會計學1第六數理統計的基本概念§1、隨機樣本

定義1

在數理統計中，將所研究對象的全體稱為總體(母體),其中每個對象稱為個體。

由于通常關注的是研究對象的某些個數量指標,因此也稱這些數量指標取值的全體為總體,其中每個元素稱為個體.一、總體與個體

例如,檢驗燈泡廠生產的燈泡壽命:受檢的全體燈泡就是總體,每個燈泡就是個體。也可理解：全體燈泡壽命數值構成總體，每個燈泡的壽命數值為一個體。第1頁/共39頁

又如,調查工大男生身高情況：工大全體男生就是總體，每個工大男生就是一個個體。也可理解：全體工大男生身高數值構成總體，每個工大男生身高數值就是一個個體。

燈泡的壽命檢驗是一個破壞性試驗,即當得知一個燈泡壽命時,該燈泡的使用價值也就消失了.因此,不可能抽檢每個燈泡!

可以逐一測量每個工大男生的身高,但工作量大.而我們僅需對工大男生身高情況有個大致了解,因此,不必要抽測每個工大男生!第2頁/共39頁

做法從總體中隨機地抽取若干個體(燈泡、工大男生),測試其所需數據(壽命、身高),最后對所得數據通過整理加工和分析來推斷總體(這批燈泡壽命、工大男生身高)的分布情況,從而了解整體情況.

一般,我們所研究的總體的某項數量指標X是一個隨機變量,其取值在客觀上有一定的分布.因此,對總體的研究,就是對相應的隨機變量X的研究。

今后,我們稱X的分布函數和數字特征分別為總體的分布函數和數字特征,并不再區分總體與相應的隨機變量X.對總體的稱呼:總體,總體X與總體F.第3頁/共39頁

例如,當X~N(μ,σ2)時,稱總體X為正態總體.正態總體有以下三種類型:①μ未知,但σ2已知;②σ2未知,但μ已知;

③μ,σ2均未知.第4頁/共39頁

數理統計的基本任務就是通過對從總體中抽取的一部分個體(稱為總體的樣本)進行觀察,根據所記錄的數據(樣本值)經整理與加工,以推斷總體的某些性質.“從總體中抽取一個個體”就是對總體進行一次觀(試驗),并記錄其數據結果.

在相同條件下對總體X進行n次獨立、重復的觀察,將n次試驗結果依次記為,則稱之為來自總體X的容量為n的一個簡單隨機樣本;n次試驗完成后所得樣本的一組觀察值稱為樣本值.二、樣本與樣本值第5頁/共39頁定義2

顯然,若X的分布函數為F(x),則的聯合分布函數為

定義2

設總體X的分布函數為F,若X1，X2，…，Xn是相互獨立且具有相同分布函數F的n個隨機變量,則稱之是來自總體F(分布函數F,總體X)的容量為n的(簡單隨機)樣本,其觀察值稱為樣本值。

特別的,若X的概率密度為f(x),則的聯合概率密度為第6頁/共39頁分布函數

若X的概率分布為p(x),則的聯合概率分布為第7頁/共39頁

樣本來自總體,必然攜帶有反映總體性質的各種信息。

后面介紹的內容僅限于有關總體參數的估計與推斷，稱為參數估計與參數假設檢驗。三、數理統計的基本任務

數理統計的基本任務就是通過對樣本的研究來對總體的未知參數或分布類型作出估計，對有關總體的假設作出推斷。第8頁/共39頁總體X樣本X1,X2,…,Xn樣本值x1,x2,…,xn隨機抽樣獲得樣本完成試驗獲得數據整理加工統計推斷統計工作圖示第9頁/共39頁§2、抽樣分布一、統計量

樣本是進行統計推斷的依據。但在實際應用時，一般不是直接使用樣本本身，而是對樣本進行整理和加工,即針對具體問題構造適當的函數—統計量,利用這些函數來進行統計推斷,揭示總體的統計特性.

定義3

設X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本,x1，x2，…，xn為其樣本值,則稱不含任何總體分布中未知參數的連續函數為統計量,相應的實數稱為其觀察值。第10頁/共39頁常用統計量有:樣本均值(修正)樣本方差(修正)樣本標準差樣本k階原點矩樣本k階中心矩第11頁/共39頁說明

(修正)樣本方差還可表示為【推導】說明第12頁/共39頁樣本方差

樣本均值是樣本一階原點矩；樣本方差是樣本二階中心矩。續1

上述各統計量的觀察值為第13頁/共39頁

重要結論：樣本矩(的連續函數)依概率收斂于總體矩(的連續函數)[矩估計的理論基礎]。

總體k階(原點)矩

總體的期望就是其一階矩:

總體的方差:續2第14頁/共39頁

定義

性質重要積分補充知識:Γ-函數第15頁/共39頁

完全由樣本確定的函數就是統計量。

定義設X1，X2，…，Xn是來自標準正態總體N(0,1)的樣本,稱統計量

下面,介紹來自正態總體的幾個重要統計量的分布.1、χ2-分布(卡方分布)服從自由度為n的χ2-分布,記為二、抽樣分布統計量是隨機變量，它的分布稱為抽樣分布。第16頁/共39頁-分布的概率密度為1、卡方分布第17頁/共39頁-分布的性質與數字特征-分布的可加性:-分布的期望與方差為:

上α分位點(雙側α/2分位點)

定義點為分布的上α分位點

續1第18頁/共39頁查附表5[P.299]:續2雙側分位點查附表5:第19頁/共39頁2、t-分布

定義設且X與Y獨立，則稱隨機變量服從自由度為n的t-分布,記為

t-分布的概率密度為第20頁/共39頁

t-分布的概率密度性質t-分布的概率密度為偶函數，且以標準正態概率密度為其極限(n→∞)。續1第21頁/共39頁續2

上α分位點(雙側α/2分位點)

定義點為分布的上α分位點

查附表4[P.298]:第22頁/共39頁雙側α/2分位點:續3顯然,第23頁/共39頁3、F-分布

定義設且X與Y獨立，則稱隨機變量服從自由度為(n1,n2)的F-分布,記為

F-分布的概率密度為第24頁/共39頁

F-分布的性質續1由F分布定義可得：第25頁/共39頁

上α分位點(雙側α/2分位點)

定義點為分布的上α分位點

查附表6[P.301]:F分布上α分位點有如下性質：續2第26頁/共39頁三、樣本均值與樣本方差的分布

設總體X有均值與方差：

是來自X(無論X服從何種分布!)的一個樣本，則總有:

特別的,當時,樣本均值第27頁/共39頁

對于單正態總體N(μ,σ2)的均值與方差有:

定理1

設是來自正態總體N(μ,σ2)的樣本,則

①、

②、③、

④、獨立.

注意:即2卡方分布定義定理1第28頁/共39頁

定理2

設X1，X2，…，Xn與Y1，Y2，…，Yn分別是來自正態總體N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)的樣本,且這兩個樣本相互獨立,又分別為兩樣本的均值與方差,則其中

對于同方差的雙正態總體N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)的均值差有:定理2第29頁/共39頁同方差雙正態總體單正態總體

上面介紹的3個重要分布與4個重要公式在數理統計的區間估計與假設檢驗中有著重要應用，必須牢記!說明χ2-分布t-分布F-分布第30頁/共39頁

【例1】在正態總體N(12,4)中隨機抽取容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5，試求

（1）樣本均值與總體均值之差的絕對值大于1的概率；

（2）

（3）

例1〖解〗正態總體樣本均值的分布(1)因為所以

于是,第31頁/共39頁例1-1(2).(3).□第32頁/共39頁〖解〗t-分布,χ2-分布，F-分布。

因為X~t(n),所以由t-分布定義知：存在兩個相互獨立的隨機變量

由Y,Z的相互獨立可得:Y2與Z也相互獨立。再由F-分布定義得:使有□【例2】已知，證明。由χ2-分布定義知：例2第33頁/共39頁〖解〗因為Xi~P(λ),所以E(Xi)=D(Xi)=λ(i=1,2,…,n),

【例3】設X1，X2，X3，X4，X5為來自泊松分布P(λ)的一個樣本，為其樣本均值和（修正）樣本方差，求例3第34頁/共39頁□例3-1第35頁/共39頁〖解〗卡方分布及其數字特征。于是,由卡方分布數字特征知：由定理1知:

【例4】

設在總體中抽取一容量為16的樣本，其中