9/99/99/9二次函數一、解析式的求法一般式頂點式兩點式〔交點式〕二、二次函數的圖像1、二次函數的平移問題〔1〕、平移的實質：相同。〔決定二次函數的形狀、開口和開口的大小,其中決定開口的大小,的正負決定開口方向。注意,兩個二次函數的相等,那么這兩個二次函數的形狀就是相同的〕〔2〕、平移的規律：頂點坐標的平移。2、二次函數的對稱變換：3、二次函數的圖像與及其相關代數式()之間的關系例1、〔1〕二次函數的圖象如下圖,有以下5個結論：①；②；③；④；⑤,〔的實數〕其中正確的結論有〔〕A.2個 B.3個 C.4個 D.5個〔2〕如圖4所示,二次函數的圖象經過點〔－1,2〕,且與x軸交點的橫坐標分別為x1,x2,其中－2<x1<－1,0<x2<1,以下結論：①4a－2b+c<0；②2a－b<0；③a<－1；④b2+8a>4ac。其中正確的有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個〔3〕如圖,拋物線與軸的一個交點A在點〔-2,0〕和〔-1,0〕之間〔包括這兩點〕,頂點C是矩形DEFG上〔包括邊界和內部〕的一個動點,那么①(填“〞或“〞)；②的取值范圍是三、二次函數的性質

①當a>0時,拋物線開口向上,在對稱軸左側,y隨x增大而減小；在對稱軸右側,y隨x增大而增大。它有最底點,所以存在最小值,這個最小值就是當x取頂點橫坐標,頂點縱坐標的值就是二次函數的最小值。

②當a<0時,拋物線開口向下,在對稱軸左側,y隨x增大而增大；在對稱軸右側,y隨x增大而減小。它有最高點,所以存在最大值,這個最大值就是當x取頂點橫坐標,頂點縱坐標的值就是二次函數的最大值。例2、M,N兩點關于Y軸對稱,且點M在雙曲線上,點N在直線上,設點M的坐標為,那么二次函數有最大值還是最小值,那最大〔小〕值是多少？四、二次函數的根本應用1、利潤問題例3、〔1〕、某商店購進一批單價為20元的日用商品,如果以單價30元銷售,那么半月可售出400件,根據銷售經驗〔提高銷售單價會導致銷售量的減少〕,即銷售單價每提高1元,銷售量相應減少20件,如何提高售價,才能在半月內獲得最大利潤？〔2〕、某公司推出了一種高效環保型洗滌用品,年初上市后,公司經歷了從虧損到盈利的過程．圖中二次函數圖象〔局部〕刻畫了該公司年初以來累積利潤S〔萬元〕與銷售時間t〔月〕之間的關系〔即前t個月的利潤總和S與t之間的關系〕。根據圖象提供的信息,解答以下問題：①由圖象上的三點坐標,求累積利潤S〔萬元〕與時間t〔月〕之間的函數表達式；②求截止到幾月末公司累積利潤可到達30萬元；③求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？〔3〕、某高科技開展公司投資500萬元,成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產品,并投入資金1500萬元進行批量生產。生產每件產品的本錢為40元,在銷售過程中發現：當銷售單價定為100元時,年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元,年銷售量將減少1萬件,設銷售單價為元,年銷售量為萬件,年獲利〔年獲利＝年銷售額－生產本錢－投資〕萬元。①試寫出與之間的函數關系式；〔不必寫出的取值范圍〕②試寫出與之間的函數關系式；〔不必寫出的取值范圍〕③計算銷售單價為160元時的年獲利,并說明同樣的年獲利,銷售單價還可以定為多少元？相應的年銷售量分別為多少萬件？④公司方案：在第一年按年獲利最大確定的銷售單價進行銷售,第二年年獲利不低于1130萬元。請你借助函數的大致圖象說明,第二年的銷售單價〔元〕應確定在什么范圍內？2、距離(長度)問題例4、某施工隊要修建一個橫截面為拋物線的公路隧道,其高度為6米,寬OM=12米,現以O點為原點,OM所在直線為x軸建立如圖的直角坐標系.①請直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標.②求出這條拋物線的解析式.③施工隊方案在隧道門口搭建一個矩形“腳手架〞ABCD,使A、D在拋物線上,B、C在地面OM上,為了籌備材料,需求出“腳手架〞三根木料AB、AD、DC的長度之和的最大值.試問:其最大值是多少?3、過隧道及過橋問題例5、如下圖,隧道的截面是由拋物線和長方形構成的。長方形的寬是2米,長是8米,拋物線可用表示。①一輛卡車高4米,寬2米,它能通過該隧道嗎？②如果該隧道內設雙行道,那么這輛卡車能通過嗎？4、分段函數例6、〔1〕、通過實驗研究,專家們發現：初中學生聽課的注意力指標數是隨著老師講課時間的變化而變化的,講課開始時,學生的興趣激增,中間有一段時間的興趣保持平穩狀態,隨后開始分散．學生注意力指標數y隨時間x〔分鐘〕變化的函數圖象如下圖〔y越大表示注意力越集中〕.當0≤x≤10時,圖象是拋物線的一局部,當10≤x≤20和20≤x≤40時,圖象是線段．⑴當0≤x≤10時,求注意力指標數y與時間x的函數關系式；⑵一道數學綜合題,需要講解24分鐘．問老師能否經過適當安排,使學生聽這道題時,注意力的指標數都不低于36．OOyyxxA2515圖甲圖乙425〔2〕、OOyyxxA2515圖甲圖乙425①求王亮解題的學習收益量與用于解題的時間之間的函數關系式,并寫出自變量的取值范圍；求王亮回憶反思的學習收益量與用于回顧反思的時間之間的函數關系式；③王亮如何分配解題和回憶反思的時間,才能使這30分鐘的學習收益總量最大？〔學習收益總量解題的學習收益量回憶反思的學習收益量〕〔3〕、由于國家重點扶持節能環保產業,某種節能產品的銷售市場逐漸回暖．某經銷商銷售這種產品,年初與生產廠家簽訂了一份進貨合同,約定一年內進價為0.1萬元／臺,并預付了5萬元押金。他方案一年內要到達一定的銷售量,且完成此銷售量所用的進貨總金額加上押金控制在不低于34萬元,但不高于40萬元．假設一年內該產品的售價〔萬元／臺〕與月次〔且為整數〕滿足關系是式：,一年后發現實際每月的銷售量〔臺〕與月次之間存在如下圖的變化趨勢．①直接寫出實際每月的銷售量〔臺〕與月次之間的函數關系式；②求前三個月中每月的實際銷售利潤〔萬元〕與月次之間的函數關系式；③試判斷全年哪一個月的的售價最高,并指出最高售價；④請通過計算說明他這一年是否完成了年初方案的銷售量．五、二次函數和方程及不等式的相互關系及相互轉換函數作為代數援助幾何的衍生物,起著一個橋梁作用,因此在解決函數問題時,應該注意數型結合。作為代數的主體,方程和不等式與函數之間有著密切的聯系,解方程不等式問題,從實質上說,是研究相應函數的零點、正負值問題．對于函數,它與軸交點的橫坐標就是方程的解,而在軸上面〔下面〕的局部所對應的的取值范圍就是不等式〔〕的解集。對于函數和,它們交點的橫坐標就是方程的解,而不等式〔〕的解集反映在圖像上,就是的圖像在圖像上面的局部所對應的的取值范圍。例7、〔1〕、二次函數的圖象如下圖,根據圖象解答以下問題：①寫出方程的兩個根．②寫出不等式的解集．③寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍．④寫出方程的實數根：⑤假設方程有兩個不相等的實數根,寫出的取值范圍．〔2〕、閱讀材料,解答問題．用圖象法解一元二次不等式：．解：設,那么是的二次函數．拋物線開口向上．又當時,,解得．由此得拋物線的大致圖象如下圖．觀察函數圖象可知：當或時,．的解集是：或．①觀察圖象,直接寫出一元二次不等式：的解集是____________；②仿照上例,用圖象法解一元二次不等式：．〔大致圖象畫在答題卡上〕12123123xy〔3〕、拋物線的局部圖象如圖1所示。圖1圖2 ①求c的取值范圍； ②假設拋物線經過點〔0,-1〕,試確定拋物線的解析式； ③假設反比例函數的圖象經過〔2〕中拋物線上點〔1,a〕,試在圖2所示直角坐標系中,畫出該反比例函數及〔2〕中拋物線的圖象,并利用圖象比擬與的大小。〔4〕、閱讀：我們知道,在數軸上,x＝1表示一個點,而在平面直角坐標系中,x＝1表示一條直線；我們還知道,以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解為坐標的點組成的圖形就是一次函數y＝2x＋1的圖象,它也是一條直線,如圖①.觀察圖①可以得出：直線＝1與直線y＝2x＋1的交點P的坐標〔1,3〕就是方程組的解,所以這個方程組的解為在直角坐標系中,x≤1表示一個平面區域,即直線x＝1以及它左側的局部,如圖②；y≤2x＋1也表示一個平面區域,即直線y＝2x＋1以及它下方的局部,如圖③。OxyOxy圖③ly=2x+1Oxy圖②lx=1P(1,3)Oxy3圖①lx=1y=2x+1答復以下問題：①在直角坐標系〔圖④〕中,用作圖象的方法求出方程組的解；②用陰影表示,所圍成的區域。六、動點面積問題動點類面積問題的解題關鍵在于尋找臨界點,劃分時間段,需要注意的是,最后得到的與時間或者距離是一個分段函數,如果要求的最值,那么應該在區間內求最值,然后加以比擬。例8、〔1〕、如下圖,在直角坐標系中,矩形ABCD的邊AD在x軸上,點A在原點,AB＝3,AD＝5．假設矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動．同時點P從A點出發以每秒1個單位長度沿A－B－C－D的路線作勻速運動．當P點運動到D點時停止運動,矩形ABCD也隨之停止運動．〔1〕求P點從A點運動到D點所需的時間；〔2〕設P點運動時間為t〔秒〕。=1\*GB3①當t＝5時,求出點P的坐標；=2\*GB3②假設⊿OAP的面積為s,試求出s與t之間的函數關系式〔并寫出相應的自變量t的取值范圍〕．〔2〕、如圖1,在△ABC中,∠A＝90°,AB＝4,AC＝3,M是AB上的動點〔不與A,B重合〕,過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O,并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．=1\*GB3①用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；=2\*GB3②當x為何值時,⊙O與直線BC相切？③在動點M的運動過程中,記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關于x的函數表達式,并求x為何值時,y的值最大,最大值是多少？AABCMNPOABABCMNDOABCMNPO圖1圖2圖3〔3〕、如圖,在平面直角坐標系中,兩個函數的圖象交于點A。動點P從點O開始沿OA方向以每秒1個單位的速度運動,作PQ∥x軸交直線BC于點Q,以PQ為一邊向下作正方形PQMN,設它與△OAB重疊局部的面積為S。①求點A的坐標。〔2分〕②試求出點P在線段OA上運動時,S與運動時間t〔秒〕的關系式。〔4分〕③在②的條件下,S是否有最大值？假設有,求出t為何值時,S有最大值,并求出最大值；假設沒有,請說明理由。〔2分〕④假設點P經過點A后繼續按原方向、原速度運動,當正方形PQMN與△OAB重疊局部面積最大時,運動時間t滿足的條件是____________。〔2分〕〔4〕、如圖,直線與直線相交于點分別交軸于兩點．矩形的頂點分別在直線上,頂點都在軸上,且點與點重合．①求的面積；②求矩形的邊與的長；③假設矩形從原點出發,沿軸的反方向以每秒1個單位長度的速度平移,設移動時間為秒,矩形與重疊局部的面積為,求關ADBEOCADBEOCFxyy〔G〕〔5〕、如圖,在平面直角坐標系中,直角梯形的邊落在軸的正半軸上,且∥,,=4,=6,=8．正方形的兩邊分別落在坐標軸上,且它的面積等于直角梯形面積．將正方形沿軸的正半軸平行移動,設它與直角梯形的重疊局部面積為．①分析與計算：求正方形的邊長；②操作與求解：①A．逐漸增大B．逐漸減少C．先增大后減少D．先減少后增大②當正方形頂點移動到點時,求的值；③探究與歸納：ABCABCODEF設正方形的頂點向右移動的距離為,求重疊局部面積ABCABCODEF七、動點存在性問題在解決動點存在性問題時,一般先假設其存在,得到方程或者相應的式子,如果有解,那么存在,反之,那么不存在。對于實際問題,一般分為三類：1、是否存在等腰三角形,直角三角形,平行四邊形,矩形,直角梯形和等腰梯形,〔對于三角形,一般按頂點分為三類情況,當然,如果有角已經與角相等,那么就分為兩類情況；而對于平行四邊形那么應該按和邊平行以及和對角線平行兩種情況考慮；對于等腰梯形,就應該注意底角的余弦了〕2、是否存在三角形與一固定三角形相似〔和上面一樣按頂點分三類情況〕,3、是否存在三角形與一固定三角形面積之間有數量關系。例9、〔1〕、拋物線,經過點A(0,5)和點B〔3,2〕①求拋物線的解析式：②現有一半徑為l,圓心P在拋物線上運動的動圓,問⊙P在運動過程中,是否存在⊙P與坐標軸相切的情況？假設存在,請求出圓心P的坐標：假設不存在,請說明理由；③假設⊙Q的半徑為r,點Q在拋物線上、⊙Q與兩坐軸都相切時求半徑r的值〔2〕、如圖,直角坐標系中,點A(2,4),B(5,0),動點P從B點出發沿BO向終點O運動,動點O從A點出發沿AB向終點B運動．兩點同時出發,速度均為每秒1個單位,設從出發起運動了s．①Q點的坐標為(＿＿＿,＿＿＿)〔用含x的代數式表示〕②當x為何值時,△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形?③記PQ的中點為G．請你探求點G隨點P,Q運動所形成的圖形,并說明理由.〔3〕、如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與軸交于點,拋物線經過三點．①求過三點拋物線的解析式并求出頂點的坐標；②在拋物線上是否存在點,使為直角三角形,假設存在,直接寫出點坐標；假設不存在,請說明理由；③試探究在直線上是否存在一點,使得的周長最小,假設存在,求出點的坐標；假設不存在,請說明理由．AAOxyBFC〔4〕、如圖,直角梯形中,∥,為坐標原點,點在軸正半軸上,點在軸正半軸上,點坐標為〔2,2〕,∠=60°,于點.動點從點出發,沿線段向點運動,動點從點出發,沿線段向點運動,兩點同時出發,速度都為每秒1個單位長度.設點運動的時間為秒.①求的長；②假設的面積為〔平方單位〕.求與之間的函數關系式.并求為何值時,的面積最大,最大值是多少？③設與交于點.=1\*GB3①當△為等腰三角形時,求=2\*GB3②中的值.②探究線段長度的最大值是多少,直接寫出結論.〔5〕、如圖,點A的坐標是〔－1,0〕,點B的坐標是〔9,0〕,以AB為直徑作⊙O′,交y軸的負半軸于點C,連接AC、BC,過A、B、C三點作拋物線．=1\*GB3①求拋物線的解析式；②點E是AC延長線上一點,∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D,連結BD,求直線BD的解析式；③在②的條件下,拋物線上是否存在點P,使得∠PDB＝∠CBD?如果存在,請求出點P的坐標；如果不存在,請說明理由．〔6〕、如圖,拋物線與x軸分別相交于點B、O,它的頂點為A,連接AB,把AB所的直線沿y軸向上平移,使它經過原點O,得到直線l,設P是直線l上一動點.=1\*GB3①求點A的坐標;②以點A、B、O、P為頂點的四邊形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標;③設以點A、B、O、P為頂點的四邊形的面積為S,點P的橫坐標為x,當時,求x的取值范圍.〔7〕、如圖1,在平面直角坐標系中,二次函數的圖象的頂點為D點,與y軸交于C點,與x軸交于A、B兩點,A點在原點的左側,B點的坐標為〔3,0〕,OB＝OC,tan∠ACO＝．=1\*GB3①求這個二次函數的表達式．②經過C、D兩點的直線,與x軸交于點E,在該拋物線上是否存在這樣的點F,使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？假設存在,請求出點F的坐標；假設不存在,請說明理由．③假設平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓與x軸相切,求該圓半徑的長度．④如圖2,假設點G〔2,y〕是該拋物線上一點,點P是直線AG下方的拋物線上一動點,當點P運動到什么位置時,△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.〔8〕、如圖,半徑為1的與軸交于兩點,為的切線,切點為,圓心的坐標為,二次函數的圖象經過兩點．=1\*GB3①求二次函數的解析式；②求切線的函數解析式；③線段上是否存在一點,使得以為頂點的三角形與相似．假設存在,請求出所有符合條件的點的坐標；假設不存在,請說明理由．yyxOABMO1〔8〕、：如圖①,在中,,,,點由出發沿方向向點勻速運動,速度為1cm/s；點由出發沿方向向點勻速運動,速度為2cm/s；連接．假設設運動的時間為〔〕,解答以下問題：=1\*GB3①當為何值時,？=2\*GB3②設的面積為〔〕,求與之間的函數關系式；③是否存在某一時刻,使線段恰好把的周長和面積同時平分？假設存在,求出此時的值；假設不存在,說明理由；AQCPB圖=1\*GB3①AQCPB圖=2\*GB3②④AQCPB圖=1\*GB3①AQCPB圖=2\*GB3②八、最值問題最值問題一般以以下前三道題為根本類型,每年均在此根底上,加以變形而成,近年來,相對的定點開始出現,需要特別注意,如第五題。例10、〔1〕、直線,,的圖象如下圖,假設無論取何值,總取、、中的最小值,那么的最大值為．〔2〕、如圖,一元二次方程的二根〔〕是拋物線與軸的兩個交點的橫坐標,且此拋物