云南省昆明市富民縣散旦中學2022高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.任取一個三位正整數N，對數log2N是一個正整數的概率是(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C略2.357與459的最大公約數是（

）

A．3

B．7

C．17D．51參考答案：D3.點P(2,3)到直線：的距離為最大時，與的值依次為

（

）A．3,-3

B．5,1

C．5,2

D．7,1參考答案：B4.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是（

）． A． B． C． D．參考答案：C在正方體中畫出該三棱錐，如圖所示：易知：各個面均是直角三角形，且，，，∴，，，，所以四個面中面積最大的是，故選．5.已知定義在R上的函數f（x）滿足：y=f（x﹣1）的圖象關于（1，0）點對稱，且當x≥0時恒有f（x﹣）=f（x+），當x∈[0，2）時，f（x）=ex﹣1，則f=（）A．1﹣e B．﹣1﹣e C．e﹣1 D．e+1參考答案：C【考點】3T：函數的值．【分析】根據圖象的平移可知y=f（x）的圖象關于（0，0）點對稱，可得函數為奇函數，由題意可知當x≥0時，函數為周期為2的周期函數，可得f=f（1）﹣f（0），求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣1）的圖象關于（1，0）點對稱，∴y=f（x）的圖象關于（0，0）點對稱，∴函數為奇函數，∵當x≥0時恒有f（x+2）=f（x），∴函數為周期為2的周期函數，當x∈[0，2）時，f（x）=ex﹣1，∴f=f=f（1）﹣f（0）=（e﹣1）﹣0=e﹣1．故選：C．6.由直線，x=2，曲線及x軸所圍圖形的面積為(

) A． B． C． D．2ln2參考答案：D考點：定積分在求面積中的應用．分析：由題意畫出圖形，再利用定積分即可求得．解答： 解：如圖，面積．故選D．點評：本題主要考查定積分求面積．7.實驗測得五組（x，y）的值是（1，2）（2，4）（3，4）（4，7）（5，8），若線性回歸方程為=0.7x+，則的值是（）A．1.4 B．1.9 C．2.2 D．2.9參考答案：D【考點】線性回歸方程．【分析】根據五組（x，y）的值計算、，利用線性回歸方程過樣本中心點求出的值．【解答】解：根據五組（x，y）的值，計算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（2+4+4+7+8）=5，且線性回歸方程=0.7x+過樣本中心點，則=﹣0.7=5﹣0.7×3=2.9．故選：D．【點評】本題考查了平均數與線性回歸方程過樣本中心點的應用問題，是基礎題目．8.雙曲線與橢圓有相同的焦點，它的一條漸近線為，則雙曲線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C9.已知F1、F2為雙曲線的左、右焦點，過F1、F2分別作垂直于x軸的直線交雙曲線于A、B、C、D四點，順次連接這四個點正好構成一個正方形，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：B由該圖形為正方形可得，從而有，又，則雙曲線的離心率為故選：B點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于a，b，c的方程或不等式，再根據a，b，c的關系消掉b得到a，c的關系式，建立關于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.10.如果方程+=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值范圍是（）A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質；橢圓的標準方程．【分析】利用方程表示焦點在x軸上的橢圓，建立不等式，即可求得實數a的取值范圍．【解答】解：由題意，∵方程表示焦點在x軸上的橢圓，∴a2＞a+6＞0，解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2∴實數a的取值范圍是a＞3或﹣6＜a＜﹣2故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,且,,…,,…,則

.參考答案：0

略12.過點作圓的兩條切線，切點分別為、，為坐標原點，則的外接圓方程是參考答案：13.已知，其中i為虛數單位，則______．參考答案：【分析】先由復數的除法運算，化簡，再由復數相等的充要條件，即可得出結果.【詳解】因為，又，所以，因此，所以.故答案為【點睛】本題主要考查復數的運算，熟記復數的除法運算，以及復數相等的充要條件即可，屬于基礎題型.14.現有關于函數的命題，

①函數是奇函數

②函數在區間［0，］上是增函數

③函數的圖象關于點對稱

④函數的圖象關于直線對稱其中的真命題是▲.（寫出所有真命題的序號）參考答案：②③15.等比數列前項和，則

_________________________參考答案：略16.如右圖所示，點P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，則PA與BD所成角的度數為

.

參考答案：60°略17.在一些算法中，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情形的結構是

，反復執行的處理步驟為

參考答案：循環,循環體三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.數列{an}的前n項和記為Sn，已知an=．（Ⅰ）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表達式；（Ⅱ）請用數學歸納法證明你的猜想．參考答案：略19.(10分)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA1的中點．(1)證明B1C1⊥CE；(2)設點M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長．參考答案：(方法一)(1)證明：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，所以B1C1⊥CE.(2)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．設＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量．設θ為直線AM與平面ADD1A1所成的角，則sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.于是，解得，所以AM＝.(方法二)(1)證明：因為側棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.

經計算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，從而B1E2＝，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE平面CC1E，故B1C1⊥CE.20.設函數，

（Ⅰ）判斷并證明在的單調性；

（Ⅱ）求函數在的最大值和最小值.參考答案：解：（Ⅰ）在上單調遞增證明：

………………1分

則，

…2分

…………5分

∵

∴

∵

∴

∴

……………7分

故，在上單調遞增；……8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調遞增

而

故，函數在上單調遞增………………10分

所以[]min=

[]max=………………12分21.已知f（x）=，f=4﹣x，（1）求g（x）的解析式；（2）求g（5）的值．參考答案：考點：函數解析式的求解及常用方法；函數的值．專題：函數的性質及應用．分析：（1）對于函數f（g（x）），把g（x）看做一個整體變量代入函數f（x）的表達式即可求出；（2）代入（1）的解析式求出即可．解答： 解：（1）∵已知f（x）=，f=4﹣x，∴，且g（x）≠﹣3．解得g（x）=（x≠﹣1）．（2）由（1）可知：=．點評：理解函數的定義中的對應法則和復合函數的定義域是解題的關鍵．22.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，直線y=x被橢圓C截得的線段長為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點）．點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M，N兩點．（i）設直線BD，AM的斜率分別為k1，k2，證明存在常數λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（ii）求△OMN面積的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】圓錐曲線的定義、性質與方程；圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）由橢圓離心率得到a，b的關系，化簡橢圓方程，和直線方程聯立后求出交點的橫坐標，把弦長用交點橫坐標表示，則a的值可求，進一步得到b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）（i）設出A，D的坐標分別為（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐標表示B的坐標，把AB和AD的斜率都用A的坐標表示，寫出直線AD的方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系得到AD橫縱坐標的和，求出AD中點坐標，則BD斜率可求，再寫出BD所在直線方程，取y=0得到M點坐標，由兩點求斜率得到AM的斜率，由兩直線斜率的關系得到λ的值；（ii）由BD方程求出N點坐標，結合（i）中求得的M的坐標得到△OMN的面積，然后結合橢圓方程利用基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，，則a2=4b2．∴橢圓C的方程可化為x2+4y2=a2．將y=x代入可得，因此，解得a=2．則b=1．∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）（i）設A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1）．∵直線AB的斜率，又AB⊥AD，∴直線AD的斜率．設AD方程為y=kx+m，由題意知k≠0，m≠0．聯立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴．因此．由題意可得．∴直線BD的方程為