第六章數值積分與數值微分第一節

等距節點的Newton-Cotes求積公式第二節復化求積法第三節

提高求積公式精度的外推方法第四節

Gauss型求積公式第六節

數值微分

引言

由于被積函數的原函數F(x)不可能找到，牛頓-萊布尼茲公式也就無能為力了。

下面推導插值型求積公式

設x0,x1,…,xn∈[a,b],pn(x)是f(x)的n次Lagrange插值多項式則有插值型求積公式其中截斷誤差或余項為li(x)為Lagrange插值基函數。Ai(i=0,1,…,n)稱為求積系數，xi(i=0,1,…,n)稱為求積節點。一、牛頓—柯特斯求積公式的導出將積分區間[a,b]n等分，節點xi為

xi=a+ih,i=0,1,2,…,n其中h=(ba)/n。有第一節等距節點的牛頓—柯特斯求積公式

當求積節點等距分布時，插值型求積公式稱為牛頓—柯特斯(Newton-Cotes)求積公式。其中Ci(n)稱為柯特斯系數。于是牛頓—柯特斯求積公式為引進變換x=a+th,0≤t≤nxj=a+jh,j=0,1,2,…,nnc0c1c2c3c4c5c6c7c812345678牛頓—柯特斯系數表（1）梯形公式(n=1)

x0=a,x1=b,h=b-a,c0(1)=c1(1)=1/2

梯形公式的幾何意義是用四邊梯形x0ABx1的面積代替曲邊梯形的面積。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1=b（2）辛卜生公式（Simpson）

(n=2)辛卜生公式又稱為拋物線公式。x0=a,x1=(a+b)/2,x2=b,C0(2)=1/6,C1(2)=4/6,C2(2)=1/6

辛卜生公式的幾何意義是用拋物線y=P2(x)圍成的曲邊梯形面積代替由y=f(x)圍成的曲邊梯形面積。xyx0x2x1y=P2(x)y=f(x)0(3)

n=3

為3/8辛卜生公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=b,h=(b-a)/3

(4)

n=4為Cotes公式x0=a,x1=a+h,x2=a+2h,x3=a+3h,x4=b,h=(b-a)/4

例6-1：用梯形公式與辛卜生公式求的近似值。解：辛卜生公式I=0.7668010梯形公式例6-2：用Newton-Cotes公式計算

解：當n取不同值時，計算結果如下所示。I準=0.9460831n近似結果10.927035420.946135930.946110940.946083050.9460830二、插值型求積公式的代數精度

定義6-1：若求積公式對一切不高于m次的多項式p(x)都等號成立，即R(p(x))=0;而對于某個m+1次多項式等號不成立，則稱此公式的代數精度為m.代數精度求法

從?(x)=1,x,x2,x3…依次驗證求積公式是否成立，若第一個不成立的等式是xm,則其代數精度是m-1.代數精度越高，數值求積公式越精確定義6-2：若求積公式對?(x)=1,x,x2,x3…xm,

都等號成立，即R(xi)=0;而對于xm+1

等號不成立，則稱此公式的代數精度為m.定義1定義2

例6-3：證明下面數值求積公式具有1次代數精度.所以求積公式具有1次代數精度。例6-4：設有成立，確定A0、A1、A2，使上述數值求積公式的代數精度盡可能高，并求代數精度。解：分別取(x)=1，x，x2，則有A0

+A1+

A2=2-A0

+A2=0A0

+A2=2/3解得A0=1/3，A1=4/3，

A2=1/3；取

(x)=x3，左=右=0；

(x)=x4，左=∫-11x4dx=2/5右=2/3所以具有3次代數精度。

Newton-Cotes公式的代數精度其中n+1(x)=(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)(x-xn)即求積公式

至少具有n次代數精度。定理6-1：

由n+1個互異節點x0

、x1、…xn構造的插值型求積公式的代數精度至少為n。這里系數Aj只依賴于求積節點與積分區間,與f(x)無關。顯然當f(x)是任何一個不超過n次的多項式時,余項其中n+1(x)=(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1)(x-xn)f(x)是任何一個不超過n+1次的多項式時,余項

由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距節點),它的代數精度至少是n,還可以證明當n為偶數時Newton-Cotes公式的代數精度至少是n+1.

引進變換x=xn/2+th,-n/2≤t≤n/2xj=a+jh,j=0,1,2,…,n

由于Newton-Cotes公式是其特殊情形(等距節點),它的代數精度至少是n,還可以證明當n為偶數時Newton-Cotes公式的代數精度至少是n+1.

引進變換x=xn/2+th,-n/2≤t≤n/2xj=a+jh,j=0,1,2,…,nxn/2=a+(n/2)h,三、Newton-Cotes公式的截斷誤差帶誤差項的梯形公式是證：已知辛卜生求積公式的代數精度為3，因此考慮構造一個三次插值多項式p3(x)滿足下列條件根據插值余項定理得：得到截斷誤差兩邊求定積分得因此辛卜生求積公式的截斷誤差為帶誤差項的辛卜生公式是定理6-4:(Newton-Cotes公式余項定理)

四、Newton-Cotes公式的數值穩定性

初步看來似乎n值越大，代數精度越高。是不是n越大越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公式的數值穩定性，即討論舍入誤差對計算結果的影響。