2022年河北省承德市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.設函數在x=0處連續，則a等于()．A.A.0B.1/2C.1D.2

2.圖示懸臂梁，若已知截面B的撓度和轉角分別為vB和θB，則C端撓度為()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

3.

4.

5.下列等式中正確的是()。A.

B.

C.

D.

6.A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.

10.A.2/5B.0C.-2/5D.1/2

11.

A.6xarctanx2

B.6xtanx2＋5

C.5

D.6xcos2x

12.在空間直角坐標系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.兩個平面B.雙曲柱面C.橢圓柱面D.圓柱面13.A.A.

B.

C.

D.

14.

15.=（）。A.

B.

C.

D.

16.A.A.2B.-1/2C.1/2eD.(1/2)e1/2

17.

18.設f(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導，且f(0)=f(1)，則在(0，1)內曲線y=f(x)的所有切線中()．A.A.至少有一條平行于x軸B.至少有一條平行于y軸C.沒有一條平行于x軸D.可能有一條平行于y軸19.A.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.收斂性與口有關

20.A.1/3B.1C.2D.3二、填空題(20題)21.函數的間斷點為______．

22.

23.

24.

25.

26.微分方程y'+9y=0的通解為______．27.28.29.30.微分方程xy'=1的通解是_________。

31.

32.

33.34.y'=x的通解為______．

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則42.43.

44.

45.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

46.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

47.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

48.

49.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．50.

51.

52.求微分方程的通解．

53.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

54.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．55.56.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．57.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．58.求曲線在點(1，3)處的切線方程．59.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

60.證明：四、解答題(10題)61.

62.一象限的封閉圖形．

63.

64.

65.設f(x)為連續函數，且

66.

67.68.

69.

70.五、高等數學(0題)71.求方程y一3y+2y=0的通解。

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.C本題考查的知識點為函數連續性的概念．

由函數連續性的定義可知，若f(x)在x=0處連續，則有，由題設f(0)=a，

可知應有a=1，故應選C．

2.C

3.B

4.C

5.B

6.A本題考查的知識點為偏導數的計算。由于故知應選A。

7.A解析：

8.C

9.B

10.A本題考查了定積分的性質的知識點

11.C

12.A

13.Dy=e-2x，y'=(e-2x)'=e-2x(-2x)'=-2e-2x，dy=y'dx=-2e-2xdx，故選D。

14.C

15.D

16.B

17.A解析：

18.A本題考查的知識點有兩個：羅爾中值定理；導數的幾何意義．

由題設條件可知f(x)在[0，1]上滿足羅爾中值定理，因此至少存在一點ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．這表明曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線必定平行于x軸，可知A正確，C不正確．

如果曲線y=f(x)在點(ξ，f(ξ))處的切線平行于y軸，其中ξ∈(0，1)，這條切線的斜率為∞，這表明f'(ξ)=∞為無窮大，此時說明f(x)在點x=ξ不可導．因此可知B，D都不正確．

本題對照幾何圖形易于找出解答，只需依題設條件，畫出一條曲線，則可以知道應該選A．

有些考生選B，D，這是由于不明確導數的幾何意義而導致的錯誤．

19.A

20.D解法1由于當x一0時，sinax～ax，可知故選D．

解法2故選D．21.本題考查的知識點為判定函數的間斷點．

僅當，即x=±1時，函數沒有定義，因此x=±1為函數的間斷點。

22.

23.11解析：24.ln(1+x)+C本題考查的知識點為換元積分法．

25.5/226.y=Ce-9x本題考查的知識點為求解可分離變量微分方程．

分離變量

兩端分別積分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．27.028.1．

本題考查的知識點為函數在一點處導數的定義．

由于f(1)=2，可知

29.對已知等式兩端求導，得

30.y=lnx+C

31.2

32.eyey

解析：

33.

本題考查的知識點為初等函數的求導運算．

本題需利用導數的四則運算法則求解．

本題中常見的錯誤有

這是由于誤將sin2認作sinx，事實上sin2為－個常數，而常數的導數為0，即

請考生注意，不論以什么函數形式出現，只要是常數，它的導數必定為0．

34.本題考查的知識點為：求解可分離變量的微分方程．

由于y'=x，可知

35.

36.

37.x=-2x=-2解析：

38.

39.

40.41.由等價無窮小量的定義可知

42.

43.

44.

45.

46.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

47.

列表：

說明

48.

49.50.由一階線性微分方程通解公式有

51.

則

52.

53.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％54.函數的定義域為

注意

55.

56.

57.由二重積分物理意義知

58.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

59.

60.

61.

62.

63.解

64.65.設，則f(x)=x3+3Ax．將上式兩端在[0，1]上積分，得

因此

本題考查的知識點為兩個：定積分表示一個確定的數值；計算定積分．

由于定積分存在，因此它表示一個確定的數值，設，則

f(x)=x3+3Ax．

這是解題的關鍵!為了能求出A，可考慮將左端也轉化為A的表達式，為此將上式兩端在[0，1]上取定積分，可得

得出A的方程，可解出A，從而求得f(x)．

本題是考生感到困難