第1講等差數列與等比數列板塊二專題六數列1.數列的概念是A級要求，了解數列、數列的項、通項公式、前n項和等概念，一般不會單獨考查.2.等差數列、等比數列主要考查等差、等比數列的通項公式、求和公式以及性質的靈活運用，解答題會以等差數列、等比數列的推理證明為主，要求都是C級.考情考向分析NEIRONGSUOYIN內容索引熱點分類突破真題押題精練1PARTONE熱點一等差數列、等比數列的運算熱點二等差數列、等比數列的證明熱點三等差數列、等比數列的綜合熱點一等差數列、等比數列的運算例1

(1)(2019·徐州期末)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S11＝132，a6＋a9＝30，則a12的值為____.24即11a6＝132，所以a6＝12，又a6＋a9＝30，所以a9＝18，因為a6＋a12＝2a9，所以a12＝24.4思維升華在進行等差(比)數列項與和的運算時，若條件和結論間的聯系不明顯，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量.即(q2－1)(q2－4)＝0，又因為公比為正數，解得q＝2，跟蹤演練1

(1)記公比為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，則S5的值為____.31熱點二等差數列、等比數列的證明例2

(2019·南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港七市調研)已知數列{an}的各項均不為零.設數列{an}的前n項和為Sn，數列{a}的前n項和為Tn,且3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1)求a1，a2的值；(2)證明：數列{an}是等比數列.因為an＋1≠0，所以3(Sn＋1＋Sn)－4＋an＋1＝0，

③

所以3(Sn＋Sn－1)－4＋an＝0(n≥2)，

④當n≥2時，③－④得，3(an＋1＋an)＋an＋1－an＝0，思維升華數列{an}是等差數列或等比數列的證明方法(1)證明數列{an}是等差數列的兩種基本方法①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數.②利用中項性質，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*).(2)證明數列{an}是等比數列的兩種基本方法因為數列{an}各項為正數，(2)若數列{bn}是等差數列，求實數t的值.如果數列{bn}是等差數列，則2b2＝b1＋b3，則t2－16t＋48＝0，解得t＝4或12.數列{bn}是等差數列，符合題意；b2＋b4≠2b3，數列{bn}不是等差數列，t＝12不符合題意.綜上，若數列{bn}是等差數列，則t＝4.熱點三等差數列、等比數列的綜合(1)求數列{an}的通項公式；當n＝1時，上式也成立，(2)求證：數列{bn}為等差數列；所以數列{bn}為等差數列.所以cm＝2m－1，cm＋5＝2(m＋5)－1＝2m＋9，ck＝2k－1，因此存在正整數m，k，使得cm，cm＋5，ck成等比數列?(2m＋9)2＝(2m－1)(2k－1)因為m，k都是正整數，則2m－1＝1,5,25，即m＝1,3,13時，對應的k＝61,23,25.思維升華數列的綜合題，常將等差、等比數列結合在一起，形成兩者之間的相互聯系和相互轉化；有些數列題目條件已指明是等差(或等比)數列，有的數列并沒有指明，但可以通過分析構造，轉化為等差數列或等比數列，然后應用等差、等比數列的相關知識解決問題.(1)求數列{an}的通項公式；(2)求證：數列{bn－an}為等比數列.證明∵3bn－bn－1＝n(n≥2)，∵b1－a1＝－30≠0，2PARTTWO真題押題精練1234512345解析當公比q＝1時不滿足題意，所以公比q≠1.因為Sn是等比數列{an}的前n項和，即q5＝2，123453.(2019·江蘇，8)已知數列{an}(n∈N*)是等差數列，Sn是其前n項和.若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是____.1612345解析方法一設等差數列{an}的公差為d，解得a1＝－5，d＝2，則S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.∴a1＋a9＝6，∴a2＋a8＝2a5＝6，∴a5＝3，則a2a5＋a8＝3a2＋a8＝0，即2a2＋6＝0，∴a2＝－3，則a8＝9，12345∴a1＝－5，12345解析∵當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1，顯然，若Sn－1≠0，則Sn≠0，12345∴由遞推關系式知Sn≠0(n∈N*)，5.(2017·江蘇，19)對于給定的正整數k，若數列{an}滿足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan對任意正整數n(n>k)總成立，則稱數列{an}是“P(k)數列”.(1)證明：等差數列{an}是“P(3)數列”；12345證明因為{an}是等差數列，設其公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，從而，當n≥4時，an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)d＋a1＋(n＋k－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，k＝1,2,3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an，因此等差數列{an}是“P(3)數列”.12345(2)若數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，證明：{an}是等差數列.12345證明數列{an}既是“P(2)數列”，又是“P(3)數列”，因此，當n≥3時，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，

①當n≥4時，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，

③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an). ④將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差數列，設其公差為