必修四平面向量

總復習.知識網絡單位向量及零向量平行向量和共線向量平行與垂直的充要條件向量向量有關概念向量的運算基本應用向量的定義相等向量向量的加法向量的減法實數和向量的積向量的數量積求長度求角度.二、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐標表示：xyO(x,y)Axy一、向量的概念向量、零向量、單位向量、共線向量（平行向量）、相等向量、相反向量、向量的夾角等..三、向量的運算（一）向量的加法ABC三角形法則：ABCD平行四邊形法則：ab2、坐標運算：1、作圖（二）向量的減法2、坐標運算：1、作圖平行四邊形法則：abab+ab+.（1）長度：（2）方向：

（三）數乘向量4、平面向量基本定理.1、平面向量數量積的定義：2、數量積的幾何意義：OABθB1(四)數量積4、運算律:3、數量積的坐標運算.①e·a=a·e=|a|cosθ②a⊥ba·b=0③a，b同向a·b=|a||b|反向時a·b=-|a|·|b|a2=a·a=|a|2(a·a=)④cosθ=⑤|a·b|≤|a|·|b|平面向量的數量積a·b的性質:.四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共線向量的判定)六、向量的長度七、向量的夾角向量表示坐標表示向量表示坐標表示.例1e1、e2不共線，a=e1+e2b=3e1－3e2a與b是否共線。解：假設,a與b共線則

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

這樣λ不存在。

∴a與b不共線。典型例題分析:.例2設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴.解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b例3、已知a=(3,-2)

b=(-2,1)c=(7,-4)，用a、b表示c。.解：設a=(x,y)

則x2+y2=100

-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8

a=(6,-8)或(-6,8)例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a.解：法1

a=(x1y1)b=(x2,y2)

x12+y12=1x22+y22=1

3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9x1x2+y1y2=

3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12∴(3a+b)=2例5、設|a|=|b|=1|3a-2b|=3則|3a+b|=____.法29=9a2+4b2-12a·b∴a·b=

又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12

∴|3a+b|=2.解：∵∴同理可得

∴θ=120°...[解][答案]

C..[解].[例10].[解析]..[例11].[例11][解析]..[例12].[解析]....練習一、選擇題：1、如圖所示，G為ABC的重心，則GA+GB-GC等于（D）

A.0

B.GEC.4GD

D.4GF2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(A)A.λ>B.λ≥C.λ<D.λ≤3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，則a和b的夾角θ是（A）

A.120。B.150。C.60。D.30。ABDCGFE.4、已知|a|=|b|=1,a與b的夾角為90。，c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（）

A.-6

B.6

C.3

D.-35、設點A(a,b),B(c,d)，若徑平移得A(2a,2b)，那么B點之新坐標為（）

A.(2c,2d)B.(a+c,b+d)C.(a+2c,b+2d)D.(2a+c,2b+d)6、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33，則a與b的夾角為（）

A.30。B.60。C.120。D.150。7.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,則a·b=()A.10B.-10C.10D.10.8、已知△ABC中,AB=a,AC=b,a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角為（）

A.30。B.-150。C.150。D.30?；?50。9、若點P分AB所成的比為，則A分BP所成的比是（）

A.B.C.-D.-10、在△ABC中，三內角A,B,C對應的三邊分別為a,b,c,已知c=3,∠C=60。,a+b=5，則cos的值是（）

A.B.C.D..11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),則∠A=（）

A.30。

B.60。

C.120。

D.150。12、在△ABC中，已知角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且3b=asinB,cosB=cosC，則△ABC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形.二、填空題：13、設a=(m+1)e1-3e2,b=e1+(m-1)e2,若(a+b)⊥(a-b),那么m=____。14、單位向量e1,e2的夾角為60。，則(e1-2e2)·(-2e1+3e2)=______。15、在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則∠A=_____。16、在△ABC中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊長，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，則∠C=_______。.三、解答題：17、已知e1與e2是夾角為60。的單位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a與b的夾角α。解：e1,e2是單位向量，且夾角為60。

∴e1e2=|e1||e2|cos60。=∴ab=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-12e1e2+4e22=7|a|=|b|=∴cosα=α=120。.20、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角；(2)已知|a|=,|b|=，且a與b的夾角為，試求a+2b與a-b的夾角θ的大小。解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0(a-4b)·(7a-2b)=07a+16a·b-15b=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cosθ=θ=60。.（2）a2=3b2=4|a|·|b|=2a·b=|a|·|b|cosθ=·cos30。=3.22、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC.（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D