云南省昆明市銅都中學2023年高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，在定義域x∈[﹣2，2]上表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線斜率均為﹣1．有以下命題：①f（x）是奇函數；②若f（x）在[s，t]內遞減，則|t﹣s|的最大值為4；③f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0．④若對?x∈[﹣2，2]，k≤f′（x）恒成立，則k的最大值為2．其中正確命題的個數有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：B【考點】函數的單調性與導數的關系；函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷．【專題】計算題．【分析】首先利用導數的幾何意義及函數f（x）過原點，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據奇函數的定義判斷函數f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點，進而求得f（x）的單調區間與最值，則命題②③得出判斷．【解答】解：函數f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過原點，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為﹣1，則有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可見f（x）=x3﹣4x是奇函數，因此①正確；x∈[﹣2，2]時，[f′（x）]min=﹣4，則k≤f'（x）恒成立，需k≤﹣4，因此④錯誤．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[﹣，]內遞減，則|t﹣s|的最大值為，因此②錯誤；且f（x）的極大值為f（﹣）=，極小值為f（）=﹣，兩端點處f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=﹣，則M+m=0，因此③正確．故選B．【點評】本題主要考查導數的幾何意義及利用導數研究函數單調性、最值的方法．2.設是不同的直線，是不同的平面,下列四個命題中，正確的是（

）

．若,則

．若則

．若則

．若則參考答案：B3.設全集,，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A．

B． C．

D．參考答案：B4.若F（c,0）為橢圓C：的右焦點，橢圓C與直線交于A,B兩點，線段AB的中點在直線上，則橢圓的離心率為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B【考點】橢圓【試題解析】因為直線在x,y軸上的截距分別為（a,0）,(0,b),所以A（a，0），B（0,b）

又線段AB的中點在直線上，所以即

5.定義在上的函數既是偶函數又是周期函數，若的最小正周期是，且時，，則的值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B略6.函數的零點所在的大致區間是A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）參考答案：B7.若，則與的夾角為

（

）A．30°

B．60°

C．150°

D．120°參考答案：A略8.某算法的程序框圖如右圖所示，如果輸出的結果為26，則判斷框內的條件應為(

)A． B． C． D．參考答案：C試題分析：程序在運行過程中，各變量的值變化如下所示：

條件

循環前

0/1

第1圈

1

否

2

第2圈

4

否

3

第3圈

11

否

4

第4圈

26

是

可得，當時，．此時應該結束循環體并輸出的值為26

所以判斷框應該填入的條件為：

故選C．考點：程序框圖9.過拋物線C1：焦點的直線l交C1于M，N兩點，若C1在點M，N處的切線分別與雙曲線C2：的漸近線平行，則雙曲線C2的離心率為A. B. C. D.參考答案：C10.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積的最大值為A、B、C、D、參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在平面直角坐標系中，分別為橢圓的左、右焦點，B，C分別為橢圓的上、下頂點，直線與橢圓的另一個交點為D，若，則直線CD的斜率為

．參考答案：12.已知是與的等比中項，且，則

參考答案：3略13.曲線y=2x﹣lnx在點（1，2）處的切線方程是．參考答案：x﹣y+1=0【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】求出曲線的導函數，把x=1代入即可得到切線的斜率，然后根據（1，2）和斜率寫出切線的方程即可．【解答】解：由函數y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切線的斜率k=2﹣=1則切線方程為：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．故答案為：x﹣y+1=0【點評】考查學生會根據曲線的導函數求切線的斜率，從而利用切點和斜率寫出切線的方程．14.某空間幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積V=

cm3，表面積S=

cm2．參考答案：;.【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關系與距離．【分析】由三視圖可得該幾何體是以俯視圖為底面，有一條側棱垂直于底面的三棱錐，根據標識的各棱長及高，代入棱錐體積、表面積公式可得答案．【解答】解：由題意，該幾何體是以俯視圖為底面，有一條側棱垂直于底面的三棱錐，所以V==cm3，S=+++=．故答案為：；．【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積、表面積，其中根據已知分析出幾何體的形狀及各棱長的值是解答的關鍵．15.設函數f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．若x=﹣1為函數f（x）ex的一個極值點，則如圖四個圖象可以為y=f（x）的圖象序號是

（寫出所有滿足題目條件的序號）．參考答案：①②③【考點】利用導數研究函數的極值；二次函數的性質．【專題】函數的性質及應用；導數的概念及應用．【分析】先求出函數f（x）ex的導函數，利用x=﹣1為函數f（x）ex的一個極值點可得a，b，c之間的關系，再代入函數f（x）=ax2+bx+c，對答案分別代入驗證，看哪個答案不成立即可．【解答】解：因為[f（x）ex]′=f′（x）ex+f（x）（ex）′=[f（x）+f′（x）]ex，且x=﹣1為函數f（x）ex的一個極值點，所以f（﹣1）+f′（﹣1）=0；對于①②，f（﹣1）=0且f′（﹣1）=0，所以成立；對于③，f（﹣1）＜0，且a＜0，﹣＜﹣1，得2a﹣b＜0，即b﹣2a＞0，[來源:Zxxk.Com]所以f′（﹣1）＞0，所以可滿足f（﹣1）+f′（﹣1）=0，故③可以成立；對于④，因f（﹣1）＞0，f′（﹣1）＞0，不滿足f′（1）+f（1）=0，故不能成立，故①②③成立．故答案為：①②③【點評】本題考查極值點與導函數之間的關系．一般在知道一個函數的極值點時，直接把極值點代入導數令其等0即可．可導函數的極值點一定是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點．16.,若為實數，，則=_____參考答案：17.函數的定義域是___

___.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在三棱錐P-ABC中，G是棱PA的中點，，且,（Ⅰ）求證：直線BG⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角的正弦值.

參考答案：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【分析】(Ⅰ)先證明與平面內的兩條相交直線都垂直.(Ⅱ)過點作于點，證是所求二面角，在三角形中求之即可.【詳解】（Ⅰ）連接，因為，所以.由已知得，，所以，所以，又，所以平面（Ⅱ）過點作，垂足是，因為是棱的中點，，所以點是的中點.連接，所以.所以就是二面角的平面角.由（Ⅰ）知平面，所以.因為，，所以所以,即二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明和二面角的求解，利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，求二面角的一般方法是作-證-求或空間向量.19.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A1，A2，且|A1A2|=4，該橢圓的離心率為，以M（﹣3，2）為圓心，r為半徑的圓與橢圓C交于A，B兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）若A，B兩點關于原點對稱，求圓M的方程；（3）若點A的坐標為（0，2），求△ABM的面積．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質．【專題】綜合題；方程思想；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）由題意求出a=2，結合橢圓離心率求得c，再由隱含條件求得b，則橢圓C的方程可求；（2）由A，B兩點關于原點對稱，可知O是AB的中點，結合垂徑定理可知MO⊥AB，進一步得到直線MO的斜率，得到直線AB的斜率，則直線AB的方程可求，聯立直線方程和橢圓方程，求出A的坐標由勾股定理得圓的半徑，則圓M的方程可求；（3）由題意知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+2，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，求得B的坐標，進一步得線段AB的中點E的坐標，求得直線ME的斜率，結合題意列式求得AB的斜率，得到直線AB的方程為y=x+2，求出|AB|，由點到直線的距離公式求得點M到直線AB的距離，代入△ABM的面積公式得答案．【解答】解：（1）由題意可知2a=4，即a=2，又，則，∴b2=，即橢圓C的方程為；（2）∵A，B兩點關于原點對稱，∴O是AB的中點，由垂徑定理可知MO⊥AB，又M（﹣3，2），∴直線MO的斜率為﹣，故直線AB的斜率為，則直線AB的方程為y=x，聯立，解得，由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+，∴圓M的方程為（x+3）2+（y﹣2）2=；（3）由題意知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y=kx+2，聯立，得（1+3k2）x2+12kx=0，則B（），線段AB的中點為E（），直線ME的斜率為，∵AB⊥ME，∴?k=﹣1，∴2k3﹣3k2+2k﹣1=0，即（k﹣1）（2k2﹣k+1）=0，解得k=1，∴直線AB的方程為y=x+2，又B（﹣3，﹣1），∴|AB|=3，而點M到直線AB的距離為，故△ABM的面積為．【點評】本題考查橢圓的簡單性質，是直線與圓、圓錐曲線的綜合題，訓練了直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查計算能力，屬有一定難度題目．20.已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直于底面，AC⊥BC，BC=C1C==1，D是A1C1上的一點，且C1D=kA1C1．（Ⅰ）求證：不論k為何值，AD⊥BC；（Ⅱ）當k=時，求A點到平面BCD的距離；（Ⅲ）DB與平面ABC所成角θ的余弦值為，求二面角D﹣AB﹣C的正切值．參考答案：【考點】點、線、面間的距離計算；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）由（Ⅱ）當k=時，D為A1C1的中點證明AD⊥CD，AD⊥面BCD，即可得到AD是點A到平面BCD的距離d（Ⅲ）作DE⊥AC于E，則∠DBE是DB與平面ABC所成的角，作EF⊥AB于F，則DF⊥AB，即∠DFE是二面角D﹣AB﹣C的平面角，解三角形即可求解．【解答】解：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱垂直于底面∴C1C⊥平面ABC

即﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）當k=時，D為A1C1的中點此時∴AD2+CD2=2+2=4=AC2∴AD⊥CD；由（Ⅰ）平面BC⊥平面ACD∴平面BCD⊥平面ACD且平面BCD∩平面ACD=CD，又AD⊥CD∴AD是點A到平面BCD的距離d，即；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）作DE⊥AC于E，則∠DBE是DB與平面ABC所成的角，DE=1，∴∴tan∴∴作EF⊥AB于F，則DF⊥AB∴∠DFE是二面角D﹣AB﹣C的平面角此時Rt△AFE∽Rt△ACB，則∴又∴∴tan﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【點評】本題考查了空間線線垂直、點面距離、空間角的求解，屬于中檔題．21.選修4－5：不等式選講已知(a是常數，a∈R)（Ⅰ）當a=1時求不等式的解集．（Ⅱ）如果函數恰有兩個不同的零點，求a的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）∴的解為． 5分（Ⅱ）由得,． 7分令,,作出它們的圖象，可以知道，當時，這兩個函數的圖象有兩個不同的交點，所以，函數有兩個不同的零點． 10分略22.已知a∈R，函數f（x）=．（1）求函數f（x）的單調區間；（2）若a＞1，函數y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．【專題】綜合題；分類討論；綜合法；導數的綜合應用．【分析】（1）由求導公式和法則求出f′（x），求出導函數的零點，然后分a=1，a＞1和a＜1三種情況，分別由二次函數的性質判斷出導數在各區間段內的符號，由導數與函數單調性的關系判斷原函數的單調區間；（2）由（1）和條件判斷出f（x）在[0，a+1]上的單調性，確定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由