2022年湖南省長沙市成考專升本高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.A.A.3B.1C.1/3D.0

2.

3.設f(x)為連續函數，則等于()A.A.

B.

C.

D.

4.A.A.lnx+CB.-lnx+CC.f(lnx)+CD.-f(lnx)+C

5.A.1B.0C.2D.1/2

6.

7.在空間直角坐標系中方程y2=x表示的是

A.拋物線B.柱面C.橢球面D.平面

8.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

9.

10.下列等式成立的是

A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

11.當x→0時，3x是x的（）．

A.高階無窮小量B.等價無窮小量C.同階無窮小量，但不是等價無窮小量D.低階無窮小量

12.設有直線

當直線l1與l2平行時，λ等于（）．A.A.1

B.0

C.

D.一1

13.

14.

15.

16.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

17.

A.0

B.

C.1

D.

18.如圖所示，在乎板和受拉螺栓之間墊上一個墊圈，可以提高()。

A.螺栓的拉伸強度B.螺栓的剪切強度C.螺栓的擠壓強度D.平板的擠壓強度

19.方程z=x2+y2表示的曲面是（）

A.橢球面B.旋轉拋物面C.球面D.圓錐面

20.A.有一個拐點B.有兩個拐點C.有三個拐點D.無拐點

21.

22.

23.微分方程y''-7y'+12y=0的通解為（）A.y=C1e3x+C2e-4x

B.y=C1e-3x+C2e4x

C.y=C1e3x+C2e4x

D.y=C1e-3x+C2e-4x

24.下列運算中正確的有()A.A.

B.

C.

D.

25.

26.

27.

28.

29.微分方程y"-y'=0的通解為()。A.

B.

C.

D.

30.曲線的水平漸近線的方程是（）

A.y=2B.y=-2C.y=1D.y=-1

31.滑輪半徑r=0．2m，可繞水平軸O轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A，如圖所示。已知滑輪繞軸0的轉動規律φ=0．15t3rad，其中t單位為s，當t=2s時，輪緣上M點的速度、加速度和物體A的速度、加速度計算不正確的是()。

A.M點的速度為vM=0．36m／s

B.M點的加速度為aM=0．648m／s2

C.物體A的速度為vA=0．36m／s

D.物體A的加速度為aA=0．36m／s2

32.

33.

34.

35.

36.曲線y=x+(1/x)的凹區間是

A.(-∞，-1)B.(-1，+∞)C.(-∞，0)D.(0，+∞)37.設f(x)=e3x，則在x=0處的二階導數f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e38.方程x=z2表示的二次曲面是A.A.球面B.橢圓拋物面C.柱面D.圓錐面

39.

40.極限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

41.設函數f(x)與g(x)均在(α，b)可導，且滿足f'(x)＜g'(x)，則f(x)與g(x)的關系是

A.必有f(x)＞g(x)B.必有f(x)＜g(x)C.必有f(x)=g(x)D.不能確定大小42.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

43.

A.

B.

C.

D.

44.

45.

46.

47.A.A.2B.1/2C.-2D.-1/2

48.

A.2x-2B.2y+4C.2x+2y+2D.2y+4+x2-2x

49.

50.

二、填空題(20題)51.

52.

53.

54.

55.

56.微分方程y'=0的通解為__________。

57.

58.

59.

60.

61.

62.63.函數y=x3-2x+1在區間[1，2]上的最小值為______．

64.

65.

66.設y=cos3x，則y'=__________。

67.設f(x，y)=sin(xy2)，則df(x，y)=______.

68.69.

70.

三、計算題(20題)71.證明：

72.

73.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則74.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

75.

76.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．77.78.79.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．80.

81.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．82.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．83.求微分方程的通解．84.85.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

86.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

87.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

88.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

89.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

90.

四、解答題(10題)91.

92.計算93.

94.

95.

96.

97.

98.設y=y(x)由確定，求dy．

99.

100.

五、高等數學(0題)101.

求y(2)。

六、解答題(0題)102.

參考答案

1.A

2.B解析：

3.D本題考查的知識點為定積分的性質；牛-萊公式．

可知應選D．

4.C

5.C

6.D

7.B解析：空間中曲線方程應為方程組，故A不正確；三元一次方程表示空間平面，故D不正確；空間中，缺少一維坐標的方程均表示柱面，可知應選B。

8.C

9.B解析：

10.C本題考查了函數的極限的知識點

11.C本題考查的知識點為無窮小量階的比較．

應依定義考察

由此可知，當x→0時，3x是x的同階無窮小量，但不是等價無窮小量，故知應選C．

本題應明確的是：考察當x→x0時無窮小量β與無窮小量α的階的關系時，要判定極限

這里是以α為“基本量”，考生要特別注意此點，才能避免錯誤．

12.C本題考查的知識點為直線間的關系．

13.D

14.C解析：

15.D解析：

16.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

17.A

18.D

19.B旋轉拋物面的方程為z=x2+y2.

20.D

21.C解析：

22.B

23.C因方程：y''-7y'+12y=0的特征方程為r2-7r+12=0,于是有特征根r1=3，r2=4，故微分方程的通解為：y=C1e3x+C2e4x

24.C本題考查的知識點為重要極限公式．

所給各極限與的形式相類似．注意到上述重要極限結構形式為

將四個選項與其對照。可以知道應該選C．

25.D

26.D

27.D

28.A

29.B本題考查的知識點為二階常系數齊次微分方程的求解。微分方程為y"-y'=0特征方程為r2-r=0特征根為r1=1，r2=0方程的通解為y=C1ex+c2可知應選B。

30.D

31.B

32.A

33.D

34.B解析：

35.A解析：

36.D解析：

37.Cf(x)=e3x，f'(x)=3e3x，f"(x)=9e3x，f"(0)=9，因此選C。

38.C方程x=z2中缺少坐標y，是以xOy坐標面上的拋物線x=z2為準線，平行于y軸的直線為母線的拋物柱面。所以選C。

39.D解析：

40.C本題考查的知識點為重要極限公式．

由于，可知應選C．

41.D解析：由f'(x)＜g'(x)知，在(α，b)內，g(x)的變化率大于f(x)的變化率，由于沒有g(α)與f(α)的已知條件，無法判明f(x)與g(x)的關系。

42.D

43.B本題考查的知識點為交換二次積分次序。由所給二次積分可知積分區域D可以表示為1≤y≤2，y≤x≤2，交換積分次序后，D可以表示為1≤x≤2，1≤y≤x，故應選B。

44.A解析：

45.C解析：

46.C

47.B

48.B解析：

49.B

50.B解析：

51.

解析：52.本題考查的知識點為無窮小的性質。

53.[01)∪(1+∞)

54.55.－24．

本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最大值．

若f(x)在(a，b)內可導，在[a，b]上連續，常可以利用導數判定f(x)在[a，b]上的最值：

56.y=C

57.

58.0

59.

60.(e-1)261.f(0)．

本題考查的知識點為導數的定義．

由于f(0)＝0,f(0)存在，因此

本題如果改為計算題，其得分率也會下降，因為有些考生常常出現利用洛必達法則求極限而導致運算錯誤：

因為題設中只給出f(0)存在，并沒有給出f(x)(x≠0)存在，也沒有給出f(x)連續的條件，因此上述運算的兩步都錯誤．

62.

63.0本題考查的知識點為連續函數在閉區間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

先求出連續函數f(x)在(a，b)內的所有駐點x1,…，xk．

比較f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即為f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相應的x即為，(x)在[a，b]上的最大(小)值點．

由y=x3-2x+1，可得

Y'=3x2-2．

令y'=0得y的駐點為，所給駐點皆不在區間(1，2)內，且當x∈(1，2)時有

Y'=3x2-2＞0．

可知y=x3-2x+1在[1，2]上為單調增加函數，最小值點為x=1，最小值為f(1)=0．

注：也可以比較f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即為f(x)在[1，2]上的最小值．

本題中常見的錯誤是，得到駐點和之后，不討論它們是否在區間(1，2)內．而是錯誤地比較

從中確定f(x)在[1，2]上的最小值．則會得到錯誤結論．

64.

65.

66.-3sin3x

67.y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dydf(x，y)=cos(xy2)d(xy2)=cos(xy2)(y2dx+2xydy)=y2cos(xy2)dx+2xycos(xy2)dy也可先求出，而得出df(x，y).

68.本題考查的知識點為定積分的換元法．

69.

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

70.

解析：

71.

72.73.由等價無窮小量的定義可知74.由二重積分物理意義知

75.

76.

77.

78.

79.函數的定義域為

注意

80.由一階線性微分方程通解公式有

81.

82.

83.

84.

85.

列表：

說明

86.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

87.

88.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程