第四節(jié)一、泰勒(Taylor)級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)

由于冪級數(shù)在收斂域內確定了一個和函數(shù)，因此我們就有可能利用冪級數(shù)來表示函數(shù)。如果一個函數(shù)已經表示為冪級數(shù)，那末該函數(shù)的導數(shù)、積分等問題就迎刃而解。兩類問題:在收斂域內和函數(shù)求和展開一、泰勒(Taylor)級數(shù)

其中(

在

x

與x0

之間)稱為拉格朗日余項.則在若函數(shù)的某鄰域內具有n+1階導數(shù),此式稱為f(x)的n

階泰勒公式,該鄰域內有:為f(x)的泰勒級數(shù).則稱當x0=0

時,泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù).1)對此級數(shù),它的收斂域是什么？2)在收斂域上,和函數(shù)是否為f(x)?待解決的問題:若函數(shù)的某鄰域內具有任意階導數(shù),定理1.各階導數(shù),則f(x)在該鄰域內能展開成泰勒級數(shù)的充要條件是f(x)的泰勒公式中的余項滿足:證明:令設函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內具有定理2.若f(x)能展成x

的冪級數(shù),則這種展開式是唯一的,且與它的麥克勞林級數(shù)相同.證:設f(x)所展成的冪級數(shù)為則顯然結論成立.二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

1.直接展開法由泰勒級數(shù)理論可知,第一步求函數(shù)及其各階導數(shù)在x=0處的值;第二步寫出麥克勞林級數(shù),并求出其收斂半徑R;第三步判別在收斂區(qū)間(－R,R)內是否為0.驟如下:展開方法直接展開法—利用泰勒公式間接展開法—利用已知其級數(shù)展開式的函數(shù)展開例1.將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:

其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足故(

在0與x之間)故得級數(shù)例2.將展開成x

的冪級數(shù).解:

得級數(shù):其收斂半徑為對任何有限數(shù)

x,其余項滿足類似可推出:(P220例3)例3解兩邊積分得—牛頓二項式展開式對應的二項展開式分別為

根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運算,恒等變形,逐項求導,逐項積分,復合等方法,求展開式.例如2.間接展開法例4.

將函數(shù)

展開成x

的冪級數(shù).解:

因為把x

換成,得例5.將函數(shù)展開成x

的冪級數(shù).解:從0到x

積分,得定義且連續(xù),區(qū)間為利用此題可得上式右端的冪級數(shù)在x

＝1

收斂,所以展開式對x

＝1也是成立的,于是收斂例6解再如：例7.將展成解:

的冪級數(shù).例8將分別展開成x及x－1

的冪級數(shù)。①②例9.將展成x－1的冪級數(shù).解:

例解思考與練習3.4.如何求的冪級數(shù)?解答3.解4.如何求的冪級數(shù)?提示:例解內容小結1.函數(shù)的冪級數(shù)展開法(1)直接展開法—利用泰勒公式;(2)間接展開法—利用冪級數(shù)的性質及已知展開2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式式的函數(shù).當m=–