兩個重要極限Twoimportantlimits知識目標

1、掌握兩個重要極限的公式

2、掌握兩個重要極限在經濟方面的應用能力目標會利用兩個重要極限求指定函數和經濟貿易方面實際問題的極限兩個重要極限(Twoimportantlimits)播放案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】為了求圓面積，可以先作圓的內接正四邊形，其面積記作A4；又作圓的內接正六邊形，其面積記作A6；如此循環下去，當圓的內接正多邊形的邊數不斷增加時，其相應的面積與圓的面積就越來越接近,當邊數n無限增大時，圓的內接正多邊形的面積就是圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)案例【圓的面積】該極限問題從結構上看，應為

從數學運算的角度看，就是求極限解

正n邊形的面積為（或）從類型上看，應為兩個重要極限(Twoimportantlimits)o兩個重要極限

x

1

0.5

0.1

0.01…0.8410.9590.9980.99998…=1(Twoimportantlimits)求解：兩個重要極限(Twoimportantlimits)訓練1:求下列函數的極限

=1=1=1=0兩個重要極限(Twoimportantlimits)歸納：(2)當u=f(x)時，兩個重要極限(Twoimportantlimits)例2求解：解例3兩個重要極限(Twoimportantlimits)(1)求解訓練2(2)求解兩個重要極限(Twoimportantlimits)解(3)兩個重要極限(Twoimportantlimits)練習:兩個重要極限(Twoimportantlimits)例4求解：兩個重要極限(Twoimportantlimits)例5解兩個重要極限(Twoimportantlimits)訓練3解：解：例6兩個重要極限(Twoimportantlimits)解

如前所述，可以通過求圓的內接正n邊形的面積的極限計算圓的面積，而內接正n邊形的面積為引例解決：求半徑為R的圓的面積兩個重要極限(Twoimportantlimits)引例2【銀行信貸問題】

某企業從銀行貸款20萬美元，約定以連續復利方式計算利息，且年利率4%，若10年后一次性還本付息，試請你幫助該企業計算貸款到期時還款總額？兩個重要極限(Twoimportantlimits)分析：現有一筆貸款A0=20萬元（稱本金），年利率r=4%，按連續復利計息方式，銀行一年應結算n次（），則每次的利率為r/n,則一年后本金和為10年后的本息和為隨著結算次數的無限增加，10年后本息和為=？兩個重要極限(Twoimportantlimits)2、

x10102103104105106…2.592.712.722.722.722.71…

x-10-102-103-104-105-106…2.872.732.722.722.722.71…=e兩個重要極限(Twoimportantlimits)

從上表可以看出，當x無限增大時，函數變化的大致趨勢。可以證明當x→∞時，的極限確實存在，其值為e=2.71828182845…，即和π一樣，e也是一個無理數，它們是數學中最重要的兩個常數。1727年，歐拉（L.Euler,瑞士人，1707～1783，18世紀最偉大的數學家）首先用字母e表示了這個無理數。這個無理數精確到20位小數的值為e=2.71828182845904523536…兩個重要極限(Twoimportantlimits)訓練4求下列函數的極限=e=e=e=e兩個重要極限(Twoimportantlimits)歸納：（1）極限類型為（2）必須是的形式，且底數中的和指數中的是“倒數關系”；（3）中間必須用“+”號連接=e兩個重要極限(Twoimportantlimits)例7求解例8求解兩個重要極限(Twoimportantlimits)訓練5(1)求解解兩個重要極限(Twoimportantlimits)【案例】

人民醫院1998年5月20日從美國進口一臺彩色超聲波診斷儀，貸款20萬美元，以復利計算，年利率4%，2007年5月20日到期，一次還本付息，試確定貸款到期時還款總額（按連續計息）解以年為單位復利基本計算公式為若把一年均分為t期計息，于是n年的本息和為則連續復利的復利公式為所以到期還款總額為兩個重要極限(Twoimportantlimits)(三)經濟模型及應用(1)復利與貼現問題．

第個計息期末的本利和為

若每期結算次，則此時每期的利率可認為是，容易推得第期末的本利和為

兩個重要極限(Twoimportantlimits)(1)復利與貼現問題．

若每期的計算次數(即每時每刻結算)時，則第期末的本利和為

即

兩個重要極限(Twoimportantlimits)(三)經濟模型及應用(1)復利與貼現問題．

【案例】

現將100元現金投入銀行，年利率為1.98%，試求10年末的本利和(不扣利息稅)．解：用離散型復利公式計算10年末的本利和為

(元)用連續型復利公式計算10年末的本利和為

(元)．兩個重要極限(Twoimportantlimits)(三)經濟模型及應用(1)復利與貼現問題．

【案例】

設年投資收益率為9%，按連續復利計算，現投資多少元，10年末可達200萬元？解：已知，，代入公式，得(萬元)．兩個重要極限(Twoimportantlimits)(三)經濟模型及應用(2)融資問題．【案例】

某企業或投資50萬元，該企業將投資作為抵押品向銀行貸款，得到相當于抵押品價值的0.75的貸款，該企業將此貸款再進行投資，并將再投資作為抵押品又向銀行貸款，仍得到相當于抵押品的0.75的貸款，企業又將此貸款再進行投資，這樣貸款—投資—再貸款—再投資，如此反復進行擴大再生產．問該企業共計可獲投資多少萬元？兩個重要極限(Twoimportantlimits)(三)經濟模型及應用(2)融資問題．解：萬元，代入得

(萬元)．兩個重要極限(Twoimportantlimits)(三)經濟模型及應用兩個重要極限(Twoimportantlimits)實例訓練【股票籌資成本問題】：在股票市場上，經常涉及股票籌資成本問題，需要計算股利逐年增長的普通股的籌資成本。設某普通股第一年股利為D，且每年以固定比率G增長，普通股籌資額為P，籌資費用率為F，則普通股成本K可計算如下：按前面所述的資金現值計算方法知該股票籌得資