測量誤差基本知識王冰玲安徽三聯學院交通工程院§1測量誤差一、測量誤差及其來源●測量誤差的來源（1）儀器誤差：儀器精度的局限、軸系殘余誤差等。（2）人為誤差：判斷力和分辨率的限制、經驗等。（3）外界條件的影響：溫度變化、風、大氣折光等。

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測量誤差的表現形式

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測量誤差（真誤差=觀測值-真值）（觀測值與真值之差）（觀測值與觀測值之差）觀測條件“（不）等精度測量”2

二、測量誤差分類2.系統誤差

——

誤差出現的大小、符號相同，或按規律性變化，具有積累性。測量誤差分為：粗差、系統誤差、偶然誤差1.粗差(錯誤)——超限的誤差：

如：讀數錯誤、儀器有缺陷、計算機輸入數據錯誤

在等精度觀測條件下，無論在個體和群體上，呈現出以下特性：誤差的絕對值為一常量，或按一定的規律變化；誤差的正負號保持不變，或按一定的規律變化；誤差的絕對值隨著單一觀測值的倍數而積累。3例：誤差處理方法

鋼尺尺長誤差ld

計算改正鋼尺溫度誤差lt

計算改正

水準儀視準軸誤差I操作時抵消(前后視等距)

經緯儀指標差

操作時抵消(盤左盤右取平均)

……

……注意：系統誤差具有累積性，對測量成果影響較大。如：鋼尺長度隨溫度變化引起的誤差●系統誤差可以消除或減弱。

(計算改正、觀測方法、儀器檢校)43.偶然誤差（隨機誤差）——誤差出現的大小、符號各不

相同，表面看無規律性。

例：估讀數、氣泡居中判斷、瞄準、對中等誤差，導致觀測

值產生誤差。處理原則粗差——細心，多余觀測進行檢核，并剔除；系統誤差——找出規律，采取適當的觀測方法、檢校儀器或加改正數的方法抵消或減弱其影響；偶然誤差——改善外業測量環境,進行多余觀測，并根據其統計特性進行數學處理（平差）。真誤差真值觀測值5三、偶然誤差特性舉例:對358個三角形在等精度條件下觀測了全部內角,三角形內角和的誤差i為:i=i+i+i-180°數據統計見下表：分析三角形內角和的誤差i的規律。取誤差間隔為d△=3″單個偶然誤差表現的符號和大小沒有規律性，但是，對大量偶然誤差進行統計分析會發現，觀測次數越多，規律性越明顯。67用頻率直方圖表示的偶然誤差統計：頻率直方圖的中間高、兩邊低，并向橫軸逐漸逼近，對稱于y軸。頻率直方圖中，每一條形的面積表示誤差出現在該區間的頻率k/n，而所有條形的總面積等于1。各條形頂邊中點連線經光滑后的曲線形狀，表現出偶然誤差的普遍規律

圖5-1誤差統計直方圖8◆從誤差統計表和頻率直方圖中，可以歸納出偶然誤差的四個特性：(1)在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(有界性)；(2)絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多(趨向性)；(3)絕對值相等的正誤差和負誤差出現的機會相等(對稱性)；(4)當觀測次數無限增加時，偶然誤差的算術平均值趨近于零

(抵償性)？：特性(1)、(2)、(3)決定了特性(4)，特性(4)具有實用意義。

9偶然誤差具有正態分布的特性當觀測次數n無限增多(n→∞)、誤差區間d無限縮小(d→0)時，各矩形的頂邊就連成一條光滑的曲線，這條曲線稱為“正態分布曲線”，又稱為“高斯誤差分布曲線”。所以偶然誤差具有正態分布的特性。圖5-1誤差統計直方圖10§2衡量精度的標準一、衡量觀測精度的指標（衡量誤差分布）衡量觀測精度：可通過統計表、直方圖或分布曲線來比較。不難看出，誤差曲線越陡，說明小誤差出現的概率越大，精度也越高；反之，則低。衡量觀測精度的數字指標：中誤差相對誤差容許誤差（極限誤差）11二、中誤差

測量數據處理中常將數理統計中的標準差稱為中誤差。

x=y正態分布曲線(a=0)1.方差與標準差12

表示的離散程度x=y較小較大13測量工作中，用中誤差作為衡量觀測值精度的標準。中誤差:觀測次數無限多時，用標準差σ表示偶然誤差的離散情形：觀測次數n有限時，用中誤差m表示偶然誤差的離散情形：1415

m1小于m2,說明第一組觀測值的誤差分布比較集中，其精度較高；相對地，第二組觀測值的誤差分布比較離散，其精度較低：

m1=2.7是第一組觀測值的中誤差；

m2=3.6是第二組觀測值的中誤差。16例：試根據下表數據，分別計算各組觀測值的中誤差。1718三、相對誤差

相對誤差K是中誤差的絕對值m

與相應觀測值S

之比，通常以分母為1的分式來表示，稱其為相對（中）誤差。即:

一般情況

:角度、高差的誤差用m表示，量距誤差用K表示。19[例]

已知：S1=100m,m1=±0.01m，S2=200m,m2=±0.01m，求：K1,K2解：20三、容許誤差(極限誤差)

根據誤差分布的密度函數，誤差出現在微分區間d內的概率為：誤差出現在K倍中誤差區間內的概率為：

定義由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就是容許（極限）誤差。21測量中，一般取兩倍中誤差(2m)作為容許誤差，也稱為限差：|容|=3|m|或|容|=2|m|極限誤差的作用：

區別誤差和錯誤（粗差）的界限。

將K=1、2、3分別代入上式，可得到偶然誤差分別出現在一倍、二倍、三倍中誤差區間內的概率：

P(||m)=0