廣東省湛江市吳川長岐中學2021-2022學年高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對于平面和直線，下列命題中假命題的個數是①若，，則；②若，，則；③若，，則；

④若，，則A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：D略2.設,二次函數的圖像可能是

參考答案：D3.函數y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分別為()A．π，1

B．π，

C．2π，1

D．2π，參考答案：A4.已知F是拋物線y2=x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，，則線段AB的中點到y軸的距離為

（

）

A．

B．1

C．

D．參考答案：C5.定義域為R的函數f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=x2﹣2x，若x∈[﹣4，﹣2]時，f（x）≥恒成立，則實數t的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣1]∪（0，3]B．C．[﹣1，0）∪[3，+∞）D．參考答案：C考點：函數恒成立問題．專題：函數的性質及應用．分析：先根據f（x+2）=2f（x），結合x∈[﹣4，﹣2]時，f（x）≥，將f（x）轉化到[0，2]上，得到具體的表達式，再根據不等式恒成立的解題思路，分離參數求出t的范圍．解答：解：設x∈[﹣4，﹣2]，則x+4∈[0，2]，由f（x+2）=2f（x），所以f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），即f（x）=f（x+4），結合x∈[0，2]時，f（x）=x2﹣2x，所以f（x）≥可化為：f（x+4）≥即≤2f（x+4）=2[（x+4）2﹣2（x+4）]，恒成立只需，易知當x+4=1，即x=﹣3時取得最小值﹣2．即，解得﹣1≤t＜0或t≥3．故選C．點評：本題考查了不等式的恒成立問題，一般是轉化為函數的最值來解決，關鍵是能夠根據f（x+2）=2f（x），將所求區間上的函數式轉化到已知區間上來，得到具體的關于x的不等式恒成立，使問題獲得解決．6.記等差數列{an}的前n項和為Sn，若已知，則(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】由，求出，然后求出公差，最后求得.【詳解】設的公差為，，，∴，.故選:C【點睛】本題考查等差數列量之間的運算，涉及等差數列的通項、前項和、性質，屬于中檔題.7.如圖所示某程序框圖，則輸出的n的值是（

）

(A)13

(B)15

(C)16

(D)14參考答案：D程序終止。命題意圖：考查學生對程序框圖的理解

8.已知函數，若存在實數，當時滿足，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：考點：余弦函數性質；分段函數圖象與性質；函數零點【方法點睛】有關分段函數與零點結合的綜合性題目屬于平時練習和考試的常見壓軸題目，解決問題的關鍵是根據是給函數作出其函數圖像，然后根據根的分布情況，結合函數的對稱性轉化為可以求范圍最值的函數，即通過構造新函數解析解決，注意定義域范圍，屬于易錯點.9.已知棱長均為1的四棱錐頂點都在球O1的表面上，棱長均為2的四面體頂點都在球O2的表面上，若O1、O2的表面積分別是S1、S2，則S1：S2=（）A．2：3 B．1：3 C．1：4 D．1：參考答案：B【考點】球內接多面體．【分析】求出O1、O2的半徑比，即可求出S1：S2．【解答】解：四棱錐頂點到底面的距離為，利用射影定理可得，∴r1=，棱長均為2的四面體，擴充為正方體，棱長為，對角線長為，外接球的半徑為，∴O1、O2的半徑比為，∴S1：S2=1：3，故選B．【點評】本題考查球的面積的比，考查球的半徑的計算，屬于中檔題．10.函數是A.最小正周期為的奇函數

B.最小正周期為的偶函數C.最小正周期為的奇函數

D.最小正周期為的偶函數參考答案：A，周期為的奇函數，選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若c﹣a=2acosB，則的取值范圍是．參考答案：（0，）【考點】余弦定理．【分析】由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡可得sin（B﹣A）=sinA，由A，B為銳角，可得B=2A，解得A∈（0，），可得求sinA∈（0，），化簡所求即可得解．【解答】解：∵c﹣a=2acosB，∴由正弦定理可得：sinC=2sinAcosB+sinA，∴sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB+sinA，可得：cosAsinB﹣sinAcosB=sinA，即：sin（B﹣A）=sinA，∵A，B為銳角，可得：B﹣A=A，可得：B=2A∈（0，），∴A∈（0，），可得：sinA∈（0，），∴=sinA∈（0，）．故答案為：（0，）．12.（文）函數，其中，若動直線與函數的圖像有三個不同的交點，則實數的取值范圍是______________.參考答案：

由得，即，解得或。即，，所以，所以由圖象可知要使直線與函數的圖像有三個不同的交點，則有，即實數的取值范圍是。13.已知，函數在上單調遞減,則的取值范圍是

▲

參考答案：14.從集合{－1，1，2，3}中隨機選取一個數記為m，從集合{－1，1，2}中隨機選取一個數記為n，則方程＝1表示雙曲線的概率為＿＿＿＿參考答案：

由題意知基本事件總數為12，表示雙曲線的要求為．當m=-1時，n=1、2；當n=-1時，m=1、2、3.故表示雙曲線的概率為．15.若函數f（x）=2sin（x+）（2<x<10）的圖象與x軸交于點A，過點A的直線l與f（x）的圖象交于B、C兩點，O為坐標原點，則（+）·=_____________．參考答案：32略16.在等比數列{an}中，a5=4，a7=8，則a9=

．參考答案：16考點：等比數列的性質．專題：計算題；等差數列與等比數列．分析：由等比數列的性質知，故可求a9．解答： 解：由等比數列的性質知，故a9=16．故答案為：16，．點評：本題考查等比數列的性質，比較基礎．17.當實數x，y滿足時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數a的取值范圍是．參考答案：[]【考點】簡單線性規劃．【專題】不等式的解法及應用．【分析】由約束條件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，結合可行域內特殊點A，B，C的坐標滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實數a的取值范圍．【解答】解：由約束條件作可行域如圖，聯立，解得C（1，）．聯立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，則，解得：1．∴實數a的取值范圍是．

解法二：令z=ax+y，當a＞0時，y=﹣ax+z，在B點取得最大值，A點取得最小值，可得，即1≤a≤；當a＜0時，y=﹣ax+z，在C點取得最大值，①a＜﹣1時，在B點取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合條件，舍去）②﹣1＜a＜0時，在A點取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合條件，舍去）綜上所述即：1≤a≤；故答案為：．【點評】本題考查線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，考查了數學轉化思想方法，訓練了不等式組得解法，是中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）設拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，FA為半徑的圓F交l于B，D兩點.（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面積為4，求p的值及圓F的方程；（2）若A、B、F三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值.參考答案：解：(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|＝2p，圓F的半徑|FA|＝p.由拋物線定義可知A到l的距離d＝|FA|＝p.因為△ABD的面積為4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)，p＝2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8.(2)因為A，B，F三點在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，∠ADB＝90°.由拋物線定義知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率為或－.當m的斜率為時，由已知可設n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n與C只有一個公共點，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.因為m的截距b1＝，＝3，所以坐標原點到m，n距離的比值為3.當m的斜率為－時，由圖形對稱性可知，坐標原點到m，n距離的比值為3.19.已知數列滿足，，，是數列的前項和．(1)若數列為等差數列．（ⅰ）求數列的通項；（ⅱ）若數列滿足，數列滿足，試比較數列前項和與前項和的大小；(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．參考答案：因為對任意，恒成立，所以且，

略20.如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．點E是PC的中點．（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在點F，使CF⊥PA？請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）根據線面平行的判定定理即可證明：BE∥平面PAD；（2）棱PD上存在點F為PD的中點，使CF⊥PA，利用三垂線定理可得結論．【解答】（1）證明：取PD中點Q，連結AQ、EQ．…∵E為PC的中點，∴EQ∥CD且EQ=CD．…又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…∴四邊形ABED是平行四邊形，∴BE∥AQ．…又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD，∴BE∥平面PAD．（2）解：棱PD上存在點F為PD的中點，使CF⊥PA，∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．21.（本小題滿分10分）已知，對，恒成立，求的取值范圍．參考答案：-7≤x≤11∵a＞0，b＞0且∴+=(a+b)(+)=5++≥9，故+的最小值為9，……5分因為對a，b∈(0，+∞)，使+≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9，

7分當x≤-1時，2-x≤9，∴-7≤x≤-1，當-1＜x＜時，-3x≤9，∴-1＜x＜，當x≥時，x-2≤9，

∴≤x≤11，∴-7≤x≤11

……10分22.為更好地落實農民工工資保證金制度，南方某市勞動保障部門調查了2018年下半年該市100名農民工（其中技術工、非技術工各50名）的月工資，得到這100名農民工月工資的中位數為39百元（假設這100名農民工的月工資均在[25,55]（百元）內）且月工資收入在[45,50)（百元）內的人數為15，并根據調查結果畫出如圖所示的頻率分布直方圖：（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）已知這100名農民工中月工資高于平均數的技術工有31名，非技術工有19名，則能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為是不是技術工與月工資是否高于平均數有關系？參考公式及數據：，其中．0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828

參考答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）不能在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為是不是技術工與月工資是否高于平均數有關【分析】（Ⅰ）根據頻數計算出月工資收入在（百元）內的頻率，利用頻率總和為和頻率分布直方圖估計中位數的方