第五章三角函數任意角【教學目標】1、推廣角的概念、引入大于360°角和負角；2、理解并掌握正角、負角、零角的定義；3、理解任意角以及象限角的概念；4、掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法；【教學重難點】1、推廣角的概念、引入大于360°角和負角，就是通過實例的展示，使學生理解角的概念推廣的必要性，從而引入大于360°角和負角；2、理解并掌握正角、負角、零角的定義，就是樹立運動變化的觀點，并由此深刻理解推廣之后的角的概念；3、理解任意角以及象限角的概念，就是通過自主探究、合作學習，認識集合S中k、的準確含義；4、掌握所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法，就是明白所有與角終邊相同的角（包括角）的表示方法，明確終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無限多個,它們相差360°的整數倍?！窘虒W過程】1.導入新課思考題：你的手表慢了5分鐘，你是怎樣將它校準的？假如你的手表快了小時，你應當如何將它校準？當時間校準以后，分針轉了多少度？設計意圖：從生活中的例子引出課題：任意角.師生活動：順時針方向旋轉了30°;逆時針方向旋轉了450°。我們發現，校正過程中分針需要正向或反向旋轉，有時轉不到一周，有時轉一周以上,這就是說角已不僅僅局限于之間，這正是我們這節課要研究的主要內容——任意角.2、新知探究問題：初中時，我們已學習了角的概念，它是如何定義的呢？設計意圖：通過自學，讓學生知道角的概念。師生活動：師問生答，總結得出：一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉到終止位置，就形成角.旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點.小問題1：①能否以同一條射線為始邊作出下列角:210°，-45°，-150°。②如何在坐標系中作出這些角,象限角是什么意思?0°角又是什么意思?③在直角坐標系中標出210°,-150°的角的終邊，你有什么發現？它們有怎樣的數量關系?328°,-32°,-392°角的終邊及數量關系是怎樣的？終邊相同的角有什么關系？④所有與α終邊相同的角，連同角α在內，怎樣用一個式子表示出來？討論結果：①能.②使角的頂點與坐標原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.這樣:210°角是第三象限角；-45°角是第四象限角；-150°角是第三象限角.特別地，,終邊落在坐標軸上的角不屬于任何一個象限,比如0°角.③210°與-150°角的終邊相同；328°,-32°,-392°角的終邊相同.終邊相同的角相差360°的整數倍設S={β｜β=-32°+k·360°,k∈Z}，則328°,-392°角都是S的元素，-32°角也是S的元素(此時k=0).因此，所有與-32°角的終邊相同的角，連同-32°在內，都是集合S的元素；反過來，集合S的任何一個元素顯然與-32°角終邊相同。④所有與α終邊相同的角，連同角α在內，可以構成一個集合S={β｜β=k·360°+α,k∈Z}.即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成α與整數個周角的和.適時引導學生認識：①k∈Z;②α是任意角;③終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數多個，它們相差360°的整數倍.3、應用示例例1在0°—360°范圍內,找出與-950°12′角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范圍內,與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二象限的角.點評:教師可引導學生先估計-950°12′大致是360°的幾倍,然后再具體求解.例2寫出終邊在y軸上的角的集合.活動:終邊落在y軸上,應分y軸的正方向與y軸的負方向兩個.學生很容易分別寫出所有與90°,270°的終邊相同的角構成集合,這時應啟發引導學生進一步思考:能否化簡這兩個式子,用一個式子表示出來.讓學生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識,教師再規范地板書出來.并強調數學的簡捷性.在數學表達式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式.圖2解:在0°—360°范圍內,終邊在y軸上的角有兩個,即90°和270°角,如圖2.因此,所有與90°的終邊相同的角構成集合S1={β｜β=90°+k·360°,k∈Z}.而所有與270°角的終邊相同的角構成集合S2={β｜β=270°+k·360°,k∈Z}.于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}={β｜β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β｜β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β｜β=90°+n·180°,n∈Z}.點評:本例是讓學生理解終邊在坐標軸上的角的表示.教學中,應引導學生體會用集合表示終邊相同的角時,表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式.變式訓練①寫出終邊在x軸上的角的集合.②寫出終邊在坐標軸上的角的集合.答案:①S={β｜β=(2n+1)·180°,n∈Z}.②S={β｜β=n·90°,n∈Z}.例3寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來.圖3解:如圖3,在直角坐標系中畫出直線y=x,可以發現它與x軸夾角是45°,在0°—360°范圍內,終邊在直線y=x上的角有兩個:45°和225°,因此,終邊在直線y=x上的角的集合S={β｜β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β｜β=225°+k·360°,k∈Z}.S中適合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.點評:本例是讓學生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應訓練學生掌握這一方法.變式訓練寫出在下列象限的角的集合:①第一象限;②第二象限;③第三象限;④第四象限.活動:本題關鍵是寫出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此類推即可,如果學生閱讀例題后沒有解題思路,或者把①中的范圍寫成0°—90°,可引導學生分析360°—450°范圍的角是不是第一象限的角呢?進而引導學生寫出所有終邊相同的角.解:①終邊在第一象限的角的集合:{β｜n·360°<β<n·360°+90°,n∈Z}.②終邊在第二象限的角的集合:{β｜n·360°+90°<β<n·360°+180°,n∈Z}.③終邊在第三象限的角的集合:{β｜n·360°+180°<β<n·360°+270°,n∈Z}.④終邊在第四象限的角的集合:{β｜n·360°+270°<β<n·360°+360°,n∈Z}.4、課堂小結以提問的方式與學生一起回顧本節所學內容并簡要總結:讓學生自己回憶：本節課都學習了哪些新知識？你是怎樣獲得這些新知識的？你從本節課上都學到了哪些數學方法？讓學生自己得到以下結論：本節課推廣了角的概念，學習了正角、負角、零角的定義，象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法，零角是射線沒有作任何旋轉。一個角是第幾象限的角，關鍵是看這個角的終邊落在第幾象限