2018-2019學(xué)年河北省衡水中學(xué)高三（上）9月摸底數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 已知集合M={1,2，3，4}，N={x|y=x-3}，則M∩N=()A.? B.{4} C.{3,4} D.{1,2}【答案】C【解析】解：M={1,2，3，4}，N={x|y=x-3}=[3,+∞)，

則M∩N={3,4}，

故選：C．

進(jìn)而確定出N，找出兩集合的交集即可．

2. 已知復(fù)數(shù)z=52-i(其中i為虛數(shù)單位)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(A.1 B.i C.-1 D.-i【答案】C【解析】解：∵z=52-i=5(2+i)(2-i)(2+i)=2+i，

∴z=2-i，

則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為-1．

3. 已知曲線y=x3+2x在點(diǎn)(1,3)處的切線與直線ax-y+2019=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為(A.5 B.-5 C.15 D.【答案】D【解析】解：y=x3+2x的導(dǎo)數(shù)為y'=3x2+2，

可得曲線y=x3+2x在點(diǎn)(1,3)的處的切線的斜率為5，

由切線與直線ax-y+2019=0垂直，

可得5a=-1，

解得a=-15．

故選：D．

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得曲線y=x3+2x4. 如圖的折線圖是某農(nóng)村小賣部2018年一月至五月份的營(yíng)業(yè)額與支出數(shù)據(jù)，根據(jù)該折線圖，下列說(shuō)法正確的是()A.該小賣部2018年前五個(gè)月中三月份的利潤(rùn)最高

B.該小賣部2018年前五個(gè)月的利潤(rùn)一直呈增長(zhǎng)趨勢(shì)

C.該小賣部2018年前五個(gè)月的利潤(rùn)的中位數(shù)為0.8萬(wàn)元

D.該小賣部2018年前五個(gè)月的總利潤(rùn)為3.5萬(wàn)元【答案】D【解析】解：前五個(gè)月的利潤(rùn)，一月份為3-2.5=0.5萬(wàn)元，

二月份為3.5-2.8=0.7萬(wàn)元，三月份為3.8-3=0.8萬(wàn)元，四月份為4-3.5=0.5萬(wàn)元，五月份為5-4=1萬(wàn)元，

故A，B錯(cuò)誤，其利潤(rùn)的中位數(shù)0.7萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤，

利潤(rùn)總和為0.5+0.5+0.7+0.8+1=3.5萬(wàn)元，故D正確．

故選：D．

分別求出5個(gè)月的利潤(rùn)，以及根據(jù)中位數(shù)的定義即可判斷．

本題考查命題真假的判斷，考查折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．

5. 如圖是希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里德在證明勾股定理時(shí)所繪制的一個(gè)圖形，該圖形由三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b，c的正方形和一個(gè)直角三角形圍成.現(xiàn)已知a=3，b=4，若從該圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自其中的直角三角形區(qū)域的概率為()A.328

B.356

C.325

D.【答案】A【解析】解：a=3，b=4，

∴c=5，

∴S=a2+b2+c2+12ab=9+16+25+6=56，

其中S△=6，

∴該點(diǎn)取自其中的直角三角形區(qū)域的概率為6. 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，且橢圓CA.4x225+y26=1 【答案】D【解析】解：依題意橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12得ca=12，橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距之和為6，2a+2c=6，

解得a=2，c=1，則b=3，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：7. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2A1B1=2BA.13 B.223 C.3【答案】B【解析】解：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2A1B1=2B1C1，且AB⊥BC，點(diǎn)M是A1C1，

∴以B為原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AA1=2A1B1=2B1C1=2，

則M(12,1,12)，B(0,0，0)，A(1,0，0)，A1(1,0，2)，

MB=(-12,-1,-12)，AA18. 設(shè)命題p：將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移π5個(gè)單位得到函數(shù)y=cos(2x-π5)的圖象；命題q：若tanA.p∧q B.p∨(￢q) C.(￢p)∧q D.(￢p)∧(￢q)【答案】C【解析】解：將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移π5個(gè)單位，得到函數(shù)y=cos2(x-π5)=cos(2x-2π5)的圖象，故命題p為假命題；

由tanα=2，得cos2α-2sin2αsin2α=1-29. 設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+3cosx，g(x)=6sin2x2+cosx，若直線x=A.2 B.0 C.±2 D.±1【答案】C【解析】解：函數(shù)f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)，g(x)=6sin2x2+cosx=6?1-cosx2+cosx=3-3cosx+cosx=3-2cosx，

若直線x=x1，x=x2分別是曲線y=f(x)與y=g(x)10. 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積不可能是()A.π

B.2

C.4

D.6

【答案】C【解析】解：幾何體可能是圓錐，底面半徑為1，高為3，幾何體的體積為：13×12π×3=π，

幾何體如果是正四棱錐，底面是正方形邊長(zhǎng)為2，高為3，幾何體的體積為：12×22×3=6；

幾何體如果是三棱錐，底面是等腰三角形，底邊長(zhǎng)為2，三角形的高為2，三棱錐的高為3，幾何體的體積為：13×1211. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線C上.A.4a2 B.8a2 C.【答案】B【解析】解：雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，

左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線C上.若△AF1F2的周長(zhǎng)為10a，

不妨A在雙曲線右支，

可得：|F1A|+|F2A|+2c=10a，|F1A|-|F2A|=2a，c=2a，

12. 對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在x0，使f(x0)+f(-x0)=0，則稱點(diǎn)(x0,f(x0))A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】解：由x<0可得f(x)=x2+2x，

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)=-x2+2x，x>0，

聯(lián)立y=-x+2和y=-x2+2x，

解得x=1或x=2，

則存在點(diǎn)(1,1)和(2,0)為“優(yōu)美點(diǎn)”，

故選：B．

求得二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13. 已知向量a=(1,2)，b=(2,m)，若a//b，則a【答案】-30【解析】解：向量a=(1,2)，b=(2,m)，a//b，

∴m=2×2=4，

∴b=(2,4)，

∴a?b-2b14. 已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x-y≥-2x+y≤2y≥0，則z=2x-3y的最小值為______．【答案】-6【解析】解：畫出實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組x-y+2≥0x+y≤2y≥0表示的平面區(qū)域，如圖所示；

平移目標(biāo)函數(shù)z=2x-3y知，

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值，

由x+y=2x-y+2=0，解得A(0,2)，

∴z的最小值為0-2×3=-6．

故答案為：-6．

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)，找出最優(yōu)解，求出z的最小值．

15. 在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足sinAsinB+sin2C=sin2A+sin【答案】4【解析】解：∵sinAsinB+sin2C=sin2A+sin2B，

∴由正弦定理可得：ab+c2=a2+b2，即：a2+b2-c2=ab，

∴由余弦定理可得：cosC=16. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1的中點(diǎn)為E，AC與BD交于點(diǎn)O，平面α過(guò)點(diǎn)E，且與直線【答案】6【解析】解：如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱AA1的中點(diǎn)，AB=1，

則OC12=1+12=32，

OE2=14+12=34，

EC12=2+14=94，

∴OC12+OE2=EC12，

∴OE⊥O三、解答題（本大題共7小題，共70.0分）17. 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1=an2an+1(n∈N*)．

(1)求證：數(shù)列{1an}為等差數(shù)列；【答案】證明：(1)數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1=an2an+1(n∈N*)．

則：1an+1-1an=2(常數(shù))，

所以：數(shù)列{1an}為等差數(shù)列．

解：(2)由于1an+1-1an=2(常數(shù))，

當(dāng)n≥2時(shí)，

則：【解析】(1)利用定義法證明數(shù)列是等差數(shù)列．

(2)利用(1)的結(jié)論，進(jìn)一步求出數(shù)列列的通項(xiàng)公式．

(3)利用分組法求出數(shù)列的和．

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用．

18. 在如圖所示的多面體EF-ABCD中，AB//CD//EF，EF⊥平面ADE，BE⊥DE．

(1)求證：AE⊥平面EFCD；

(2)若EF=2，AE=DE=1，求三棱錐F-BCE的體積．【答案】(1)證明：∵多面體EF-ABCD中，AB//CD//EF，EF⊥平面ADE，

DE?平面ADE，AE?平面ADE，

∴EF⊥DE，EF⊥AE，

∵BE⊥DE，EF∩BE=E，

∴DE⊥ABEF，又AE?平面ABEF，∴DE⊥AE，

∵EF∩DE=E，∴AE⊥平面EFCD．

解：(2)∵EF⊥平面ADE，AE⊥平面EFCD，

EF=2，AE=DE=1，

∴三棱錐F-BCE的體積：

VF-BCE=V【解析】(1)推導(dǎo)出EF⊥DE，EF⊥AE，BE⊥DE，從而DE⊥ABEF，進(jìn)而DE⊥AE，由此能證明AE⊥平面EFCD．

(2)三棱錐F-BCE的體積：VF-BCE=VB-CEF19. 如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一調(diào)查機(jī)構(gòu)針對(duì)該市市場(chǎng)占有率最高的甲、乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣企業(yè)(以下簡(jiǎn)稱外賣甲，外賣乙)的經(jīng)營(yíng)情況進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表：1日2日3日4日5日外賣甲日接單x(百單)529811外賣乙日接單y(百單)2.22.310515(1)據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系．

(i)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明；(若|r|>0.75，則可認(rèn)為y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(r值精確到0.001))

(ii)經(jīng)計(jì)算求得y與x之間的回歸方程為y=1.382x-2.774.假定每單外賣業(yè)務(wù)企業(yè)平均能獲純利潤(rùn)3元，試預(yù)測(cè)當(dāng)外賣乙日接單量不低于2500單時(shí)，外賣甲所獲取的日純利潤(rùn)的大致范圍；(x值精確到0.01)

(2)試根據(jù)表格中這五天的日接單量情況，從平均值和方差角度說(shuō)明這兩家外賣企業(yè)的經(jīng)營(yíng)狀況．

相關(guān)公式：r=i=1n(xi-x【答案】解：(1)(i)由i=15(xi-x)(yi-y)=69.10，i=15(xi-x)2i=1n(yi-y)2≈78，

則相關(guān)系數(shù)r=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-【解析】(1)(i)由題中數(shù)據(jù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，比較即可得出結(jié)論；

(ii)由題意令y=1.382x-2.774≥25解得x的取值范圍，計(jì)算300x的取值范圍即可；

(2)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)與方差，比較即可．

本題考查了平均數(shù)與方差的計(jì)算問題，也考查了相關(guān)系數(shù)的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題．20. 已知點(diǎn)F是拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，若點(diǎn)P(x0,4)在拋物線C上，且|PF|=52p.

(1)求拋物線C的方程；

(2)動(dòng)直線l：x=my+1(m∈R)與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)D(t,0)(其中t≠0)，使得向量DA|DA|+DB【答案】解：(1)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為(p2,0)，

準(zhǔn)線方程為x=-p2，

即有|PF|=x0+p2=5p2，即x0=2p，

則16=4p2，解得p=2，

則拋物線的方程為y2=4x；

(2)在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)D(t,0)(其中t≠0)，

使得DA|DA|+DB|DB|與向量OD共線，

由DA|DA|，DB|DB|均為單位向量，且它們的和向量與OD共線，

可得x軸平分∠ADB，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=my+1和y2=4x，

得y2-4my-4=0，

△=16(m2【解析】(1)求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得P的坐標(biāo)，解方程可得p=2，進(jìn)而得到拋物線的方程；

(2)在x軸上假設(shè)存在定點(diǎn)D(t,0)(其中t≠0)，使得DA|DA|+DB|DB|與向量OD共線，可得x軸平分∠ADB，設(shè)A(x1,y1)，B(21. 已知函數(shù)f(x)=x2+mx+1ex(m≥0)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

(1)討論函數(shù)f(x)的極值；

(2)若m∈(1,2)，證明：當(dāng)x1【答案】(1)解：f'(x)=(2x+m)ex-(x2+mx+1)ex(ex)2=-(x-1)[x-(1-m)]ex．

①m>0時(shí)，1-m<1，令f'(x)=0，解得x=1或1-m．

則函數(shù)f(x)在(-∞,1-m)上單調(diào)遞減，在(1-m,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減．

∴x=1-m時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值；x=1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值．

②m=0時(shí)，f'(x)=-(x-1)2ex≤0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值．

(2)證明：當(dāng)x1，x2∈[1,m]時(shí)，f(x1)>-x2+1+1e【解析】(1)f'(x)=-(x-1)[x-(1-m)]ex，對(duì)m分類討論，即可得出單調(diào)性與極值．

(2)當(dāng)x1，x2∈[1,m]時(shí)，f(x1)>-x2+1+1e，只要證明f(x122. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為y=2+2sinαx=2cosα，(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為p=22cos(θ+π4).

(1)求圓C1的普通方程和圓C2的直角坐標(biāo)方程；【答案】解：(1)圓C1的參數(shù)方程為y=2+2sinαx=2cosα，(α為參數(shù))，

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為