四、二次曲面第三節曲面及其方程

第四節二次曲面一、曲面方程的概念三、旋轉曲面

二、柱面1五、二次方程的化簡一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距離化簡得即引例解:

設軌跡上的動點為的點的軌跡方程.2說明:動點軌跡為線段

AB的垂直平分面.顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程,

不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.軌跡方程3定義1.如果曲面S與方程F(x,y,z)=0有下述關系:(1)曲面S上的任意點的坐標都滿足此方程;則F(x,y,z)=0叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.(2)不在曲面S上的點的坐標不滿足此方程,4曲面研究的兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).5故所求方程為例1求動點到定點軌跡方程.特別,當M0在原點時,球面方程為解：設軌跡上動點為即依題意距離為R的表示上(下)半球面.6例2研究方程

解:

配方得此方程表示:一般地如下形式的三元二次方程(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是表示怎樣的曲面.半徑為的球面.球心為一個球面,或點,或虛軌跡.7二、柱面引例.分析方程表示怎樣的曲面.的坐標也滿足方程解:在xoy

面上，表示圓C,沿曲線C平行于z

軸的一切直線所形成的曲面故在空間中過此點作平行z

軸的直線l,稱為圓柱面.對任意z,表示圓柱面.在圓C上任取一點其上所有點的坐標都滿足此方程,8定義2.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z軸;準線l為xoy

面上的拋物線.C

叫做準線,l

叫做母線.9

表示母線平行于z軸的平面.(且z軸在平面上)表示母線平行于z

軸的橢圓柱面.10一般地,在三維空間二元方程表示柱面.方程母線準線平行于z

軸在xoy

面x軸yoz

面zox

面y軸圖形11定義3一條平面曲線三、旋轉曲面

繞其平面上一條定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面.該定直線稱為旋轉軸.例如:12建立yoz面上曲線C繞z軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為當繞z

軸旋轉時,在曲面上任取一點給定yoz

面上曲線C:則有此時有該點轉到13思考：當曲線C

繞y

軸旋轉時，方程如何？14例3.試建立頂點在原點,旋轉軸為z

軸,半頂角為的圓錐面方程.解：

在yoz面上直線L的方程為繞z軸旋轉時,圓錐面的方程為兩邊平方15例4.求坐標面xoz

上的雙曲線分別繞x軸和z軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程.16解:繞

x

軸旋轉所成曲面方程為繞z軸旋轉所成曲面方程為這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.1718空間曲線及其方程一條空間曲線看作兩個曲面的交線，設曲面稱之為空間曲線的一般式方程.19設有空間曲線C，過曲線C上的每一點作xOy面的垂線，這些垂線形成一個母線平行于z軸且過C的柱面，稱之為曲線C關于xOy面的投影柱面.這個柱面與xOy面的交線稱為曲線C在xOy面上的投影曲線，簡稱投影.由此方程組消去z得到方程H(x,y)=0就是曲線C關于xOy面上的投影柱面方程.20投影柱面與xOy面的交線就是曲線C在xOy面上的投影曲線，即就是曲線C在xOy面上的投影曲線方程.例解：四、二次曲面三元二次方程適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅就幾種常見標準型的特點進行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項系數不全為0)211.橢球面(1)范圍：22(2)與坐標面的交線：橢圓23與的交線為橢圓：同樣及的截痕也為橢圓.(3)截痕:24(4)當a＝b

時為旋轉橢球面;當a＝b＝c時為球面：由看作橢圓繞軸旋轉而成．或252.橢圓錐面（二次錐面）263.雙曲面(1)單葉雙曲面27(2)雙葉雙曲面28注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區別:單葉雙曲面雙葉雙曲面294.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)特別,當p=q

時為繞

z軸的旋轉拋物面.zxyoxyzo30(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)xyzo31內容小結1.空間曲面三元方程

球面

旋轉曲面如,曲線繞z

軸的旋轉曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.322.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:33五、二次曲面的化簡利用化二次型為標準形的方法通過正交變換和平移變換把一般二次方程化為標準方程，以進一步判別曲面的類型.34例化為標準方程，并指出它是什么曲面.35解：令則原方程可以寫為求出矩陣A的特征值及對應的標準正交向量分別為36令則有即37配方得作平移變換可得這就是原曲面方程的標準方程，它表示一個圓錐面.斜率為1的直線平面解析幾何中空間解析幾何中方程平行于y

軸的直線平行于yoz

面的平面

圓心在(0,0)半徑為3的圓以z軸為中心軸的圓柱面平行于z軸的平面