..8/8經(jīng)典例題精析類型一：求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.求中心在原點,一個焦點為且被直線截得的弦AB的中點橫坐標(biāo)為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.思路點撥：先確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點的位置（定位），選擇相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法確定、（定量）.

解析：

方法一：因為有焦點為，

所以設(shè)橢圓方程為，,

由，消去得，

所以

解得

故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

方法二：設(shè)橢圓方程,,,

因為弦AB中點,所以，

由得,（點差法）

所以

又

故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.舉一反三：

[變式]已知橢圓在x軸上的一個焦點與短軸兩端點連線互相垂直，且該焦點與長軸上較近的端點的距離為.求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

[答案]依題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為()，

并有，解之得，,

∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

2．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）與雙曲線有共同的漸近線，且過點；

（2）與雙曲線有公共焦點，且過點

解析：

（1）解法一：設(shè)雙曲線的方程為

由題意，得，解得，

所以雙曲線的方程為

解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（），

將點代入得，

所以雙曲線方程為即

（2）解法一：設(shè)雙曲線方程為－=1

由題意易求

又雙曲線過點，∴

又∵，∴，

故所求雙曲線的方程為.

解法二：設(shè)雙曲線方程為，

將點代入得，

所以雙曲線方程為.

總結(jié)升華：先根據(jù)已知條件確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點的位置（定位），選擇相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法確定、.在第（1）小題中首先設(shè)出共漸近線的雙曲線系方程.然后代點坐標(biāo)求得方法簡便.第（2）小題實軸、虛軸沒有唯一給出.故應(yīng)答兩個標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、、、與準(zhǔn)線）之間的

關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.

(2)若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）.舉一反三：

[變式]求中心在原點，對稱軸在坐標(biāo)軸上且分別滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）一漸近線方程為，且雙曲線過點.

（2）虛軸長與實軸長的比為，焦距為10.

[答案]

（1）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是,故設(shè)雙曲線方程為，

∵點在雙曲線上，

∴，解得，

∴所求雙曲線方程為.

（2）由已知設(shè),,則()

依題意，解得.

∴雙曲線方程為或.

3．求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：

（1）過點；

（2）焦點在直線：上

思路點撥：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項系數(shù)；從實際分析，一般需結(jié)合圖形確定開口方向和一次項系數(shù)兩個條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論

解析：

（1）∵點在第二象限，∴拋物線開口方向上或者向左

當(dāng)拋物線開口方向左時，

設(shè)所求的拋物線方程為（），

∵過點，∴，

∴，∴，

當(dāng)拋物線開口方向上時，

設(shè)所求的拋物線方程為（），

∵過點，∴，

∴，∴，

∴所求的拋物線的方程為或，

對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.

（2）令得，令得，

∴拋物線的焦點為或

當(dāng)焦點為時，，∴，

此時拋物線方程；

焦點為時，，∴，

此時拋物線方程為

∴所求的拋物線的方程為或，

對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.總結(jié)升華：這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定拋物線開口方向，選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问剑瑴?zhǔn)確求出焦參數(shù)P.

舉一反三：

[變式1]分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（1）焦點為F(4,0)；

（2）準(zhǔn)線為；

（3）焦點到原點的距離為1；

（4）過點（1，－2）；

（5）焦點在直線x-3y+6=0上.

[答案]

（1）所求拋物線的方程為y2=16x；

（2）所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2y；

（3）所求拋物線的方程y2=±4x或x2=±4y；

（4）所求拋物線的方程為或；

（5）所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=－24x或x2=8y.

[變式2]已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸負(fù)半軸上，過頂點且傾角為的弦長為，求拋物線的方程.

[答案]設(shè)拋物線方程為()，又弦所在直線方程為

由，解得兩交點坐標(biāo),

∴，解得.

∴拋物線方程為.

類型二：圓錐曲線的焦點三角形

4．已知、是橢圓（）的兩焦點，P是橢圓上一點，且，求的面積.思路點撥：如圖求的面積應(yīng)利用，即.關(guān)鍵是求.由橢圓第一定義有,由余弦定理有，易求之.

解析：設(shè),,

依題意有

(1)2-(2)得，

即.

∴.

舉一反三：

[變式1]設(shè)為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（）

A．B．C．D．

[答案]依據(jù)雙曲線的定義有，

由得、，

又，則，即，

所以，故選A.

[變式2]已知雙曲線實軸長6，過左焦點的弦交左半支于、兩點，且，設(shè)右焦點，求的周長.

[答案]：由雙曲線的定義有:，，

兩式左、右分別相加

得(.

即

∴.

故的周長.

[變式3]已知橢圓的焦點是,直線是橢圓的一條準(zhǔn)線.

①求橢圓的方程；

②設(shè)點P在橢圓上,且,求.

[答案]①.

②設(shè)

則，

又

.

[變式4]已知雙曲線的方程是.

（1）求這雙曲線的焦點坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；

（2）設(shè)和是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上，且，求的大小

[答案]

（1）由得，

∴，，.焦點、，離心率，漸近線方程為.

（2），

∴∴

[變式5]中心在原點，焦點在x軸上的一個橢圓與雙曲線有共同焦點和，且，又橢圓長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比.

（1）求橢圓與雙曲線的方程；

（2）若為這兩曲線的一個交點，求的余弦值.

[答案]

（1）設(shè)橢圓方程為()，雙曲線方程，

則，解得

∵,∴,.

故所求橢圓方程為，雙曲線方程為.

（2）由對稱性不妨設(shè)交點在第一象限.設(shè)、.

由橢圓、雙曲線的定義有:

解得

由余弦定理有.

類型三：離心率

5．已知橢圓上的點和左焦點，橢圓的右頂點和上頂點，當(dāng)，（O為橢圓中心）時，求橢圓的離心率.思路點撥：因為，所以本題應(yīng)建立、的齊次方程，使問題得以解決.

解析：設(shè)橢圓方程為（），，，

則，即.

∵，∴，

即，∴.

又∵，

∴.

總結(jié)升華：求橢圓的離心率，即求的比值，則可由如下方法求.

（1）可直接求出、；

（2）在不好直接求出、的情況下，找到一個關(guān)于、的齊次等式或、用同一個量表示；

（3）若求的取值圍，則想辦法找不等關(guān)系.

舉一反三：

[變式1]如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A．B．C．D．

[答案]連接，則是直角三角形，且，

令，則，，

即，，

所以，故選D.

[變式2]已知橢圓（）與x軸正半軸交于A點，與y軸正半軸交于B點，F(xiàn)點是左焦點，且，求橢圓的離心率.

法一：,,

∵,∴,

又,，代入上式，得，

利用代入，消得,即

由，解得,

∵,∴.

法二：在ΔABF中，∵，，

∴，即下略）

[變式3]如圖，橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,過其右焦點F作斜率為1的直線,交橢圓于A、B兩點,若橢圓上存在一點C,使.求橢圓的離心率.

[答案]設(shè)橢圓的方程為（），焦距為,

則直線l的方程為:,

由，消去得,

設(shè)點、,

則

∵＋,∴C點坐標(biāo)為.

∵C點在橢圓上,∴.

∴∴

又∴∴

[變式4]設(shè)、為橢圓的兩個焦點，點是以為直徑的圓與橢圓的交點，若，則橢圓離心率為_____.

[答案]如圖，點滿足，且.

在中，有：

∵，∴,

令此橢圓方程為

則由橢圓的定義有,,

∴

又∵，∴，，

∴∴，∴，即.

6．已知、為橢圓的兩個焦點，為此橢圓上一點，且.求此橢圓離心率的取值圍；解析：如圖，令,,,

則在中，由正弦定理，

∴，

令此橢圓方程為(),則,,

∴即（），

∴,∴,

∵,且為三角形角，

∴，∴,

∴,∴.

即此橢圓離心率的取值圍為.

舉一反三：

[變式1]已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個焦點，若橢圓上存在一點P，使，求其離心率的取值圍.

[答案]△F1PF2中，已知，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，

由余弦定理：4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos120°①

又|PF1|+|PF2|=2a②

聯(lián)立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴

[變式2]橢圓的焦點為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點分別為，若，則該橢圓離心率的取值圍是（）

Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

[答案]由得，即，解得，

故離心率.所以選D.

[變式3]橢圓中心在坐標(biāo)系原點，焦點在x軸上，過橢圓左焦點F的直線交橢圓P、Q兩點，且OP⊥OQ，求其離心率e的取值圍．

[答案]e∈[,1)

[變式4]雙曲線(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線的距離與點(-1,0)到直線的距離之和s≥c．求雙曲線的離心率e的取值圍．

[答案]直線的方程為bx+ay-ab=0．

由點到直線的距離公式,且a＞1,得到點(1,0)到直線的距離．

同理得到點(-1,0)到直線的距離．

=．

由s≥c,得≥c,

即5a≥2c2．

于是得5≥2e2．

即4e4-25e2+25≤0．

解不等式,得≤e2≤5．

由于e＞1,

所以e的取值圍是．

類型五：軌跡方程

7．已知中，,,為動點，若、邊上兩中線長的和為定值15.求動點的軌跡方程.思路點撥：充分利用定義直接寫出方程是求軌跡的直接法之一.應(yīng)給以重視

解法一：設(shè)動點,且,

則、邊上兩中點、的坐標(biāo)分別為,.

∵,

∴,

即.

從上式知，動點到兩定點,的距離之和為常數(shù)30，

故動點的軌跡是以,為焦點且,,的橢圓，

挖去點.

∴動點的軌跡方程是().

解法二：設(shè)的重心，,動點,且，

則.

∴點的軌跡是以,為焦點的橢圓（挖去點），

且,,.

其方程為().

又,代入上式，得()為所求.

總結(jié)升華：求動點的軌跡，首先要分析形成軌跡的點和已知條件的在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標(biāo)形式，建立等式，利用直接法或間接法得到軌跡方程.

舉一反三：

[變式1]求過定點且和圓:相切的動圓圓心的軌跡方程.

[答案]設(shè)動圓圓心,動圓半徑為,.

（1）動圓與圓外切時，，

（2）動圓與圓切時，，

由（1）、（2）有.

∴動圓圓心M的軌跡是以、為焦點的雙曲線，

且,,.

故動圓圓心的軌跡方程為.

[變式3]已知圓的圓心為M1，圓的圓心為M2，一動圓與這兩個圓外切，求動圓圓心P的軌跡方程.

[答案]設(shè)動圓圓心P（x，y），動圓的半徑為R，

由兩圓外切的條件可得：，.