會計學1D96幾何中的應用67054定義設數集則稱映射為一元向量值函數，記為其中D為定義域，t為自變量，為因變量。一元向量值函數是普通一元函數的推廣，其自變量

仍取實數值，而因變量n維向量。一元向量值函數簡稱向量值函數，而將普通實值函數稱為數量函數。在R3中，若向量函數的分量函數依次為則向量函數可表為或第1頁/共34頁OxyzΓM設的起點在原點，終點為M,即當t改變時，隨著改變，終點M也隨著改變，其軌跡Γ稱為向量函數的終端曲線，也稱為向量值函數的圖形。稱為曲線Γ的向量方程。

可以類似于數量函數來定義極限、連續、導數等：定義1

設向量值函數若存在常向量，則常向量叫向量值函數或第2頁/共34頁可以證明：定義2

設向量值函數如果則稱向量值函數在連續。可以證明：向量值函數在某點連續的充要條件是其各分量函數都在該點連續。若向量值函數在某區域上每一點都連續，則稱它在該區域上連續，或稱其為該區域上的連續函數。定義3

設向量值函數如果第3頁/共34頁存在，則稱其為向量值函數在該點處的導數或導向量。此時也稱向量值函數在該點可導。若向量值函數在某區域上每一點都可導，則稱它在該區域上可導。可以證明：向量值函數在某點可導的充要條件是其各分量函數都在該點可導。且向量值函數的導數運算法則與數量函數的導數運算法則在形式上相同，參見92面，其證明也可仿照數量函函數的導數運算法則，或對向量值函數的分量運用對應的法則證明。第4頁/共34頁導向量的幾何意義（92面）：OxyzΓMN

導向量是點M處的一個切向量，其方向與t的增長方向一致。導向量的物理意義（93面）：

速度向量、加速度向量。例1設解第5頁/共34頁例2空間曲線Γ的向量方程為求曲線Γ在點t=2相應點處的單位切向量。解于是由導數的幾何意義知，曲線Γ在點t=2相應點處的單位切向量為和前者指向與t的增長方向一致，后者相反。第6頁/共34頁

例3一人在懸掛式滑翔機上由于快速上升氣流而沿

位置向量的路徑螺旋式向上，求(1)滑翔機在任意時刻t的速度、加速度向量：(2)滑翔機在任意時刻t的速率（速度的大小）：(3)滑翔機的加速度與速度正交的時刻：第7頁/共34頁復習:平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方程若平面光滑曲線方程為故在點切線方程法線方程在點有有因機動目錄上頁下頁返回結束第8頁/共34頁二、空間曲線的切線與法平面過點M

與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法機動目錄上頁下頁返回結束位置.空間光滑曲線在點M

處的切線為此點處割線的極限平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停第9頁/共34頁1.曲線方程為參數方程的情況切線方程機動目錄上頁下頁返回結束第10頁/共34頁此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量.如個別為0,則理解為分子為0.機動目錄上頁下頁返回結束不全為0,因此得法平面方程說明:

若引進向量函數,則為r(t)的矢端曲線,處的導向量就是該點的切向量.第11頁/共34頁例1.求圓柱螺旋線對應點處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:

由于對應的切向量為在機動目錄上頁下頁返回結束,故第12頁/共34頁2.曲線為一般式的情況光滑曲線當曲線上一點,且有時,可表示為處的切向量為機動目錄上頁下頁返回結束第13頁/共34頁則在點切線方程法平面方程有或機動目錄上頁下頁返回結束第14頁/共34頁也可表為法平面方程機動目錄上頁下頁返回結束第15頁/共34頁例2.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1

令則即切向量機動目錄上頁下頁返回結束第16頁/共34頁法平面方程即機動目錄上頁下頁返回結束解法2.

方程組兩邊對x求導,得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得第17頁/共34頁切線方程即法平面方程即點M(1,–2,1)處的切向量機動目錄上頁下頁返回結束第18頁/共34頁三、曲面的切平面與法線

設有光滑曲面通過其上定點對應點M,切線方程為不全為0.則在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為在該點的切平面.機動目錄上頁下頁返回結束上過點

M

的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.第19頁/共34頁證:機動目錄上頁下頁返回結束在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.第20頁/共34頁曲面

在點M的法向量法線方程切平面方程復習目錄上頁下頁返回結束第21頁/共34頁曲面時,則在點故當函數法線方程令特別,

當光滑曲面

的方程為顯式

在點有連續偏導數時,切平面方程機動目錄上頁下頁返回結束第22頁/共34頁法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,復習目錄上頁下頁返回結束第23頁/共34頁例3.

求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令機動目錄上頁下頁返回結束第24頁/共34頁例4.確定正數

使曲面在點解:二曲面在

M

點的法向量分別為二曲面在點M

相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面機動目錄上頁下頁返回結束,因此有第25頁/共34頁1.空間曲線的切線與法平面

切線方程法平面方程1)參數式情況.空間光滑曲線切向量內容小結機動目錄上頁下頁返回結束第26頁/共34頁切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.機動目錄上頁下頁返回結束第27頁/共34頁空間光滑曲面曲面

在點法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線機動目錄上頁下頁返回結束第28頁/共34頁空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量機動目錄上頁下頁返回結束第29頁/共34頁思考與練習1.如果平面與橢球面相切,提示:

設切點為則機動目錄上頁下頁返回結束(二法向量平行)(切點在平面上)(切點在橢球面上)第30頁/共34頁證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:

在曲面上任意取一點則通過此2.設

f(u)可微,第七節目錄上頁下頁返回結束證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為第31頁/共34頁1.

證明曲面與定直線平行,證:

曲面上任一點的法向量取定直線的方向向