專題2絕對值一、絕對值的化簡【學霸筆記】1. 一個正數(shù)的絕對值是它的本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，關系如下：；2. 絕對值可以與數(shù)軸結合起來，可用于表示距離，如：表示數(shù)a到原點的距離，表示數(shù)a與數(shù)b間的距離；3. 絕對值的性質(zhì)①；②；③；④；⑤【典例】若a+b+c＝0，則|aA．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中兩正一負或一正兩負，假設a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情況同理值為﹣1；假設a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情況同理值為﹣1，故選：B．【鞏固】數(shù)形結合是一種重要的數(shù)學方法，如在化簡|a|時，當a在數(shù)軸上位于原點的右側時，|a|＝a；當a在數(shù)軸上位于原點時，|a|＝0；當a在數(shù)軸上位于原點的左側時，|a|＝﹣a．當a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，試用這種方法解決下列問題．（1）當a＝1時，求|a|a=，當b＝﹣2時，求|b（2）請根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置，求|a（3）請根據(jù)a，b，c三個數(shù)在數(shù)軸上的位置，化簡：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．二、絕對值的非負性【學霸筆記】 不小于0的數(shù)（或大于等于0的數(shù)）稱為非負數(shù)，具有以下性質(zhì)：（1）非負數(shù)具有最小值0；（2）若幾個非負數(shù)的和為0，那么每個非負數(shù)均為0；（3）任何數(shù)的絕對值都大于等于0，即任何數(shù)的絕對值都是非負數(shù).【典例】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點的位置如圖所示，給出下面四個命題：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正確的命題有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：由圖可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命題abc＜0正確；（2）在命題中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因為a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左邊≠右邊，故錯誤；（3）在該命題中，因為a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正確；（4）在命題中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故該命題正確．所以正確的有命題①③④這三個．故選：B．【鞏固】如果有理數(shù)a，b滿足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，試求：1ab+1(a+1)(b三、絕對值的最值【學霸筆記】1. 的幾何意義就是數(shù)軸上數(shù)a與數(shù)b兩點間的距離；2. 一般地，設分別是數(shù)軸上依次排列的表示有理數(shù)的點，若n為奇數(shù)，當時，的值最小；若n為偶數(shù)，當時，的值最小.【典例】閱讀：已知點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）數(shù)軸上表示2和﹣3的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和﹣5的兩點A和B之間的距離是；（3）當代數(shù)式|x﹣1|+|x+3|取最小值時，相應的x的取值范圍是，最小值是；（4）當x在何范圍，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并寫出它的最大值．【解答】解：（1）數(shù)軸上表示2和﹣3的兩點之間的距離是2﹣（﹣3）＝5．故答案為：5；（2）數(shù)軸上表示x和﹣5的兩點A和B之間的距離是|x+5|．故答案為：|x+5|；（3）在數(shù)軸上，|x﹣1|+|x+3|表示數(shù)軸上x和1的兩點之間與x和﹣3的兩點之間距離和，當代數(shù)式|x﹣1|+|x+3|取最小值時，相應的x的取值范圍是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案為：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距離與x到2的距離的差與x到3的距離與x到4的距離的差的和，∴x≥4時有最大值1+1＝2．【鞏固】已知數(shù)軸上表示數(shù)a的A與表示數(shù)b的點B之間的距離|AB|＝|a﹣b|．（1）當x＝時，|x﹣3|有最小值，這個最小值是．（2）當x＝時，5﹣|x﹣2|有最大值，這個最大值是．（3）當整數(shù)x＝時，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，這個值是．（4）當整數(shù)x＝時，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，這個值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，這個值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，這個最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，則（x+y）有最值（填“大”，“小”），這個值是．鞏固練習1．設x是有理數(shù)，y＝|x﹣1|+|x+1|，則下面四個結論中正確的是（）A．y沒有最小值 B．只有一個x的值使y取最小值 C．有有限個（不止一個）x的值使y取最小值 D．有無數(shù)多個x的值使y取最小值2．已知整數(shù)a1、a2、a3、a4，…滿足下列條件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此類推，則a2022的值為（）A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣10093．如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒為一常數(shù)，則此值為（）A．2 B．3 C．4 D．54．設有理數(shù)a、b、c滿足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，則|x-a+b2|+|x-bA．a(chǎn)-c2 B．a(chǎn)+b+2c25．若有理數(shù)m，n，p滿足|m|m+|n|6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，則x+y的最小值為，最大值為．7．有理數(shù)a、b、c均不為0，且a+b+c＝0，設x=|a|b+c+|b|c+a+8．設abcd是一個四位數(shù)，a、b、c、d是阿拉伯數(shù)字，且a≤b≤c≤d，則式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是．9．如果a，b，c是非零有理數(shù)，求a|10．設x1，x2，x3，x4，x5，x6是六個不同的正整數(shù)，取值于1，2，3，4，5，6，記S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．11．已知有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖