計算方法第二章插值法2/1/20231第二章插值法

2.1引言

2.2拉格朗日插值

2.3均差與牛頓插值公式

2.4埃爾米特插值

2.5

分段低次插值2/1/20232本章要點用簡單的函數(如多項式函數)作為一個復雜函數的近似,最簡單實用的方法就是插值.本章主要介紹有關插值法的一些基本概念，及多項式插值的基礎理論和幾個常用的插值方法：拉格朗日插值、分段線性插值、牛頓插值、埃爾米特插值。2/1/20233

2.1引言能否存在一個性能優良、便于計算的函數一、插值問題2/1/20234這就是插值問題，上式為插值條件其插值函數的圖象如下圖2/1/202352/1/20236二、插值法的類型且滿足其中為實數，就稱P(x)為插值多項式，相應的插值法稱為多項式插值；若P(x)為分段的多項式，就稱為分段插值；若P(x)為三角多項式，就稱為三角插值。本章只討論多項式插值與分段插值2/1/20237

2.2拉格朗日插值此插值問題可表述為如下：問題求作次數多項式，使滿足條件這就是所謂的拉格朗日（Lagrange）插值。2/1/20238問題

求作一次式，使滿足條件從幾何圖形上看，表示過兩點

的直線，因此可表示為如下點斜式：

2.2.1線性插值與拋物插值一、線性插值—點斜式2/1/20239從幾何圖形上看，表示過兩點的直線，因此也可表示為如下對稱形式：其中，顯然，二、線性插值—對稱式2/1/202310線性插值舉例例1:

已知，，求代入點斜式插值多項式得y=10.71428精確值為10.723805，故這個結果有3位有效數字。2/1/202311線性插值的局限性2/1/202312問題

求作二次式，使滿足條件二次插值的幾何解釋是用通過三個點

的拋物線來近似考察曲線，故稱為拋物插值。類似于線性插值，構造基函數，要求滿足下式：三、拋物插值2/1/2023132/1/202314(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)f(x0)+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)f(x1)+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)f(x2)L2(115)=x0=100,x1=121,x2=144f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(100–121)(100–144)(115–121)(115–144)*

10+(121–100)(121–144)(115–100)(115–144)*11+(144–100)(144–121)(115–100)(115–121)*12=10.7228拋物插值舉例例2：L2(x)=和用線性插值相比，有效數字增加一位2/1/202315為了構造，我們先定義n次插值基函數。2.2.2拉格朗日n次插值多項式定義：若n次多項式在n+1個節點上滿足條件2/1/202316n+1次多項式對n=1及n=2時的情況前面已經討論，用類似的推導方法，可得到n次插值基函數為：2/1/202317且從而2/1/202318其中總結稱為y=f(x)的拉格朗日插值多項式稱為n次拉格朗日插值基函數2/1/202319例3：求過點(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的拉格朗日插值多項式。2/1/2023202/1/2023212/1/2023222/1/202323拉格朗日插值多項式的缺點：（1）插值基函數計算復雜（2）高次插值的精度不一定高2/1/202324

2.2.3插值余項與誤差估計一、插值余項滿足不會完全成立因此，插值多項式存在著截斷誤差,那么我們怎樣估計這個截斷誤差呢？2/1/2023252/1/202326令設其中證明：假設在區間[a,b]上f(x)的插值多項式為2/1/202327若引入輔助函數2/1/202328根據羅爾定理,再由羅爾定理,依此類推由于2/1/202329所以因此2/1/202330則注意（1）余項表達式只有在f(x)的高階導數存在時才能應用。（2）在內的具體位置通常不可能給出，所以，設2/1/202331例1:解:2/1/2023322/1/202333例2.并作圖比較.解:2/1/202334不同次數的拉格朗日插值多項式的比較圖Runge現象2/1/2023