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初高中連結教材之因式分解

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，其他還應認識求根法。

我們在初中已經學習過了以下一些乘法公式：

（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2；（2）完滿平方公式(a222ab2b)a．b我們還可以經過證明獲得以下一些乘法公式：（1）立方和公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（2）立方差公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（3）三數和平方公式(a2222bc)abc2(abbc；)ac（4）兩數和立方公式(a332b323b)a3aab；b（5）兩數差立方公式(ab)3a33a2b3a2b．b1．提取公因式法與分組分解法、公式法

例1分解因式：2（1）2（y－x）+3（x－y）

（2）mn（m－n）－m（n－m）2

（3）x2y22xy9（4）a24ab4b22a4b（5）x3x2yxy2y3（）b)(a1)abb26(a

2．十字相乘法

例2分解因式：

1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；

（3）x2(ab)xyaby2；（4）6x2xy2y2

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3．關于x的二次三項式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法）

若關于x的方程ax2bxc0(a0)的兩個實數根是x1、x2，則二次三項式

ax2bxc(a0)即可分解為a(xx1)(xx2).

例3把以下關于x的二次多項式分解因式：

（1）x22x1；（2）x24xy4y2．

當堂反響：1．填空：（1）1a21b2(1b1a)（）；9423（2）(4m)216m24m()；(3)(a2bc)2a24b2c2()．2．分解因式：（1）5（x－y）3+10（－）2（）2222yx2cababc

4x222a32a4（3）2xxyxyxyyx（4）2

（5）8a3－b3；（6）x2＋6x＋8；

（7）4(xy1)y(y2x)（8）4x413x29；

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（9）20a433a2b27b4

2（10）x25x10x25x96

4．在實數范圍內因式分解：（1）x25x3；（2）x222x3；

（3）3x24xyy2；（4）(x22x)27(x22x)12．

5．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

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初高中連結教材之一元二次方程

第1課時根的鑒識式

我們知道，關于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為(xb)2b24ac．①2a4a2因為a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當b2－4ac＞0時，方程①的右端是一個正數，所以，原方程有兩個不相等的實數根x1，2＝bb24ac；2a（2）當b2－4ac＝0時，方程①的右端為零，所以，原方程有兩個等的實數

根1＝x2＝－b；x2ab（3）當b2－4ac＜0時，方程①的右端是一個負數，而方程①的左側(x)22a必定大于或等于零，所以，原方程沒有實數根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來判斷，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的鑒識式，平時用符號“Δ”來表示．2綜上所述，關于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

x1，2＝bb24ac；2a（2）當＝0時，方程有兩個相等的實數根1＝x2＝－b；x2a（3）當＜0時，方程沒有實數根．例1判斷以下關于x的方程的根的情況（此中a為常數），假如方程有實數根，寫出方程的實數根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．

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說明：在第3，4小題中，方程的根的鑒識式的符號跟著a的取值的變化而變化，于是，在解題過程中，需要對a的取值情況進行議論，這一方法叫做分類議論．分類議論這一思想方法是高中數學中一個特別重要的方法，在今后的解題中會常常地運用這一方法來解決問題．【當堂反響】1、方程x223kx3k20的根的情況是。2、若關于x的方程2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個不相等的實數根，則實數mmx的取值范圍是。3．已知a28a16|b1|0，當k取何值時，方程2＋ax＋b＝0有兩個不kx相等的實數根？

4．試判斷當m取何值時，關于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個不相等的實數根？有兩個相等的實數根？沒有實數根？

2c5.已知a，b，c是ABC的三邊長，那么方程cx＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是

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第2課時根與系數的關系（韋達定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個實數根x1bb24ac，x2bb24ac，2a2a則有：x1x2bb24acbb24ac2bb；2a2a2aax1x2bb24acbb24acb2(b24ac)4acc．2a2a4a24a2a所以，一元二次方程的根與系數之間存在以下關系：假如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么1＋x2＝b，1·2＝c．這一關系也被稱為韋達定理．xxxaa以兩個數x1，x2為根的一元二次方程是：a(xx1)(xx2)0例1已知方程5x2kx60的一個根是2，求它的另一個根及k的值．

例2已知關于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個實數根，并且這兩個實數根的平方和比兩個根的積大21，求m的值．

說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數根所對

應的m的范圍，此后再由“兩個實數根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值，

取滿足條件的m的值即可．

（1）在今后的解題過程中，假如但是由韋達定理解題時，還要考慮到根的鑒識式能否大于或大于零．因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實數根．

例3已知兩個數的和為4，積為－12，求這兩個數．

說明：從上邊的兩種解法我們不難發現，解法二（直接利用韋達定理來解題）要比解法一簡捷．文案大全適用文檔

例4若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－1＝0的兩根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求11的值；x12x2233（3）x1＋x2．

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們常常會遇到求這一個量的問題，為認識題簡單，我們可以商討出其一般規律：

設x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則x1bb24ac，x2bb24ac，2a2a∴|x1－x2＝bb24acbb24ac2b24ac|2a2a2ab24ac．|a|a||于是有下邊的結論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則|x1－x2＝（其||a|＝b2－4ac）．中今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上邊的結論．例5若關于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，務實數的取值范圍．

【當堂反響】1＝若方程2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則1．1.xx2x1方程2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是．2.mx3.以－3和1為根的一元二次方程是．4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．文案大全適用文檔

【課后作業】

1.已知關于x的方程x2＋kx－2＝0的一個根是1，則它的另一個根是．2.以下四個說法此中正確說法的序號是．①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為7；3④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．3.關于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個根是0，則a的值是．4.方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．5.方程2x222．－x－4＝0的兩根為α，β，則α＋β＝6.關于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，則實數m的值為．7.方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|＝．8．求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數．

9．已知關于x的方程x2－kx－2＝0．

1）求證：方程有兩個不相等的實數根；

2）設方程的兩根為x1和x2，假如2(x1＋x2)＞x1x2，務實數k的取值范圍．

10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）|x1－x2|和x1x2；2（2）x13＋x23．

11．已知x1，x2是關于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數根．（1）能否存在實數k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－3成立？若存在，求出k的值；若不存2在，說明原由；（2）求使x1x2－2的值為整數的實數k的整數值；x2x1（3）若k＝－2，x1，試求的值．x2

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初高中連結教材之二次函數

第1課時二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質

問題1函數y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在如何的關系？

二次函數y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點的縱坐標變為本來的a倍獲得．在二次函數y＝ax2(a≠0)中，二次項系數a決定了圖象的張口方向和在同一個坐標系中的張口的大小．問題2函數y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在如何的關系？

二次函數y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數圖象的張口大小及方向；

h決定了二次函數圖象的左右平移，并且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數圖象的上下平移，并且“k正上移，k負下移”．由上邊的結論，我們可以獲得研究二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：因為y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bx)＋c＝a(x2＋bx＋b22)＋c－b2aa4a4aa(xb)2b24ac，2a4ay＝ax2所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數的圖象作左右平移、上下平移獲得的，于是，二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)擁有以下性質：（1）當a＞0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象張口向上；極點坐標為(b4acb2)，2a,4a對稱軸為直線x＝－b；當x＜b時，y跟著x的增大而減小；當x＞b時，y跟著2a2a4acb22ax的增大而增大；當x＝b時，函數取最小值y＝．2a4a,4acb2（2）當a＜0時，函數y＝ax2＋bx＋c圖象張口向下；極點坐標為(b)，2a4a對稱軸為直線x＝－b；當x＜b時，y跟著x的增大而增大；當x＞b時，y跟著2a2a4acb22ax的增大而減小；當x＝b時，函數取最大值y＝．2a4a文案大全適用文檔

上述二次函數的性質可以分別經過圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來．所以，在今后解決二次函數問題時，可以借助于函數圖像、利用數形聯合的思想方法來解決問題．

y2yA(b,4acb)bx＝－2a4a2a

OxOx

b4acb2bA(,)x＝－2a4a2a圖2.2-3圖2.2-4

例1求二次函數y＝－3x2－6x＋1圖象的張口方向、對稱軸、極點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數的圖象．

說明：從這個例題可以看出，依據配方后獲得的性質畫函數的圖象，可以直接選出要點點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡單、圖象更精確．例2把二次函數y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，獲得函數y＝x2的圖像，求b，c的值．

說明：本例的兩種解法都是利用二次函數圖像的平移規律來解決問題，所以，同學們要

堅固掌握二次函數圖像的變換規律．

這兩種解法反響了兩種不一樣樣的思想方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思想來解

決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思想，將本來的問題等價轉變為與之等價的問題來解，擁有計算量小的長處．今后，我們在解題時，可以依據題目的詳盡情況，選擇合適的方法來解決問題．

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例3已知函數y＝x2，－2≤x≤a，此中a≥－2，求該函數的最大值與最小值，并求出函

數取最大值和最小值時所對應的自變量x的值．

說明：在本例中，利用了分類議論的方法，對a的全部可能情況進行議論．其他，本例中所研究的二次函數的自變量的取值不是取任意的實數，而是取部分實數來研究，在解決這一類問題時，平時需要借助于函數圖象來直觀地解決問題．

【當堂反響】1.函數y＝2(x－1)2＋2是將函數y＝2x2向平移個單位、再向平移個單位獲得。2.二次函數y＝2x2－mx＋n圖象的極點坐標為(1，－2)，則m＝，n＝．3.已知二次函數y＝x2+(m－2)x－2m，當m＝時，函數圖象的極點在y軸上；當m＝時，函數圖象的極點在x軸上；當m＝時，函數圖象經過原點．4.函數y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的張口向，對稱軸為，極點坐標為；當x＝時，函數取最值y＝；當x時，y跟著x的增大而減小．5.求以下拋物線的張口方向、對稱軸、極點坐標、最大（小）值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．

26.已知函數y＝－x－2x＋3，當自變量x在以下取值范圍內時，分別求函數的最大值或最小

值，并求當函數取最大（小）值時所對應的自變量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

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第2課時二次函數的三種表示方式

經過上一小節的學習，我們知道，二次函數可以表示成以下兩種形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．極點式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，此中極點坐標是(－h，k)．

若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝b，12＝c，axxa即b＝－(x1＋x2)，c＝x1x2．aa所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2bxc)2－(x1＋x2)x＋1aa=a[xxx]a(x－x1)(x－x2)．

由上邊的推導過程可以獲得下邊結論：2若拋物線y＝ax＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數關系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

這樣，也就獲得了表示二次函數的第三種方法：

3．交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，此中x1，x2是二次函數圖象與x軸交

點的橫坐標．

今后，在求二次函數的表達式時，我們可以依據題目所供給的條件，采納一

般式、極點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題．

例1已知某二次函數的最大值為2，圖像的極點在直線y＝x＋1上，并且圖象經過點

3，－1），求二次函數的解析式．

說明：在解題時，由最大值確立出極點的縱坐標，再利用極點的地點求出極點坐標，此后設

出二次函數的極點式，最后解決了問題．所以，在解題時，要充分發掘題目所給的條件，并奇妙地利用條件簡捷地解決問題．

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例2已知二次函數的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且極點到x軸的距離等于2，求此二次函數的表達式．

說明：上述兩種解法分別從與x軸的交點坐標及極點的坐標這兩個不一樣樣角度，利用交點式和極點式來解題，在今后的解題過程中，要擅長利用條件，選擇合適的方法來解決問題．

例3已知二次函數的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數的表達式．

【當堂反響】1.函數y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點個數是

2.函數y＝－12(x＋1)2＋2的極點坐標是

3.已知二次函數的圖象經過與x軸交于點(－1，0)和(2，0)，則該二次函數的解析

式可設為y＝a(a≠0)．

4.二次函數y＝－x2+23x＋1的函數圖象與x軸兩交點之間的距離為．

5．依據以下條件，求二次函數的解析式．

（1）圖象經過點(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）當x＝3時，函數有最小值5，且經過點(1，11)；

（3）函數圖象與x軸交于兩點(1－2，0)和(1＋2，0)，并與y軸交于(0，－2)．

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初高中連結教材之