高教社杯大學生數學建模競賽區評閱編號（由賽區評閱前進行編號賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用統一編號（由賽區送交前編號）：評閱編號（由 評閱前進行編號位高度以及變位參數之間關系的數學模型，主要應用了mtalab進行求解。率(變位前后儲油量之差絕對值的平均值占總罐體容積的比例)作為評價罐體變位對罐容表的影響程度的大小的指標，求出4.87。并分別給出了小橢圓儲油罐在無變表1…儲油體積V0~………4.1017~了最佳的變位參數為：縱向傾斜變位2.16，橫向偏轉變位4.50。并據此對儲平均影響 最小二乘參數估計 模題重斜角度和橫向偏轉角度）之間的一般關系。利用罐體變位后在進/出油過程中的實型假符號說 儲油罐的縱向傾斜角 儲油罐的橫向偏轉角 h油位高 R球冠體的半VT

R0題一的小橢圓儲油罐罐體變位前后都可以應用積分的方法求出罐體的儲油量和油位高度如圖所示的坐標系，橢圓的半長軸長為a，半短軸長為b，則橢圓方程為x2(yb)2 ab y方向上取橢圓面中的一微元dy1(y s1(y D

a1(yb)a1(yb)2h(2bVabLh arcsin(hb)h(2b

2aL h2b23V 2b23

2b2 根據此模型，我們可以求出小橢圓儲油罐無變位時罐容表標定值(油位高1cm，結果見附錄一)v5區域)，考慮到傾斜角變化一般不會很大，所以我們可以將儲油罐按液面高低分成五個部分v1~v5，來求其儲油量和油位高度之間的關系。我們討論的是小橢圓儲油罐縱向傾斜變位為逆時針旋轉，如圖2。對于儲油罐順時針旋轉變位(即為負值)時的情況對區域v1

圖2油位開始有示數時，計算其儲油體積。將區域v1放大得到圖3圖3區域v1圖中，從原點紙面向里為x軸，利用三重積分可以 yblV1dxdydz bl Db其中l為油位探針到儲油罐左側的距離b對區域v2的討

V12abl

1y2dy

由區域v1很容易得到區域v2的儲油量和油位高度的變化關系，直接給出結論 dy

yhltan b(hltan DbV22ab(hltanb

11圖4區域v3在小橢圓儲油罐無變位模型中我們已經求出了v的計算公式，同區域v1中的積分原理可以計算出va和vb，我們就可以得到此時的油量體積為v3vav

ah

2hl

h vabLh arcsin(hb) 2h dx vb h dx h(Ll)

對區域v4的討由區域4和區域2的相似性，將(3)式中的h換為(2bh)，將l換為(Ll)，并用總體積減去V2V4VTdxdydzVT2 dy

y1.2h(Ll)tan D其中VT為小橢圓儲油罐的總體積

b1.2h(Ll)tan bV4VT2ahb(Ll)b

11對區域v511bV52ab(Ll)b

yb(Ll)

綜上所述，我們得到了儲油量V和油位高度h、縱向傾斜角表2V(h,儲油量V/ 1hV[0, ybl bl 2h(0,(L-l)tanV yhltan b(hltan 32b-ltan]hl a1( hylV3 hb h abL h(2bh)arcsin(b)2 a1( dxhyltanh(Ll 4h(2b-ltan,VV ybh(Ll) 1 hb(Ll) 5h yb(Ll) V5(VT2ab(Ll) 1b2dy,VT根據儲油量和油位高度的分段函數關系我們可以得到罐體縱向傾斜變位(后油位高度間隔為1cm當4.1儲油量V1hV1[0,23hV3(0.1513,4hV4(3.9588,5h測量測量理論43儲油量儲油量210 油位高圖5Vh通過對比我們發現，對于任意h，儲油量的理論值和實際值始終成如(7)式的比例V測量V理

43儲油量儲油量21 油位高度圖6Vh4.3.34.1變位變位前變位后變位變位前后儲油量211油位高度0圖7Vh位后對罐容表的影響。從圖9中可以看出，當油位高度h較小時(0.1m附近)n來刻畫罐體變位后對罐容表的影響。可以求出在縱向傾斜變位4.1時，4.87%題二的10

L H2RH球 3 帶入數據得到：兩端球缺總體積為8.1158m3，則儲油罐的總體積為64.6645

h2hL R2hR2 0 R Rh

Sdh

arc

RH

RHh

球

0

h hR為圓柱體底面半徑R0為球缺對應的半徑r為球內小圓半徑Vh2V球缺hV圓柱 R R0 Rh R0Hdh20L 11hRR cos 所以

V RhVRcos1213R2R2

V1VaVbR2VcR2

dzR

yRl VbVltan

由于Va5所我們考慮將這部分體積省略，進行近似計算。由于傾斜角較小，所以區域3占

VcRV1R

R2y2dy ltan 在區2油位高度h的變化范圍0，Lltan。Vc

R2R2RR

R2y2VbV球缺hltanR

VaV2

R2y2dy hltan 球在區3中，油位高度h的變化范圍Lltan，2Rltan。hl

VcVhV1hyl V22h(Ll)tan

dxhyltanbVhltanVhLltan，VaV3V圓柱hV1V2V球缺hltanV球缺hLltan 在區4中，油位高度h的范圍2Rltan，2RR2R2y2

yRh(Ll)cV2hR(Ll

VbVhLltanVVa

V

yRh(Ll) Rydy hLltan 圓 hR(Ll) 球 球 V V l) R2y2cR2y2R(Ll) VbV2RLltanV，Va V l) 圓 R

dy 2RLltanR(Ll) 球 球圓 V y(Ll)tan R2y2dy 2RLltanV ,圓 R 球 球 進行變換即可得到綜合考慮了儲油罐縱向傾斜和橫向偏轉的V(h,,)V Rh cos14hRRcosRRcosltan,在此區域h依然恒等于零，V(,的(因此區域h0，所以只是求其最大體積)一般關V

dxyRR(1cos)ltandz R1cosltanR2 R2RR(1cos 球缺 2 yRcosl R2y2dy R1cosltan Rcos由式

hRR cos

hR(Rh)cosh(Ll)tan0h(Ll)tanR1cosRV2(h) R

R2 R2

hltan 0 0 然后只需要做下式的變換即可得到V(h, Rh2V2R

cos(Ll)tanR1coscoshRR cosh2Rl

(Ll)tanR1coshR1cosltancos cosV3(h)V圓柱hV1V2V球缺hltanV球缺hLltan 然后只需要做下式的變換即可得到V(h,V Rhcos3V3Rcosh

cos R2RV4(h)V圓柱2h(Ll)tanRR2R

yRh(Ll) dzV球缺hLltan V Rhcos4V4RcosR2VR2

2

yRcos(Ll)dz

R1cosLltan圓 球 球

Rh5V5R coscos最小二乘參數估計法基本思想：根據V(h,ii1.2.3...n計算出相鄰高度油量的體積之差ViV(hi1,,)V(hi,, 通與附件的實際儲油量Vi進行比較，通過對、進行等間距的窮舉最終求得理論值與實際值V的差值的平方和SVV')2VV')2VV')2，當S 小值，此時、的即為所求的最佳值。即求解如下最小二乘擬合模

S(,)(ViVi'算法描述：輸入n組顯示h1、h2、h3...hn、輸出 向偏角、的Step1:h1、h2、h3...hnV(h,,)關系式，求得V1V(h1)V(h2),V2V(h2)V(h3、

...VnV(hn1V(hn 關Step2:根據附錄找出實際對應的出油量V1'，V2'，V3 Vn'Step3:對、進行等間距窮舉，同時計算出S(VV')2，當S

小值時，求得、的值

用最小二乘參數估計法得到的變位參數為：2.164.50，角度都符合實據所建立的儲油量V和油位高度h以及變位參數,的一般模型計算得到罐容表。42.160儲油體積V012364.0034,15六模型的檢驗模型的檢驗（模擬方法Step1:Q式。并尋求一包含該區域Q的最小長方體。建立坐標系，確定Q所在的區Step2:均勻做點，在長方體內分別從x,y,z三個坐標軸依次等間距的產點pi(xi,yizi，記錄落入該區域的點以及生成的點的總數M體區域的總體積V

mVM在模擬中對不同區域分別進行求解所忽略部分的體積VQ,再與所得到的理論值相改進V(h,,)的函數關系以使得更好地利用最小二乘參數估計法。八模型的改進參考，，石油油罐體積計算方法的探討，吉林化工學院學報，第6期附0儲油體積V01附表2儲油體積V0~4.1017~symsyabh gridonaxis([01.20 2404.982406.83:50:2906.832906.91:50:3706.91];1026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.36 2.30372.35212.40272.45222.49782.54862.59952.64462.69622.84722.89582.9422.99253.04413.08963.14083.18973.2343.3793.42353.47313.51763.56943.26273.31273.36273.41273.46273.51273.5147611.62739.39867.60992.411006.341019.071034.24gridongridongridonsymsyhholdongridonaxis([01.40symsholdongridonsymsyholdongrid symsyhholdongridonaxis([01.40symsholdongridonsymsyholdongrid v1=[5.44007.31569.377711.602013.960116.435919.007821.655424.367027.120832.702835.499838.279341.022743.719646.348148.896351.343453.667555.849559.686461.2643v01=[0.02020.02700.03990.04050.04660.05200.05660.06030.06300.06460.06510.06290.06020.05650.05190.04660.04060.03420.02760.02100.01480.00450.00019v0(1)=[];v2=v1+v0;holdongridon%估計參數detav=243.85/1000;minv=100;symsforifminv>abs(mv-detav)

aabbsymshbabv1=[309.66249.73186.43231.42297.79109.19162.87328.5166.13237.66h1=[11.349.206.848.4010.873.995.9511.926.038.59 fora=linspace(0,0.1745,10)forb=linspace(0,0.1745,10)fori=1:10if

symsxy symsxy symsxy%區域3symsxy%區域4symsxy symshbh1=[2486.21