2022年湖南省益陽市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

3.設函數f(x)在[a，b]上連續，且f(a)·f(b)<0，則必定存在一點ξ∈(a，b)使得（）A.f(ξ)>0B.f(ξ)<0C.f(ξ)=0D.f(ξ)=0

4.函數f(x)=5x在區間[-1，1]上的最大值是A.A.-(1/5)B.0C.1/5D.5

5.若函數f(x)=5x，則f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

6.

7.設Y=e-5x，則dy=()．

A.-5e-5xdx

B.-e-5xdx

C.e-5xdx

D.5e-5xdx

8.

9.

10.（）．A.A.單調增加且為凹B.單調增加且為凸C.單調減少且為凹D.單調減少且為凸

11.（）。A.收斂且和為0

B.收斂且和為α

C.收斂且和為α-α1

D.發散

12.函數z=x2-xy+y2+9x-6y+20有（）

A.極大值f(4，1)=63B.極大值f(0，0)=20C.極大值f(-4，1)=-1D.極小值f(-4，1)=-1

13.

14.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是（）A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面

15.A.

B.x2

C.2x

D.

16.

17.A.2/5B.0C.-2/5D.1/2

18.設y=f(x)在[0，1]上連續，且f(0)>0，f(1)<0，則下列選項正確的是

A.f(x)在[0，1]上可能無界

B.f(x)在[0，1]上未必有最小值

C.f(x)在[0，1]上未必有最大值

D.方程f(x)=0在(0，1)內至少有一個實根

19.微分方程y'＋x=0的通解（）。A.

B.

C.

D.

20.函數y=sinx在區間[0，π]上滿足羅爾定理的ξ等于（）。A.0

B.

C.

D.π

二、填空題(20題)21.

22.過點M0(1，2，-1)且與平面x-y+3z+1=0垂直的直線方程為_________。

23.

24.

25.直線的方向向量為________。

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.設y=e3x知，則y'_______。

33.設f(x)=xex，則f'(x)__________。

34.

35.

36.

37.設，則y'=______．

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

42.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

43.證明：

44.

45.

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

48.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

49.

50.

51.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

52.

53.

54.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

55.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

56.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

57.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

58.求微分方程的通解．

59.

60.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

四、解答題(10題)61.

62.

63.

64.

65.(本題滿分10分)設F(x)為f(x)的－個原函數，且f(x)＝xlnx，求F(x)．

66.

67.

68.展開成x-1的冪級數，并指明收斂區間(不考慮端點)。

69.求∫sin(x+2)dx。

70.

五、高等數學(0題)71.已知f(x)的一個原函數為(1+sinz)lnz，求∫xf(x)dx。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D

2.C

3.D

4.Df(x)=5x，f'(x)=5xln5＞0，可知f(x)在[-1，1]上單調增加，最大值為f(1)=5，所以選D。

5.C本題考查了導數的基本公式的知識點。f'(x)=(5x)'=5xln5.

6.D

7.A

【評析】基本初等函數的求導公式與導數的四則運算法則是常見的試題，一定要熟記基本初等函數求導公式．對簡單的復合函數的求導，應該注意由外到里，每次求一個層次的導數，不要丟掉任何一個復合層次．

8.A解析：

9.A解析：

10.B本題考查的知識點為利用一階導數符號判定函數的單調性和利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

11.C

12.D

13.A

14.B對照二次曲面的標準方程可知，所給曲面為錐面，因此選B．

15.C

16.D解析：

17.A本題考查了定積分的性質的知識點

18.D

19.D所給方程為可分離變量方程．

20.C本題考查的知識點為羅爾定理的條件與結論。

21.

22.

23.

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

24.

解析：

25.直線l的方向向量為

26.

27.y=xe+Cy=xe+C解析：

28.

29.本題考查的知識點為重要極限公式。

30.

31.

32.3e3x

33.(1+x)ex

34.本題考查的知識點為用洛必達法則求未定型極限．

35.

本題考查的知識點為函數商的求導運算．

考生只需熟記導數運算的法則

36.(2x+cosx)dx．

本題考查的知識點為微分運算．

37.解析：本題考查的知識點為導數的四則運算．

38.(1+x)ex(1+x)ex

解析：

39.

本題考查的知識點為二階常系數線性齊次微分方程的求解．

40.e-1/2

41.

42.函數的定義域為

注意

43.

44.

45.

則

46.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.

列表：

說明

48.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

49.

50.

51.由等價無窮小量的定義可知

52.

53.

54.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

55.由二重積分物理意義知

56.

57.

58.

59.由一階線性微分方程通解公式有

60.

61.

62.本題考查的知識點為求隱函數的微分．

解法1將方程兩端關于x求導，可得

解法2將方程兩端求微分

【解題指導】

若y＝y(x)由方程F(x，y)＝0確定，求dy常常有兩種方法．

(1)將方程F(x，y)＝0直接求微分，然后解出dy．

(2)先由方程F(x，y)＝0求y，再由dy＝ydx得出微分dy．

63.

64.

65.本題考查的知識點為兩個：原函數的概念和分部積分法．

由題設可得知

66.

67.

68.

69.∫sin(x+2)dx=∫sin(x+2)d(x+2)=-cos(x+2)+C。

70.

71.∫f"(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)一∫f(x)dx∵f(x)的原函數為(1+sinx)Inx；

∴f(x)dx=(1+sinx)Inx+c∴原式=xcoslnx+(1+sinx)一(1+s