上海新加坡國際學校2021-2022學年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量，和在正方形網格中的位置如圖所示，若，則A.2

B.

C.3

D.參考答案：A略2.設函數g（x）=x2-2（x∈R），f(x)=則f（x）的值域是（

）參考答案：【知識點】分段函數的值域.

B1

B3【答案解析】D

解析：由題可知，畫圖可得函數的值域為，所以選D.【思路點撥】根據題設條件化簡分段函數為然后利用其圖像求得函數的值域.3.已知函數y=lgx的定義域為A，B={x|0≤x≤1}，則A∩B=（） A．（0，+∞） B．[0，1] C．[0，1） D．（0，1]參考答案：D【考點】交集及其運算． 【專題】集合． 【分析】求出函數y=lgx的定義域確定出A，找出A與B的交集即可． 【解答】解：函數y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞）， ∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]， ∴A∩B=（0，1]． 故選：D 【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵． 4.已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于____D____A．

B.1

C.

D.參考答案：D正方體的側視圖面積為選D5.點P是拋物線y2=4x上一動點，則點P到點A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和的最小值是（）A．B．C．2D．參考答案：考點：拋物線的簡單性質．專題：計算題．分析：由拋物線的性質，我們可得P點到直線x=﹣1的距離等于P點到拋物線y2=4x焦點F的距離，根據平面上兩點之間的距離線段最短，即可得到點P到點A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和的最小值．解答：解：∵P點到直線x=﹣1的距離等于P點到拋物線y2=4x焦點F的距離故當P點位于AF上時，點P到點A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和最小此時|PA|+|PF|=|AF|=故選D點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，其中根據拋物線的性質，將點P到點A（0，﹣1）的距離與到直線x=﹣1的距離和，轉化為P點到A，F兩點的距離和，是解答本題的關鍵．6.記集合A={x|x+2＞0}，B={y|y=cosx，x∈R}則A∪B=（）A．[﹣1.1] B．（﹣2，1] C．（﹣2，+∞） D．（﹣1，1]參考答案：C【考點】并集及其運算．【分析】先分別求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={y|y=cosx，x∈R}={y|﹣1≤y≤1}，∴A∪B={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞）．故選：C．7.設復數z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝()A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i參考答案：A8.已知函數f（x）=x3+1，g（x）=2（log2x）2﹣2log2x+t﹣4，若函數F（x）=f（g（x））﹣1在區間[1，2]上恰有兩個不同的零點，則實數t的取值范圍（）A．[，4] B．[，） C．[4，） D．[4，]參考答案：C【考點】函數零點的判定定理．【分析】令m=log2x，則m∈[0，]，問題轉化為2m2﹣2m+t﹣4=0在m∈[0，]上有兩個不同的實解，即t=﹣2m2+2m+4在m∈[0，]上有兩個不同的實解．利用二次函數的圖象，可得結論．【解答】解：因為函數F（x）=f（g（x））﹣1的零點為方程f[2（log2x）2﹣2log2x+t﹣4]=1的根，而f（0）=1，所以2（log2x）2﹣2log2x+t﹣4=0．令m=log2x，則m∈[0，]，問題轉化為2m2﹣2m+t﹣4=0在m∈[0，]上有兩個不同的實解，即t=﹣2m2+2m+4在m∈[0，]上有兩個不同的實解．令y=﹣2m2+2m+4（m∈[0，]），則y=﹣（m∈[0，]），∴ymax=，∴函數F（x）=f（g（x））﹣1在區間[1，2]上恰有兩個不同的零點，可知實數t的取值范圍是[4，）．故選C．9.由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為()．A.

B．4

C.

D．6參考答案：A10.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的n值為（

）A．9

B．10

C.11

D．12參考答案：C執行程序框圖過程如下：第一次循環，是；第二次循環，是；第三次循環，是；…第九次循環,是；第十次循環，否，結束循環.輸出，故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若點在直線上，則

．參考答案：312.把一枚硬幣任意拋擲三次，事件A=“至少一次出現反面”，事件B=“恰有一次出現正面”求=

.參考答案：3/7略13.定義一種新運算“”：，其運算原理如圖3的程序框圖所示，則=_______.參考答案：-3略14.若，則

．參考答案：略15.某臺風中心位于A港口東南方向的B處，且臺風中心與A港口的距離為400千米．預計臺風中心將以每小時40千米的速度向正北方向移動，離臺風中心500千米的范圍都會受到臺風影響，則A港口從受到臺風影響到影響結束，將持續小時．參考答案：15【考點】解三角形的實際應用．【分析】過A作AC垂直BC，垂足為點C，則BC=AC=400千米，在BC線上取點D使得AD=500千米進而根據勾股定理求得DC，進而乘以2，再除以速度即是A港口受到臺風影響的時間．【解答】解：由題意AB=400千米，過A作AC垂直BC，垂足為點C，則BC=AC=400千米臺風中心500千米的范圍都會受到臺風影響所以在BC線上取點D使得AD=500千米因為AC=400千米，AD=500千米∠DCA是直角根據勾股定理DC=300千米因為500千米的范圍內都會受到臺風影響所以影響距離是300×2=600千米T==15（小時）故答案為：15．16.實數x，y滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則+=_______．參考答案：解：令x=rcosθ，y=rsinθ，則S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．∴+=+=．17.已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是

．參考答案：[1,+∞)函數由，復合而成，由于是單調遞增函數，因此是增函數，，由于恒成立，當時，有最小值，，故答案為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點，平面，，是中點．（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.參考答案：(1)證明：由題意，∥，= ∴四邊形為平行四邊形，所以. 又∵，

∴∥又平面，平面∴∥平面

………4分同理，∥平面，又∴平面∥平面.

…………6分（2）設求點到平面的距離為.因為V三棱錐A-PCD=V三棱錐P-ACD即.

………12分

略19.（本小題滿分12分）已知平面上三點A（2，0），B（0，2），C（cos，sin）

（I）若（）2=7（O為坐標原點），求向量與夾角的大小；

（Ⅱ）若，求sin2的值．參考答案：略20.已知點H（﹣1，0），點P在y軸上，動點M滿足PH⊥PM，且直線PM與x軸交于點Q，Q是線段PM的中點．（1）求動點M的軌跡E的方程；（2）若點F是曲線E的焦點，過F的兩條直線l1，l2關于x軸對稱，且l1交曲線E于A、C兩點，l2交曲線E于B、D兩點，A、D在第一象限，若四邊形ABCD的面積等于，求直線l1，l2的方程．參考答案：【考點】J3：軌跡方程．【分析】（1）由題意可知：=（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1），利用PH⊥PM，求動點M的軌跡E的方程；（2）由拋物線的焦點，設直線方程，代入橢圓方程，結合韋達定理，即可用m表示四邊形ABCD的面積，求出m，即可求直線l1，l2的方程．【解答】解：（1）設M（x，y），P（0，y1）（y1≠0），Q（x1，0），=（﹣1，﹣y1），=（x1，﹣y1），∵PH⊥PM，∴﹣x1+y′2=0，即y12=x1，又，則，可得：y2=（x≠0），（2）由（1）拋物線的焦點F（，0），則直線l1：x=my+（m＞0），則，整理得y2﹣y﹣=0，∴yA+yC=，yAyC=﹣，由題意，四邊形ABCD是等腰梯形，∴S=丨丨=﹣2（yA﹣yC）2（yA+yC）=，=﹣m[（yA+yC）2﹣4yAyC]=﹣，由﹣=，整理得：m3+m=10，（m+2）（m2﹣2m+5）=0，則m2﹣2m+5＞0，則m=﹣2，∴直線l1，l2的方程y=﹣x+，y=x﹣．【點評】本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，考查面積的計算，屬于中檔題．21.（本小題滿分10）選修4-1：幾何證明選講如圖，已知⊙O是的外接圓，是邊上的高，是⊙O的直徑．（1）求證：；（2）過點作⊙O的切線交的延長線于點，若，求的長．參考答案：22.經銷商