2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．2．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．3．已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到5．設(shè)雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作平行的一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與交于點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C．5 D．66．已知函數(shù)，若，則下列不等關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．7．已知定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)（），則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為（）A．2 B．4 C．5 D．68．在很多地鐵的車(chē)廂里，頂部的扶手是一根漂亮的彎管，如下圖所示．將彎管形狀近似地看成是圓弧，已知彎管向外的最大突出(圖中)有，跨接了6個(gè)坐位的寬度()，每個(gè)座位寬度為，估計(jì)彎管的長(zhǎng)度，下面的結(jié)果中最接近真實(shí)值的是（）A． B． C． D．9．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．10．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．32011．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．12．半正多面體(semiregularsolid)亦稱(chēng)“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形為面的半正多面體.如圖所示，圖中網(wǎng)格是邊長(zhǎng)為1的正方形，粗線(xiàn)部分是某二十四等邊體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在四棱錐中，底面為正方形，面分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)的平面交棱于點(diǎn)，則四邊形面積為_(kāi)_________.14．已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離為2，則15．設(shè)復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則_________.16．若向量滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，的垂直平分線(xiàn)交于、.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.（1）求的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）求證：.18．（12分）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且，為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)．（1）求證：無(wú)論實(shí)數(shù)取何值，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并證明．20．（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點(diǎn)，使面，若存在確定點(diǎn)位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.22．（10分）將棱長(zhǎng)為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一元二次不等式的解法，集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.2．C【解析】

由每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和在遞增，而在遞減.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查常見(jiàn)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬基礎(chǔ)題.3．A【解析】

依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)，再求出，利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻恳?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2，則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。4．D【解析】

由可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，所以C正確；由的圖象向左平移個(gè)單位，得，所以D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí)，是一道中檔題.5．A【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出過(guò)點(diǎn)與的一條漸近線(xiàn)的平行的直線(xiàn)方程，通過(guò)解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中：，因此右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：，根據(jù)雙曲線(xiàn)和漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)作平行的一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與交于點(diǎn)，所以直線(xiàn)的斜率為，因此直線(xiàn)方程為：，因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組：的解，解得方程組的解為：，即，所以的面積為：.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的應(yīng)用，考查了兩直線(xiàn)平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6．B【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增，且，∴.∵的符號(hào)無(wú)法判斷，故與，與的大小不確定，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；對(duì)B，對(duì)，則，故B正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得：的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由函數(shù)圖像的作法可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿(mǎn)足，可得的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)且關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)（）的圖像也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，函數(shù)的圖像與函數(shù)（）的圖像的位置關(guān)系如圖所示，可知兩個(gè)圖像有四個(gè)交點(diǎn)，且兩兩關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則與的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為4.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8．B【解析】

為彎管，為6個(gè)座位的寬度，利用勾股定理求出弧所在圓的半徑為，從而可得弧所對(duì)的圓心角，再利用弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】如圖所示，為彎管，為6個(gè)座位的寬度，則設(shè)弧所在圓的半徑為，則解得可以近似地認(rèn)為，即于是，長(zhǎng)所以是最接近的，其中選項(xiàng)A的長(zhǎng)度比還小，不可能，因此只能選B，260或者由，所以弧長(zhǎng).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)公式，需熟記公式，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿(mǎn)足條件的情況，由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.10．C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開(kāi)式求得的系數(shù)，再求的展開(kāi)式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．12．D【解析】

根據(jù)三視圖作出該二十四等邊體如下圖所示，求出該幾何體的棱長(zhǎng)，可以將該幾何體看作是相應(yīng)的正方體沿各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，可求出其體積.【詳解】如下圖所示，將該二十四等邊體的直觀圖置于棱長(zhǎng)為2的正方體中，由三視圖可知，該幾何體的棱長(zhǎng)為，它是由棱長(zhǎng)為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得到的，該幾何體的體積為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，幾何體的體積，對(duì)于二十四等邊體比較好的處理方式是由正方體各棱的中點(diǎn)得到，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)是中點(diǎn)，由于分別是棱的中點(diǎn)，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形.由于平面，所以，而，，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四邊形是矩形.而.從而.故答案為：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計(jì)算，考查線(xiàn)面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.14．【解析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).15．.【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】∵復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，∴，∴，故而可得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1），；（2）見(jiàn)解析.【解析】

（1）將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程變形為，再由可將曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線(xiàn)的方程與曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，即可得出線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求得，寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，將直線(xiàn)的參數(shù)方程與曲線(xiàn)的普通方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】（1）曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程可化為，即，將代入曲線(xiàn)的方程得，所以，曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為.將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點(diǎn)、，因此，線(xiàn)段的中點(diǎn)為；（2）由（1）得，，易知的垂直平分線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線(xiàn)參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，并確定的取值范圍；利用，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達(dá)式，采用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，的值域的求解問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.【詳解】（1），，為等邊三角形，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，可得，，．②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得：，，，．，，，，面積．令，則，，令，則，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，．綜上所述：四邊形面積的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問(wèn)題.19．（1）見(jiàn)解析，（2）函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式即可求出切線(xiàn)方程，根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】所以直線(xiàn)方程為即，恒過(guò)點(diǎn)將代入直線(xiàn)方程，得考慮方程即，等價(jià)于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理，屬于難題.20．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿(mǎn)足即可，從而得到點(diǎn)E為中點(diǎn);（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【詳解】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－XYZ，由題意知PD＝CD＝1，，設(shè)，，，由，得，即存在點(diǎn)E為PC中點(diǎn).（2）由（1）知，，，，，，設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線(xiàn)與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．21．（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進(jìn)而可推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，以、、所在直線(xiàn)分別