線性代數習題和答案第一部分選擇題（共28分）、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。設行列式=m，=n，則行列式等于（A。m+nC。n-m2。設矩陣A=，則A-1等于（）A.C。設矩陣A=，A*是A的伴隨矩陣，則AA。6C。2設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（A。A=0C。A0時B=CD。5。已知3x4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（At）等于（A。1B.2C。3D。46。設兩個向量組a1，a2，..?，as和01，A.有不全為0的數入］，入2，..?，"使入］rw入，，???，入使入|（a^+oQ+入，（a+0）2's111222入2，…，入s使入1（%B。D.中位于(1B,-(m+n)D.m-n2)D。的元素是(B。62)B.BC時A=0A10時B=C)B。有不全為0的數入］，C。有不全為0的數入］0s）=0D。有不全為0的數入］，+入sas=0和孔01+%1202，…，0s均線性相關，則()a+入"S+...+入a=0和入「。「+入。K+…入0=0ss'1^12^2ss+..?+入s(as+0s)=001)+入2(%—02)+.+Xs(as入，…，入和不全為0的數叫，u，…，u使入a+入a+...2，.，s1，2，.，s1122.u202+?7。設矩陣A的秩為r，則A中（A.所有r-1階子式都不為0C。至少有一個r階子式不等于08。設Ax=b是一非齊次線性方程組A。n1+n2是Ax=0的一個解C.n1—n2是Ax=0的一個解9。設n階方陣A不可逆，則必有（入。秩A）〈nC.A=0Us0s=0）B.所有r—1階子式全為0D。所有r階子式都不為0n1,n2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（）B.n1+n2是Ax=b的一個解D.2n1—n2是Ax=b的一個解）B。秩（A）=n—1D.方程組Ax=0只有零解10。設A是一個n（>3）階方陣，下列陳述中正確的是（）A。如存在數入和向量a使Aa=入a，則a是A的屬于特征值入的特征向量如存在數入和非零向量a，使（入E-A）a=0，則入是A的特征值C。A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量如入1，入2，入3是A的3個互不相同的特征值,a的特征向量，則a1，a2，a3有可能線性相關1，a2，a3依次是A的屬于入「入2，入3設入0是矩陣A的特征方程的3重根,A的屬于入0的線性無關的特征向量的個數為k，則必有（）A.k<3C.k=3B。k<3D.k>3設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）A|2必為1B。A必為1C。A-1=ATD.A的行列）向量組是正交單位向量組設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CtAC。則（）A與B相似A與B不等價A與B有相同的特征值A與B合同TOC\o"1-5"\h\z下列矩陣中是正定矩陣的為（）A.B。C.D。第二部分非選擇題（共72分）、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。16。設A=,B=.則A+2B=—17。設A=（a.）3,IAl=2,A.表示A中元素a.的代數余子式（i，j=1,23），則（a”A21+a12A22+a〔/星）TOC\o"1-5"\h\z1J3x31J1J112112221323n_|_|nA-I—nA-I—nA|n_|_[nA-I—nA-I—nA|n—2（a21A21a22A22a23A23）2（a31A21&32A22&33A23）2=.18。設向量（2,-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=。19。設A是3x4矩陣，其秩為3,若n],n2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為.20。設A是mxn矩陣,A的秩為r（〈n）則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中含有解的個數為.設向量a、0的長度依次為2和3,則向量a+0與a-。的內積（a+O，a—。）=22。設3階矩陣A的行列式Al=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為。23。設矩陣A=，已知a=是它的一個特征向量，則a所對應的特征值為。設實二次型f（x1，x2，x3,x4,*）的秩為4,正慣性指數為3,則其規范形為。三、計算題（本大題共7小題,每小題6分，共42分）25。設A=，B=.求（1）ABt;（2）|4|。26。試計算行列式。27。設矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B。28。給定向量組a1=，a2=，a3=，a4=。試判斷a4是否為a1,a2，a3的線性組合;若是，則求出組合系數。29。設矩陣A=。求：（1）秩（A）;（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30。設矩陣A=的全部特征值為1,1和-8。求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31。試用配方法化下列二次型為標準形f（xq，x3）=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且E-A）-1=E+A+A2.33。設n0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，孔，匕是其導出組Ax=0的一個基礎解系.試證明（1）n1=n0+?1,n2=n0+亳2均是Ax=b的解；（2）n0，n1，n2線性無關。答案：一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）TOC\o"1-5"\h\zD2°B3.B4OD5.C6.D7°C8.A9.A10。BA12.B13.D14。C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）616.41019n+c（n—n）箴n+c（n-n））c為任意常數。11c^21^12c^211^，cn-r52124.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）解（1）ABt=。（2）|4A|=43|A|=64AI,而IA|=所以|從|=64-（-2）=-128解27。解AB=A+2B即（A—2E）B=A，而（A-2E）-1=所以B=（A-2E）-1A=28。解一所以a4=2a1+a2+a3，組合系數為（2，1，1）.Ct—YCt+VCt+VCtaIt—勺/心a4X]5]+x2a?+x3^3，即方程組有唯一解（2，1，1）T,組合系數為（2,1,1。29。解對矩陣A施行初等行變換A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=＜（B）=3。（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30。解A的屬于特征值入=1的2個線性無關的特征向量為?1=（2，-1，0）t,^2=（2，0,1）t.經正交標準化，得n1=,n2=.入=-8的一個特征向量為匕3=，經單位化得n3=所求正交矩陣為t=。對角矩陣D=（也可取T=。）31.解f（X，設，X2,X3即，222)1"1^人24X3/2//入22，^入2入3/X32=(x1+2x2—2x3)2-2(X2-X3)2—5x32.因其系數矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩.經此變換即得f（x，x2，x3）的標準形y12—2y22—5y32。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32。證由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且E—A）—1=E+A+A2。33。證由假設An0=b，A孔=0，A?2=0.（1）An1=A（n0+^i）=An0+AW]=b，同理An2=b,所