2022年廣東省清遠市普通高校對口單招高等數學一自考模擬考試(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與α有關D.上述三個結論都不正確

2.

3.設f(xo)=0，f(xo)<0，則下列結論中必定正確的是

A.xo為f(x)的極大值點

B.xo為f(x)的極小值點

C.xo不為f(x)的極值點

D.xo可能不為f(x)的極值點

4.下列運算中正確的有()A.A.

B.

C.

D.

5.設y=3+sinx，則y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx

6.已知y=ksin2x的一個原函數為y=cos2x，則k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

7.微分方程y'+y=0的通解為y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

8.

9.設y=e-3x，則dy=A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

10.

11.

12.方程x2+2y2+3z2=1表示的二次曲面是

A.圓錐面B.旋轉拋物面C.球面D.橢球面

13.A.0B.2C.2f(-1)D.2f(1)

14.

15.A.eB.e-1

C.e2

D.e-2

16.微分方程y＋y＝0的通解為（）．A.A.

B.

C.

D.

17.設函數Y=e-x，則Y'等于()．A.A.-ex

B.ex

C.-e-xQ258

D.e-x

18.當x→0時，x2是2x的A.A.低階無窮小B.等價無窮小C.同階但不等價無窮小D.高階無窮小

19.

20.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

二、填空題(20題)21.設f(x)=esinx，則=________。

22.

23.

24.

25.若f'(x0)=1，f(x0)=0,則

26.

27.曲線y=(x+1)/(2x+1)的水平漸近線方程為_________.

28.

29.

30.

31.交換二重積分次序=______．

32.設y＝3＋cosx，則y＝．

33.二元函數z=x2+3xy+y2+2x，則=______．

34.

35.微分方程y"=y的通解為______．

36.

37.微分方程exy'=1的通解為______．

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

42.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

43.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

44.

45.

46.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

47.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

48.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

49.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

50.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．

51.求微分方程的通解．

52.

53.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．

54.

55.證明：

56.

57.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.

60.

四、解答題(10題)61.在曲線上求一點M(x，y)，使圖9-1中陰影部分面積S1，S2之和S1+S2最小．

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.設z=z(x，y)是由F(x＋mz，y＋nz)=0確定的，其中F是可微函數，m、n是

69.

70.

五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.D本題考查的知識點為正項級數的比較判別法．

2.D

3.A

4.C本題考查的知識點為重要極限公式．

所給各極限與的形式相類似．注意到上述重要極限結構形式為

將四個選項與其對照。可以知道應該選C．

5.B

6.D本題考查的知識點為可變限積分求導。由原函數的定義可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

7.C

8.D

9.C

10.D解析：

11.C

12.D本題考查了二次曲面的知識點。

13.C本題考查了定積分的性質的知識點。

14.C解析：

15.C

16.D本題考查的知識點為－階微分方程的求解．

可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作－階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解．

解法1將方程認作可分離變量方程．

解法2將方程認作－階線性微分方程．由通解公式可得

解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：

特征方程為r＋1＝0，

特征根為r＝－1，

17.C本題考查的知識點為復合函數導數的運算．

由復合函數的導數鏈式法則知

可知應選C．

18.D

19.B

20.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

21.由f(x)=esinx，則f"(x)=cosxesinx。再根據導數定義有=cosπesinπ=-1。

22.0

23.(1+x)ex(1+x)ex

解析：

24.

25.-1

26.

27.y=1/2本題考查了水平漸近線方程的知識點。

28.

29.

30.(e-1)2

31.

本題考查的知識點為交換二重積分次序．

積分區域D：0≤x≤1，x2≤y≤x

積分區域D也可以表示為0≤y≤1，y≤x≤，因此

32.－sinX．

本題考查的知識點為導數運算．

33.2x+3y+2本題考查的知識點為二元函數的偏導數運算．

則

34.y''=x(asinx+bcosx)

35.y'=C1e-x+C2ex

；本題考查的知識點為二階常系數線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為r2-1=0；

特征根為r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex．

36.[-11)

37.y=-e-x+C本題考查的知識點為可分離變量方程的求解．

可分離變量方程求解的一般方法為：

(1)變量分離；

(2)兩端積分．

由于方程為exy'=1，先變形為

變量分離dy=e-xdx．

兩端積分

為所求通解．

38.

本題考查了一元函數的一階導數的知識點。

39.

40.（-35）（-3，5）解析：

41.

42.函數的定義域為

注意

43.由二重積分物理意義知

44.

則

45.

46.

47.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

48.由等價無窮小量的定義可知

49.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2