而致錯12．下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)的是(A)A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的數(shù)平方B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的數(shù)開方C．A＝Z，B＝Q，f：A中的數(shù)取倒數(shù)D．A＝{平行四邊形}，B＝R，f：求A中平行四邊形的面積解析：B項中，集合A中的元素1對應(yīng)集合B中的元素1和－1，不符合函數(shù)的定義；C項中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒有意義，在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義；D項中，A集合不是數(shù)集，故不符合函數(shù)的定義．[誤區(qū)警示]解題時要理解對應(yīng)關(guān)系是什么，對應(yīng)是否滿足函數(shù)的定義．(限時30分鐘)一、選擇題1．下列圖象中不能表示函數(shù)的圖象的是(D)2.[2020·黃山高一期中]設(shè)集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，則下列對應(yīng)關(guān)系f中，不能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)的是(D)A．f：x→y＝x2 B．f：x→y＝3x－2C．f：x→y＝－x＋4 D．f：x→y＝4－x2解析：當1≤x≤2時，1≤x2≤4，可知y＝x2構(gòu)成函數(shù)；當1≤x≤2時，1≤3x－2≤4，故y＝3x－2構(gòu)成函數(shù)；當1≤x≤2時，2≤4－x≤3，此時y＝－x＋4構(gòu)成函數(shù)．當1≤x≤2時，0≤4－x2≤3,0不在集合B中，故y＝4－x2不能構(gòu)成從集合A到集合B的函數(shù)．3．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x－3),|x＋1|－5)的定義域為(B)A．{x|x≥3} B．{x|x≥3，且x≠4}C．{x|x>3} D．{x|3≤x<4}4．(原創(chuàng)題)設(shè)f(x)＝eq\f(x2－1,x2＋1)，則eq\f(f2,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))等于(B)A．1 B．－1C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：f(2)＝eq\f(22－1,22＋1)＝eq\f(4－1,4＋1)＝eq\f(3,5)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1)＝eq\f(\f(1,4)－1,\f(1,4)＋1)＝－eq\f(3,5)，所以eq\f(f2,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝－1.5．若函數(shù)f(x)＝ax2－1，a為一個正常數(shù)，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是(A)A．1 B．0C．－1 D．2解析：f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，f(f(－1))＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.所以a3－2a2＋a＝0，所以a＝1或a＝0(舍去)．二、填空題6．設(shè)f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq\f(1,x＋2)，則g(f(2))＝eq\f(1,12).解析：因為f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝10，所以g(f(2))＝g(10)＝eq\f(1,10＋2)＝eq\f(1,12).7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，則t＝－eq\f(5,6).解析：由f(t)＝6，得eq\f(1,1＋t)＝6，即t＝－eq\f(5,6).8．函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域為__{x|－1≤x<2或x>2}__．解析：由題意，要使函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2－x≠0，))解得－1≤x<2或x>2，所以函數(shù)f(x)的定義域為{x|－1≤x<2或x>2}．三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋3)＋eq\f(1,x＋2).(1)求f(－3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))的值；(2)當a>0時，求f(a)，f(a－1)的值．解：(1)f(－3)＝－1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(3,8)＋eq\f(\r(33),3).(2)當a>0時，f(a)＝eq\r(a＋3)＋eq\f(1,a＋2)；a－1>－1，所以f(a－1)＝eq\r(a＋2)＋eq\f(1,a＋1).10.求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝2eq\r(x)－eq\r(1－7x)；(2)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))；(3)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x).解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,1－7x≥0，))得0≤x≤eq\f(1,7)，所以函數(shù)y＝2eq\r(x)－eq\r(1－7x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))0≤x≤eq\f(1,7).(2)由于0的零次冪無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x>－2，所以x>－2且x≠－1.所以函數(shù)y＝eq\f(x＋10,\r(x＋2))的定義域為{x|x>－2且x≠－1}．(3)要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0，,2－x>0，,x≠0，))解得－eq\f(3,2)≤x<2，且x≠0，所以函數(shù)y＝eq\r(2x＋3)－eq\f(1,\r(2－x))＋eq\f(1,x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))－eq\f(3,2)≤x<2，且x≠0.11．(改編題)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3－x)－eq\f(1,\r(x－1))的定義域為集合A，集合B＝{x|2m≤x≤1－m}．(1)當m＝－1時，求A∪B；(2)若A?B，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若A∩B＝?，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)對于函數(shù)y＝f(x)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1>0，))解得1<x≤3，所以A＝{x|1<x≤3}．當m＝－1時，B＝{x|－2≤x≤2}，因此，A∪B＝{x|－2≤x≤3}．