一、引言Bayes統計起源于英國學者托馬斯.貝葉斯（ThomasBayes,1702～1761）死后發表的一篇論文“論有關機遇問題的求解”。在此論文中他提出了著名的貝葉斯公式和一些歸納推理方法，隨后拉普拉斯（Laplace,P。C.1749～1827）不僅重新發現了貝葉斯定理，闡述的遠比貝葉斯更為清晰，而且還用它來解決天體力學、醫學統計以及法學問題。之后雖有一些研究和應用但由于其理論尚不完整,應用中出現一些問題,致使貝葉斯方法長期未被接受。直到二戰后，瓦爾德(Wald,A.1902～1950）提出統計決策函數論后又引起很多人對貝葉斯研究方法的興趣.因為在這個理論中,貝葉斯解被認為是一種最優決策函數。在Savage,L.J.（1954）、Jeffreys,H.（1961)、Good，I。J(1950）、Lindley，D.V(1961）、Box,G。E.P.&Tiao,G.C。(1973)、Berger,J。O。(1985)等貝葉斯學者的努力下，對貝葉斯方法在觀點、方法和理論上不斷的完善.另外在這段時期貝葉斯方法在工業、經濟、管理等領域內獲得一批無可非議的成功應用。貝葉斯統計的研究論文與著作愈來愈多，貝葉斯統計的國際會議經常舉行.如今貝葉斯統計已趨成熟，貝葉斯學派已發展成為一個有影響的學派，開始打破了經典統計學一統天下的局面。貝葉斯統計是在與經典統計的爭論中發展起來的，現已成為統計學中不可缺少的一部分.貝葉斯統計與經典統計的主要區別就是是否利用先驗信息。貝葉斯統計重視已出現的樣本觀測值,對尚未發生的樣本觀測值不予考慮。近幾年來對貝葉斯統計的廣泛應用，使得貝葉斯統計在可靠性問題中起到越來越重要的作用。尤其是對產品的失效率以及產品壽命的檢驗中，更是離不開貝葉斯統計。本文主要是探索串聯系統和并聯系統的可靠性，以及可靠性增長模型的Bayes估計,這些都表現出了Bayes統計在可靠性中的廣泛應用。二、緒論（一)統計學及其發展歷程人類的統計活動源遠流長，自從有了數的概念，有了計數活動，就有了統計。但作為一門學科的統計學，它的出現卻晚得多。英國學者配第（W。Petty)《政治算術》一書的問世，標志著統計學的開端。概率論是統計學的重要起源之一。14世紀時，在工商業比較繁榮的意大利以及地中海岸其他地區，由于賭博游戲盛行和保險活動的萌起。人們對“機會"問題發生了興趣。但真正意義上的概率論,是從17世紀開始的.帕斯卡(B.Pascak)和費馬（P.Fermat）關于“得點問題"的討論.這奠定了概率論的基礎。早期概率論的研究中,做出重要貢獻的數學家有：萊布尼茨（G。Leibnix）,貝努利(J。Bernouli）,貝葉斯（T。Bayes)，拉普拉斯（F.Laplace），高斯（C.Gauss),貝塞爾（F.Bessel),新普森（T.Simpson)，布豐（C.deBuffon），泊松（S.Possion)等，高斯和勒讓格在誤差研究過程中，提出了有名的最小二乘法，高斯還導出了著名的正態分布曲線.隨著概率統計研究對象的不斷復雜化，統計學進入了一個由“算術"水平向“數理”階段轉化的新的發展時期。近代的統計學主要有數理統計學派和社會統計學派.隨著自然科學的快速發展和技術的不斷進步.人們對數理統計方面提出了進一步的要求,統計學越來越多地應用概率論知識。這樣，數理統計學就從統計學中分離出來自成一派。由于這一學科主要在英美等國發展起來，故又被稱為英美數理統計學派。從20世紀初到現在的數理統計時期，數理統計學發展的主流從描述統計學轉向推斷統計學.推斷統計學促使數理統計進入現代范疇，成為統計學的重要組成部分。（二)貝葉斯統計的形成與當前的研究進展統計學中有兩個主要學派：貝葉斯學派和經典學派.貝葉斯統計是在與經典統計的斗爭中發展起來的，貝葉斯統計分析往往與統計決策理論結合在一起，貝葉斯統計推斷與決策理論形成了一套完整的邏輯公理體系。貝葉斯定理既適用于離散型隨機變量，也適用于連續型隨機變量，它形成了貝葉斯統計的基本原理和統計思想.貝葉斯統計與經典統計學的最主要差別在于是否利用先驗信息,貝葉斯統計重視已出現的樣本觀察值，對尚未發生的樣本觀察值不予考慮。貝葉斯學派最基本的觀點是：任一個未知量都可看作一個隨機變量,應用一個概率分布去描述的位置狀況。由于貝葉斯統計集先驗信息、樣本信息和總體信息于一身，更貼近實際問題,并且由于在處理小樣本問題時有其獨特的優點.近年來開始在生物統計、臨床試驗、質量控制、精算、圖像分析、可靠性等領域被廣泛應用。在國防科技領域應用尤為突出：美國、前蘇聯早在60年代就把Bayes方法列為使用手冊，英國則將其列為國家標準。在我國，Bayes方法的研究起步較晚，在工程上應用很少，在戰術武器系統可靠性上的應用尚處于初步探索階段。在貝葉斯統計方面，J.O.Berger做了大量奠基性的工作。如今,貝葉斯統計無論在理論上還是在方法上，以及他們和實際的結合上，都得到了長足的發展。SamuelKotz和方開泰把貝葉斯方法應用在“SymmetricMultivariateandRelatedDistributions”。在國內，方開泰是較早從事Bayes統計理論研究的著名統計學家；另外在Bayes統計理論方面比較有影響的有華東師范大學的茹詩松教授和中國人民大學的吳喜之教授。而在Bayes方法進展上，大都集中在應用統計領域。（三)本文的工作由于Bayes學派的最基本的觀點是:任一未知量都可以看作隨機變量，可以用一個概率分布去描述,這個分布稱為先驗分布。因為任一未知量都有不確定性，而在表述不確定性時，概率與概率分布是最好的語言。關于未知量是否可以看作是隨機變量，這在經典學派和Bayes學派間爭論了很久.如今經典學派已不反對這一觀點，著名的美國統計學家Lehmann.E。L.在他的《點估計理論》一書中寫道:“把統計問題中的參數看作隨機變量的實現要比看作未知參數更合理些。”而現在兩派爭論的焦點是：如何利用各種先驗信息合理地確定先驗分布。這在有些場合容易解決，但在很多場合還是相當困難的。這時應加強研究，切不可簡單處理，草率地選用先驗分布。關于先驗分布的合理確定問題，已經成為貝葉斯學派新的研究課題。目前己經有了一些成功的方法。J.O。Berger在文獻［10]中有較為全面的敘述。本文對貝葉斯統計中先驗信息如何在實際中得以應用方面做了有益的探索：認為Bayes方法在一般的小樣本問題中應用時，通過未知參數(待估參數）的特征，(比如非負性,有限性等)選取適當的分布函數做為先驗分布,并根據情況采用合適的Bayes方法（比如多層Bayes估計），如果選取的先驗分布函數有待定參數(超參數），還要根據先驗信息對待定參數進行數值逼近，或者根據實際問題專家意見給出，這帶有主觀概率的成分.由于實際問題與理論的差異,這是允許的,也是根據實際情況所做的調整。本文通過對Bayes統計基本原理及相關知識的了解，著重用了二項分布、指數分布、威布爾分布等對Bayes統計在可靠性問題中的應用作了有益的探索。尤其是運用以上分布來檢驗系統的可靠性，以及產品的失效率是本文的重點.三、Bayes統計（一）Bayes學派的觀點貝葉斯統計是在與經典統計的爭論中發展起來的，他們爭論的問題有：未知參數是否可以看作隨機變量？事件的概率是否一定要有頻率解釋？概率是否可用經驗來確定等等。在這些問題的爭論中，貝葉斯學派建立了自己的理論和方法。近50年來,貝葉斯統計的內容越來越豐富。國際數理統計主要有兩大學派：Bayes學派和經典學派.他們之間既有共同點，又有不同點。經典統計學是基于總體信息（即總體分布或總體所屬分布族的信息）和樣本信息（即從總體抽取的樣本的信息）進行的統計推斷,而Bayes統計是基于總體信息、樣本信息和先驗信息（即在抽樣之前有關統計問題的一些信息，主要來源于經驗或歷史資料)進行的統計推斷，與經典統計的本質區別在于是否利用先驗信息。貝葉斯學派最基本的觀點是:用一個概率分布任一個未知量都可看作一個隨機變量，應去描述對的未知狀況。這個概率分布是在抽樣前就有的關于的先驗信息的概率陳述。這個概率分布被稱為先驗分布。有時還稱為先驗（Prior）。因為任一未知量都有不確定性,而在表述不確定性程度時，概率與概率分布是最好的語言.例如產品的不合格品率是未知量，但每天都有一些變化,把它看作一個隨機變量是合理的，用一個概率分布去描述它也是很恰當的.即使是一個幾乎不變的未知量，用一個概率分布去描述它的不確定性也是十分合理的.Bayes統計存在的主要問題是先驗分布問題。例如如何在具體的問題中定出“合適的先驗分布？先驗分布是一個純主觀的隨意性的東西,那還有什么科學意義?到目前為止,Bayes統計未能提出一個放之四海皆準的確定先驗分布的方法，且看來在今后也難以做到這一點,因而，這確實是Bayes統計的一個重大弱點.但在承認這一點的同時應清晰的看到，Bayes學贊成主觀概率，并不等于說可以用主觀隨意的方式去選取先驗分布，而是要求研究者對所考察的事件有較透徹的了解和豐富的經驗，甚至是這一方面的專家。事實上,對如何確定先驗分布Bayes學者做了不少的探討，并且在實用范圍內,對一些常見的分布都己得到了較好的回答。（二）Bayes公式1、三種信息隨著貝葉斯統計的興起和發展，貝葉斯統計得到了廣泛的應用。在介紹應用前，先簡單介紹一下三種信息：總體信息、樣本信息和先驗信息。(1）總體信息，即總體分布或總體所屬分布族給我們的信息,譬如，“總體是正態分布”這句話就給我們帶來很多信息:它的密度函數是一條鐘行曲線；它的一切階矩都存在；有關正態變量的一些事件的概率可以計算；由正態分布可以導出t分布和F分布等重要分布；還有許多成熟的點估計、區間估計和假設檢驗方法可供我們選用。總體信息是很重要的信息,為了獲得此種信息往往耗資巨大。美國軍界為了獲得某種新的電子元器件的壽命分布，常常購買成千上萬個此種元器件，做大量的壽命實驗，獲得大量數據后才能確認其壽命分布是什么。我國為確認國產軸承壽命分布服從兩參數威布爾分布前后液化了五年多的時間,處理了幾千個數據后才定下來的。又如保險費的確認與人的壽命密切相關,在保險業中，人的壽命分布被稱為壽命表,中國人的壽命表不同于外國人的壽命表,男人的壽命表不同于女人的壽命表，北方人的壽命表不同于南方人的壽命表，當代人的壽命表與50年前人的壽命表也是不同的，而要確定這些壽命表是一項耗資費時的工作，至今我國還缺乏這種壽命表.（2)樣本信息，即從總體中抽取的樣本給我們的信息.這是最“新鮮”的信息，并且愈多愈好。人民希望通過對樣本的加工和處理對總體的某些特征作出較為精確的統計推斷。沒有樣本就沒有統計學而言。(3）先驗信息,即在抽樣之前有關統計問題的一些信息，一般說來,先驗信息主要來源于經驗和歷史資料.先驗信息在日常生活中和工作中也經常可見，不少人在自覺或不自覺的使用它.基于上述三種信息進行的推斷被稱為貝葉斯統計學。它與經典統計學的主要區別在于是否利用先驗信息.在使用樣本信息上也是有差異的。2、貝葉斯公式在初等概率中，講述了貝葉斯公式的事件形式.這里用隨機變量的密度函數形式來敘述貝葉斯公式。依賴于參數的密度函數在經典統計中記為，它表示在參數空間={}中對應不同的分布。可在貝葉斯統計中記為先驗信息確定先驗分布，它表示在隨機變量給定某個值時,總體指標的分布.根據參數的。這樣一來，樣本和參數的聯合分布為這個聯合分布把樣本信息、總體信息和先驗信息都綜合進去了。我們的任務是要對未知數作出統計推斷.在沒有樣本信息時，人們只能據先驗分布對作出推斷.在有樣本觀察值下分解：之后，我們應該依據其中對作出推斷。為此我們需把作如是的邊緣密度函數。它與無關，或者說,中不含的任何信息。因此能用來對作出推斷的僅有條件分布。它的計算公式是(1.1)這就是貝葉斯公式的密度函數形式.這個在樣本x給定下,的條件分布被稱為的后驗分布。它是集中了總體、樣本和先驗等三種信息中有關的一切信息，而又是排出一切與無關的信息之后所得到的結果。故基于后驗分布對進行統計推斷是更為有效，也是最合理的.在是離散隨機變量時，先驗分布可用先驗分布列形式。，,表示。這時后驗分布也是離散,(1.2）假如總體X也是離散的，那只要把（1.1）或（1。2）中的密度函數看作為概率函數即可。（三）先驗分布與共軛先驗分布一般來說，先驗信息主要來源于經驗和歷史資料，這在日常生活和工作中經常遇見人們也在自覺不自覺的實用它.根據先驗信息確定先驗分布是Bayes理論的重要研究內容；先驗分布分為無信息先驗分布和有信息先驗分布兩大類。在沒有先驗信息的情況下確定的先驗分布就叫做無信息先驗分布。這是Bayes分析誕生之初就面臨的問題，是Bayes學派近30多年來獲得的重要成果之一。主要有貝葉斯假設位置參數的無信息先驗分布,尺度參數的無信息先驗分布和Jeffreys先驗分布.共軛先驗分布就是一種有信息先驗分布，一般都含有超參數，而無信息先驗分布一般不含超參數。定義3.1總體分布中的參數（或參數向量)，是的先驗密度函數，假如由抽樣信息算得的后驗密是的共軛先驗分布。度函數與有相同的函數形式，則稱應著重指出的是，共軛先驗分布是對某一分布中的參數而言的，離開了指定的參數及其所在的分布去談共扼先驗分布是沒有意義的。共軛先驗分布在許多場合被采用，它主要有兩個優點：（1)因為先驗分布和后驗分布屬于同一個分布族，計算方便.(2)后驗分布使得一些參數可以得到很好的解釋。常用的共軛先驗分布表1總體分布參數共軛先驗分布二項分布成功概率貝塔分布Be（）伽瑪分布Ga（）泊松分布指數分布均值均值的倒數均值伽瑪分布Ga（）正態分布N(正態分布(方差已知）正態分布（均值已知））倒伽瑪分布IGa(方差（四）似然原理似然原理是統計學規范中大家都應遵守的公理。是統計學最一般的基礎原理.似然原理的核心概念是似然函數，對似然函數和對聯合概率密度的理解是這樣的：如果是來自總體x的一個樣本，x的密度函數是那么其乘積(1.3）（1）當給定時，是樣本x的聯合密度函數。（2）當樣本x的觀察值給定時，是未知參數的函數，是似然函數，記為.似然函數強調：它是的函數，而樣本x在似然函數中只是一組數據或一組觀察值。所有與試驗有關的信息都被包含在似然函數之中,使大的比使小的更“像"是的真值.在在參數空間達到最大的稱為最大似然估計，假如兩個似然函數成比例，比例因=特別地，使子又不依賴于，則它們的最大似然估計是相同的，這是由于兩個成比例的似然函數所含的的信息是相同的，假如我們對采用相同的先驗分布，那么基于x對所做的后驗推斷也是相同的.在貝葉斯學派看來，似然原理可以概括為以下兩點：（1)有了觀測x之后，在做關于的推斷時,所有與實驗有關的信息均被包含在似然函數之中。（2)如果有兩個似然函數是成比例的,比例常數與無關，則它們關于含有相同的信息。（五）Bayes估計1、點估計（1）點估計設是總體分布取一先驗分布中的參數，從總體隨機抽取一樣本，用貝葉斯算得后驗分布，根據的先驗信息。作為的估計可選用后驗分布的某個位置特征量,如眾數、中位數或期望值等。定義3.2使后驗分布達到最大的值稱為的最大后驗估計；后驗分布的中位數稱為的后驗中位數估計;后驗分布的期望值稱為的后驗期望估計，這三個估計都稱為的貝葉斯估計，記為。可根據實際情況選用其中的一估計。（2）貝葉斯估計的誤差設是的一個貝葉斯估計，評定Bayes估計的精確常用后驗均方差(或其平方根），具體定義如下：定義3.3設參數的后驗分布為，貝葉斯估計為，則的后驗期望稱為的后驗均方差,而其平方根時,則稱為的后驗標準差.當為的后驗期望稱為后驗方差，其平方根稱為后驗標準差。而且=可見，當時,后驗均方差達到最小.本文就在后驗均方差達到最小的準則下，取后驗均值作為參數的貝葉斯估計值.2、區間估計定義3.4設參數的后驗分布為，對于給定的樣本和，若存在統計量則稱區間和滿足:為參數置信水平為的貝葉斯雙側區間估計。滿足：的的稱為的置信水平為的（單側)置信下限。而滿足：稱為的置信水平為的（單側)置信上限。對于區間估計，經典統計與貝葉斯統計存在本質的區別。在經典統計中，把參數看成是一個常數，在尋求置信區間時要構造一個分布不含未知參數的樞軸量，這一點比較困難，而且在解釋置信水平和置信區間時也產生困難。而在貝葉斯統計中,把參數看成是一隨機變量,在尋求置信區間時直接從后驗分布推導即可，而且很自然的可把置信水平為的置信區間解釋為參數落入這一區間的概率為。因此，在區間估計問題上，貝葉斯方法具有處理簡單和含義清晰的優點。四、可靠性統計分析(一）可靠性可靠性是衡量產品在規定的條件和規定的時間內完成規定功能的能力。可靠性技術從開始應用于航天、航空、電子、核能工業中，發展到機械、電氣、冶金、儀器儀表等民用工業部門，可靠性理論和方法經過四十多年的建立和發展的歷程,今天已成為一門重要的新興學科。可靠性學科主要包括可靠性數學、可靠性物理和可靠性工程。可靠性數學為可靠性理論的基礎。在概率論和數理統計基礎上建立起來的可靠性概率模型和統計模型方法是可靠性研究的兩個主要數學方法.可靠性數學中概率分布模型的原理是從系統的結構及部件的壽命分布、修理時間分布等有關的信息出發，對不同結構的系統、設備、零件、材料等可靠性研究對象建立概率模型，并藉以推斷出與壽命分布有關的可靠性定量指標，由此進一步討論系統等的最優設計，使用維修策略等。可靠性數學中數理統計模型及方法，即從觀測數據出發，通過分析、整理壽命試驗數據，確定各部件或系統適合分布的類型，進行分布參數估計，并檢驗壽命分布的確定性。各種概率模型與統計模型的建立,均可采用解析方法及MonteCarlo模擬兩種手段，且運用經典、貝葉斯等不同學派的不同觀點及方法來實現。可靠性物理就是以研究失效機理為核心,通過建立物理模型和概率模型，將材料元器件失效的微觀本質與宏觀的統計規律相結合的新的可靠性研究方法。可靠性工程主要包括可靠性設計技術,可靠性評定技術,可靠性試驗方法和可靠性管理。可靠性評定是根據產品的可靠性結構(即系統與部件之間和可靠性關系如串聯、并聯系復雜關系等),壽命及維修模型，試驗信息等，利用概率統計方法，給出產品可靠性特征量的區間估計、點估計及優化結果。（二）貝葉斯在可靠性的應用現狀貝葉斯可靠性分析就是將貝葉斯統計方法應用于可靠性問題中，所考慮的參數認為是隨機變量，其先驗分布表達了對參數的先前的信念程度。貝葉斯統計方法在可靠性中的應用，一直受到廣泛關注。早在60年代，就已有人將貝葉斯方法用于可靠性統計分析，到了80年代已有這方面的專著，系統而詳盡地總結可這一方向的工作。Martz&Waller詳盡回顧了1982年以前貝葉斯在可靠性中的應用,他們認為,貝葉斯方法在可靠性中的應用具有以下優點：（1）如果驗前信息準確，貝葉斯推斷更準確；（2)可以減少測試時間和樣本量，即貝葉斯方法適用于小樣本情況；(3）在貝葉斯統計推斷中,不能接受的推斷是來自不準確的假設（即不準確的驗前信息)，而不是有問題的方法論；(4）可靠性特征函數的貝葉斯概率區間比經典置信限易于求得和理解.貝葉斯方法在可靠性中的應用，一是應用于可靠性評定，二是應用于可靠性試驗。可靠性評定是根據產品的可靠性結構（即系統與單元間的可靠性關系）、壽命模型及試驗信息，利用概率統計方法,給出產品可靠性特征量的點估計和區間估計，如可靠性上限、失效率上限等。可靠性試驗的目的是確認產品是否符合合同規定的可靠性定量要求，發現產品可靠性薄弱環節及提供產品的可靠性信息；是在產品研制生產階段提高產品可靠性的必要工作項目。可靠性試驗從統計的觀點看,可以分為兩類:成敗型與連續型。成敗型的試驗就是每次試驗只有兩個可能的結果:成功或失敗。例如衛星發射試驗，只有成功與失敗這兩個可能的結果，有如打靶只有打中與打不中這兩個結果。連續型往往是與壽命試驗相聯系，試驗的結果是樣品的失效時刻,即樣品使用可多長時間發生失效，因此觀測到的是n個樣品中第i個失效的時刻，顯然一定有關系式：成敗型試驗往往與二項分布有關，連續型試驗往往與威布爾分布、對數正態分布、極值分布有關.在可靠性分析中,常用的壽命模型有二項分布、指數分布、Weibull分布、Poisson分布、對數正態分布等。可靠性統計分析提出了不少統計學中的新問題，它的主要特點是兩個；一是數據少，因為試驗費用達，能得到的數據很少，樣本量小到可以只有一、二次試驗的結果；二是數據不完全，因為可靠性試驗往往與使用的時間長短有關，不可能長期進行試驗而不結束,這就使得數據分析比較困難。并且可靠性統計分析的對象大都是比較精密、昂貴的設備,能做的試驗少,數據來之不易。但是貝葉斯方法正好可以利用經驗的知識減少試驗的量，這就使得可靠性統計分析中越來越多的人對貝葉斯方法產生了興趣。（三）常用分布1、二項分布成敗型試驗最常用到的是二項分布，如果我們進行了n次獨立試驗，每次試驗結果只有成功與失敗這兩種可能的結果，成功的概率不隨試驗次數改變，是一個參數,于是n次試驗中恰好成功次的概率就是二項分布，即假定用共軛分布作為的先驗分布，則的后驗分布為，其中k是n次試驗中成功的次數。可靠性統計分析不是只求一個點估計,而更為重要的是求出相應的置信限或下置信限。由于分布與F分布有密切的聯系，我們可以由F分布表給出相應的置信限，這里需要如下一個定理。定理4.1設由于k，n均為自然數,因此只要共軛分布中的a與b選成自然數，上述定理的條件自然滿足,這樣就可以用F分布給出的置信限。選定作為先驗分布，則參數的后驗密度是，即就得到的置信下限及置信上限分別是容易看出，如果要求單側的置信下限或置信上限,只需在與的表示式中將換成就可以了。例：設對一批產品進行抽樣檢查，抽了5件，3件合格，2件不合格,即有n=5,k=3。又從這批產品生產的工廠中,了解到近期檢查過10件，有9件合格，1件不合格，即可以認為=10，=9,于是“不合格品率”，相應的后驗分布為=.選后,要求出的上、下置信限與，就必須查F表，此時相應的，因此要查這四個值，才能算出雙側的和單側的置信限。然而通常的F表上,只能查到,，另外兩個查不到。一般的用1/2.82和1/3.84分別代另外兩個值，然后進行計算。于是分別算出四個值如下:的雙側置信限的單側置信限這樣我們就給出了一個完整的例子。2、指數分布現在考慮指數分布的可靠性統計分析.指數分布的分布函數是后才失效的概率是,當時,,當指定時間為T,則在T以，它就是在指定時間內完成任務的可靠度，這是一個重要的參數.設對n個樣品進行了試驗，測得前個失效的時刻是，問如何進行估計？首先要求出這個次序統計量的聯合密度。它們的聯合密度與截尾的方式有關，對于定數截尾試驗,的聯合密度是及，其中f（t）是F(t)相應的分布密度。將,t>0代入上式，得似然函數為，現在選用幾個不同的先驗分布，看看所得的結論有多大的差別。(1）杰弗萊準則今似然函數的對數是其中c是一個常數。因此于是信息量.這樣先驗密度，相應的后驗密度是它正好是。由此可得點估計（2)共軛分布從似然函數就可以知道，的相應的共軛先驗分布是密度是，選定與后,對的后驗此時點估計是，與的統計意義是十分明顯的，它相對于過去做了試驗，相對于總的有效時間，是失效數，把這組數據與現在的結果合并，總的失效數是，總的使用時間是，于是平均失效率是，它的倒數是平均故障時間。現在來討論如何估計可靠度后驗分布時，就可以求得，它的對數是的線性函數,因此知道了的或對應的后驗分布，從而給出的點估計或區間估計.3、威布爾分布(1)威布爾分布威布爾分布是在1939年由瑞典人威布爾為了描述材料的疲勞程度而提出的.在應用概率統計和可靠性分析中，威布爾分布是最廣泛使用的模型，許多類型的產品，在涉及壽命問題時都廣泛提倡用威布爾分布.Kececioglu給出了該模型的一系列實際應用，如電子管、繼電管、電容器等的失效時間，受疲勞應力的固體失效,汽車前懸橫梁的失效等的壽命分布。在生物醫學上，威布爾分布也被廣泛的應用.兩參數威布爾分布的分布函數是：（）其中為形狀參數，為特征壽命。相應的可靠度函數為:失效率函數為:顯然，當時,遞增,時，遞減，而時，即為指數情形。(2)壽命試驗數據的基本類型在工程和生命醫學許多研究中，由于種種條件的限制，象試驗時間、費用等，不可能獲得完全樣本。特別是隨著科學技術的迅猛發展,產品的可靠度得到很大的提高，不可能將試驗做到所有的元件都失效。在此情況下,我們只能采用截尾的方式得到一組不完全樣本。截尾就是指被觀測體中只有一部分的壽命確切知道，而剩余部分的壽命只知其超過某一特定值.基本類型如下:1、定數截尾n個獨立同型產品從t=0開始進行壽命試驗，試驗在固定時刻終止,若在規定的時間內有個失效，則獲得的壽命數據2、定時截尾n個獨立同型產品從t=0開始進行壽命試驗，試驗在固定的時刻終止，若在規定的時間內有個失效，則獲得的壽命數據3、隨機截尾設獨立同分布，截尾時間是隨機的，假定只能觀測到其中為常數。上式表明若,則第個產品在后失去觀察。五、基于Bayes統計的可靠性分析應用（一)引言可靠性統計分析的一大應用是評定系統的可靠性。當然最方便的辦法是拿整個系統進行試驗，根據試驗結果作出評定,這在實際上是難以辦到的。通常的方法是對元件進行試驗，然后根據:（1)元件試驗的結果；(2）系統與元件之間的關系,然后對系統可靠性作出評定。本節只是簡單扼要的介紹一下這方面的內容.我們只引入元件與系統這兩個概念，不再分很多層次,如元件、部件、子系統、系統等等，實際上每兩個相繼的層次均可視為元件、系統這樣兩層結構，所以只需討論清楚這一類的問題.系統是由元件組成的，但其結構往往很不相同，最重要的是這里所談的結構是指從可靠性的聯系來討論它的結構。由于可靠性技術與電子工業的發展有密卻的聯系，因此很多術語都是從電子工業來的，但不能狹隘的理解為就是電子工業的術語。（二)一種系統可靠性模型若一系統由n個元件組成,其中一個失效就導致系統失效，并且n個元件是獨立工作的，這樣的系統就稱為n個獨立元件組成的串聯系統。如系統可靠度R(t)表示t時刻以前系統有效的概率,時刻以前有效的概率,則有關系式表示第i個元件t（5。1)若一系統由n個元件組成，其中一個有效就導致系統有效,并且n個元件是獨立工作的,這樣的系統就稱為n個獨立元件組成的并聯系統.用剛才規定的符號,就有（5。2）如果用表示，即系統的不可靠度，類似地，則(5.2）可以改寫成（5。3)比較(5.1）與（5。3)兩式，馬上就可以看到，串聯系統中的可靠度若均改為不可靠度,相應的關系式就是并聯系統的關系式，因此以下只需討論n個獨立元件的串聯系統.如果從元件的試驗結果已經估計出各個元件的可靠度是，于是系統的可靠度的估計值由獲得.然而元件可靠度往往是由參數估計值利用關系式算得的,此時我們可以直接從參數的估計值算出系統相應參數的估計值，然后再得出可靠度.以指數分布為例：第i個元件的可靠度，其中是第i個元件相應的實效率參數，由(5。1)得系統可靠度(注意到獨立性）其中。這表明系統可靠度還是指數分布，其相應的參數，因此用的估計值，就可以算得的估計值，由可以求得可靠度葉斯方法。。這樣沒有使用貝葉斯方法，現在來看如何使用貝假定每個元件都用共軛先驗分布第i個元件的試驗結果為失效次數，失效后立即修復，總的試驗時間為,于是于是（5。4）我們看一個數字的例子。設有四個元件，在試驗過程中有三個階段報告，其結果如表5。1試驗報告表表5.1報告順序元件號1失效數02試驗時間2032001005001230115002015031010154020010040如果先驗分布中各元件的參數已知為表5.2，元件參數表表5。2元件號123640.0099（0.01）0。021。250180100090那么用（5。4）可以根據各次試驗的結果逐步調整。如果不使用報告的資料，此時，因此（考慮1單位時間的可靠度）以調整后的信息作為先驗信息，于是可以根據第二階段報告再調整,根據第三階段的報告再調整，這樣獲得最終的估計值,這里不再計算.現將這三個報告分頭同時處理，根據同一個先驗分布各自用（5。4)調整，所得結果如表5。3試驗結果表表5。3報告號1230.017870。017920。13960。98230。98220。9861將這三個結果與逐次調整后的結果再加以比較，就可以對可靠性的變動情況有一具體的印象。隨著逐次的調整可以看到,最后的估計值可靠度是最大的。這說明調整后的最終值比較可信.(三）一種可靠性增長模型的Bayes估計1、引言假定X和Y為兩個隨機變量，分別有累計分布函數F(x)和F(y)。如果設X為系統的強度,Y為負荷,則可靠性為R=P（X<Y).例如，X可以是固體火箭燃燒室的壓力，Y為燃燒室可承受的壓力，這時只有X<Y，火箭發動機才不會爆炸;這時R為其正常工作的概率.我們稱僅有一個元件的系統為簡單系統，否則成為復雜系統。如果有P個元件的系統運行的充要條件是至少有k個元件正常，則該系統稱為k/p系統(koutofpsystem)。特別地,在k=p時稱為串聯系統,k=1時為并聯系統.在可靠性增長模型中，一般要進行若干階段試驗，且在每一階段試驗得到改進后，再進行下一階段試驗，在成敗型試驗中，對于那些成功率很高而試驗費用昂貴的產品，試驗次數不可能很多,因此,經過多次試驗改進后，失效的試驗數據可能是0或1。我們關心的是產品最后試驗階段的可靠性(或成功率）.但只用最后階段的試驗數據對產品的可靠性進行估計，顯然是不恰當的，這里提到把最后試驗階段以前的試驗數據作為先驗數據再結合最后階段的試驗數據,采用多次Bayes估計法做統計分析.2、可靠性增長模型的Bayes估計（1）傳統的Bayes方法假設每以階段都抽出n件產品做試驗，其失效率分別記為和.每一階段的失效率（失敗（k，p最后階段的失效數和失效率）。傳統的Bayes方法是用共軛分布的先驗分布,逐階段進行估計。率)分別為作為設,則后驗分布密度為再把作為的先驗分布，同樣得到，依次進行下去，得到在平方損失下,的Bayes估計為:從式中可以看出,每一階段的失效數據在中起的作用是同等的實際上，越是最初階段，其重要性越低，而最后階段的試驗數據最重要。傳統的方法沒有體現這種情況。特別是在失效數據很少的情況下，更顯得不足.所以，這里提出的一種方法是在最后階段用Bayes方法進行處理，我們用其余階段的數據作為先驗數據來確定的先驗分布。（2）的Bayes估計設p在內變化，用Bayes方法假定，即所以,式(2)，（3）關于遞增.這說明越小，失效率的估計就越小。通常的Bayes法假設,取但由于產品的失效率很低，故p的先驗取值范圍不可能接近于1，而應比1小得多，p的先驗取值范圍可能用最后階段以前的試驗數據來確定。（3）的選取為了選取適當的我們來利用先驗數據.取共軛分布作為先驗分布，逐階段采用Bayes方法，可得其中：。我們又設，由于，都是正整數,所以得：令，就有：給定置信度，，可得的置信上限為（4)由（4)式表明，在最后階段試驗前,失效率落入(0,）的概率是.所以把(0,)作為的先驗取值范圍,即取。這樣,就得到最后階段產品的失效率的估計為而（四)威布爾分布的可靠性驗證試驗1、引言在生產商和使用方簽定訂購合同時，都有對產品的可靠性指標的要求，譬如在一定的置信水平下，產品的可靠度要符合一定的要求,同時雙方要協商一種驗證試驗方案。如果該試驗通過雙方可斷言該產品的可靠性指標符合合同中的規定，為減少試驗時問和費用，常采用無失效試驗,即已知產品的可靠壽命分布，假如要求產品的某個可靠性指標達到某種要求，那么產品無失效的試驗時間應多長？這屬于可靠性驗證問題。可靠性驗證試驗綜合考慮生產商和用戶的利益,以及試驗費用等諸多因素，在可靠性工程中具有重大的實際應用價值.MartzandWaller以失效率作為考核指標，用Bayes方法討論了指數壽命型的可靠性驗證問題。何基報和茹詩松以平均壽命作為考核指標，討論了對數正態壽命型的可靠性驗證問題。本文將利用Bayes方法，以可靠度作為考核指標,討論威布爾壽命型的可靠性驗證試驗問題。問題的提出:設某種產品的壽命服從威布爾分布），其分布函數為（隨機的從中抽取個產品進行定時截尾試驗，截尾時間為t，失效數為r.對于給定的，可靠性驗證問題指標為（5.5）其中表示無產品失效，表示置信水平，為可靠性驗證指標。問題是如何確定無失效試驗時間?即確定截尾時間t使得（5.5）式成立。（5。5）式只是從使用方的角度考慮的,本文同時兼顧到生產方的利益，分以下兩種情況設計可靠性驗證試驗方案。1、已知,未知；2、，均未知。2、已知，未知時的可靠性驗證試驗設產品的壽命服從威布爾分布，其中已知，未知,則可靠度函數為:（5.6）若令，則(5。5）式等價于（5。7）（1）的后驗分布取的共軛先驗分布，其中,其值可由專家給出。即：(5。8）n個產品進行定時截尾試驗，截尾時間為t，則失效數服從二項分布。在無失效的情況下，的似然函數為:(5。9)其中。由（5.8）和(5.9）兩式，根據貝葉斯公式，的后驗密度為（5.10）定理5.1證明形如（5。10）式的的后驗密度是的減函數.證明（5.10）兩端對求導得:=顯然,當時，,所以，命題成立.（2）截尾時間的確定因可靠度函數是的單調遞減函數，故可靠性驗證問題（5。5）式可變為根據的后驗密度(5.10)式得：（）（5.11）可見,(5.11)式是關于t的方程。對于給定的,即可求得t值.從上面的驗證試驗中可看出水平只考慮了使用方的利益，從生產方的角度考慮，則希望在t時間內n個產品在無失效場合下的無條件概率越大越好.若此概率過小，也就是說在受試時間內發生無失效的概率很小,生產方是難以接受的，這時生產方和使用方可進行協商，適當的調整，再從（5.11)式求出t值，計算，直到求出的t值同時滿足使用方和生產方的要求為止，即求出的t值使得的值達到使用方可接受的范圍，同時使得無條件概率的值達到生產方可接受的范圍，這時t值就是試驗中的截尾時間.當已知，未知時的無條件概率=（5.12)綜上所述，通過（5。11)和(5.12)兩式，綜合考慮生產方和使用方的利益，適當的調整直到雙方都可接受為止，這時求得的值就是該驗證試驗中的截尾時間。直觀上要增大無條件概率必須適當的縮短截尾時間t,實際上這一點從(5.12)式很容易看出,分析（5.11)式要使t減小，值須減小。（3)可靠性驗證試驗方案的具體步驟1、先確定的后驗分布密度；2、對于給定的，用（5。11）式解出t值；3、把第二步中解出的值帶入(5.12）中，計算無失效概率，若此概率過小達不到生產方可接受的范圍，則在使用方允許的范圍內適當的調整