第一章三角形的證明第一章考點分析考查意圖

三角形的證明是屬于數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中《圖形與幾何》部分的重要內(nèi)容，在日常測試及中考中，常以填空、選擇、證明、計算及綜合題考查學(xué)生對于三角形全等、等腰三角形、勾股定理及其逆定理的掌握．試卷以雙基為主，考查學(xué)生對于基本知識點的理解及基本解題思路的掌握，重點在于培養(yǎng)學(xué)生對幾何題的分析能力和邏輯推理能力．

思想方法分類討論數(shù)形結(jié)合考點分析考三角形的證明是屬于數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中《圖第一章|復(fù)習(xí)知識歸納1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)(1)：等腰三角形的兩個底角________．性質(zhì)(2)：等腰三角形頂角的_________、底邊上的________、底邊上的高互相重合．2．等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°3．等腰三角形的判定(1)定義：有兩條邊_____的三角形是等腰三角形．(2)等角對等邊：有兩個角________的三角形是等腰三角形．相等相等相等

平分線中線第一章|復(fù)習(xí)知識歸納1．等腰三角形的性質(zhì)相等相第一章|復(fù)習(xí)4．等邊三角形的判定(1)有一個角等于60°的______三角形是等邊三角形；(2)三邊相等的三角形叫做等邊三角形；(3)三個角相等的三角形是等邊三角形；(4)有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形．等腰

第一章|復(fù)習(xí)4．等邊三角形的判定等腰第一章|復(fù)習(xí)5．直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)(1)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的_________；性質(zhì)(2)：直角三角形的兩個銳角互余．判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．6．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的_______．逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是_________三角形．一半平方

直角

第一章|復(fù)習(xí)5．直角三角形的性質(zhì)及判定一半平方第一章|復(fù)習(xí)7．線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離_______．判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的_____________上．[點撥]線段的垂直平分線可以看作和線段兩個端點距離相等的所有點的集合．8．三角形三邊中垂線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于_______，并且這一點到三角形三個頂點的距離________．相等垂直平分線

相等

一點

第一章|復(fù)習(xí)7．線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及判定第一章|復(fù)習(xí)9．角平分線的性質(zhì)定理及判定定理性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離_________．判定定理：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊________相等的點在這個角的平分線上．[注意]角的平分線是在角的內(nèi)部的一條射線，所以它的逆定理必須加上“在角的內(nèi)部”這個條件．10．三角形三條角平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離_________．相等

距離

相等

第一章|復(fù)習(xí)9．角平分線的性質(zhì)定理及判定定理相等考點攻略?考點一線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用例1

如圖1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于點E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，則∠BCE＝________.50°

[解析]根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，得EA＝EC，所以∠A＝∠ACE＝30°.又因為∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.圖1－1考點攻略?考點一線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖1－1，第一章|復(fù)習(xí)[方法技巧]若題目中出現(xiàn)或經(jīng)過構(gòu)造出現(xiàn)線段垂直平分線，注意利用“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”解決問題。同時，在求一些邊長、周長或角的度數(shù)時，如果能恰當(dāng)?shù)剡\用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以大大簡化解題過程，同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要注意到這一點！第一章|復(fù)習(xí)[方法技巧]第一章|復(fù)習(xí)例2?考點二：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用圖1－2第一章|復(fù)習(xí)例2?考點二：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用第一章|復(fù)習(xí)第一章|復(fù)習(xí)[方法技巧]

與全等三角形有關(guān)的開放型試題形式多樣，設(shè)計新穎，能培養(yǎng)同學(xué)們的逆向思維能力、創(chuàng)新能力和綜合運用知識的能力。解答條件開放型試題，需要執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結(jié)論成立的條件。同時要注意挖掘圖形中的隱含條件，如對頂角、公共角、公共邊等，然后合理選擇全等三角形的知識解決。另外，要注意這類題的答案往往不唯一，只要合理即可。[方法技巧]第一章|復(fù)習(xí)例3圖1－3?考點三勾股定理的應(yīng)用[解析]這個有趣的問題是勾股定理的典型應(yīng)用，此問題看上去是一個曲面上的路線問題，但實際上能通過圓柱的側(cè)面展開而轉(zhuǎn)化為平面上的路線問題，值得注意的是，在剪開圓柱側(cè)面時，要從A開始并垂直于AB剪開，這樣展開的側(cè)面是個矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解決此問題．第一章|復(fù)習(xí)例3圖1－3?考點三勾股定理的應(yīng)第一章|復(fù)習(xí)圖1－4[方法技巧]利用勾股定理解決最短路線問題的實質(zhì)是解決旋轉(zhuǎn)體的問題，也是把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，即將原圖形的側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面圖形——即“展曲為平”問題，特別要注意圓柱、圓錐的側(cè)面展開問題。這種由三維立體和二維平面的相互轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)下的素質(zhì)教育對學(xué)生空間想象能力、圖形識別能力及理解能力的要求，是考查空間觀念和嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真態(tài)度的很好題型。第一章|復(fù)習(xí)圖1－4[方法技巧]利用勾股定理解決

例4、已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F，且DE=DF.求證：△ABC是等腰三角形.EFCDAB

分析：要證△ABC是等腰三角形，可證∠B=∠C.反思：1、證明△ABC是等腰三角形的基本思路是什么？

2、點D在∠BAC的角平分線上嗎？為什么？?考點四等腰三角形的判別例4、已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點

例5.已知：如圖，P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D．求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線．證明：(1)∵P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB∴PC=PD在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)．∴OC=OD(全等三角形對應(yīng)邊相等)．PDAECOB(2)又∵

OP是△OCD中∠AOB的角平分線，∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)．?考點五：線段的垂直平分線和角平分線例5.已知：如圖，P是∠AOB平分線上的一點，PCD針對訓(xùn)練3．以下命題中，是真命題的是(

)A．兩條直線只有相交和平行兩種位置關(guān)系B．同位角相等C．兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等D

CD針對訓(xùn)練3．以下命題中，是真命題的是()D4．下列說法中，正確的是(

)A．等腰三角形一邊上的中線也是這邊上的高B．等腰三角形的內(nèi)角平分線的交點到三個頂點的距離相等C．等邊三角形每條角平分線都平分對邊D．直角三角形一邊上的中線等于這邊的一半C

5．如圖1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE是AB的中垂線，垂足為點D，交BC于點E，若BE＝4，則AC＝_____．2

4．下列說法中，正確的是()C5．如圖1－11，在Rt6．在直角三角形中，一條直角邊長為a，另一條邊長為2a，那么它的三個內(nèi)角之比為(

)A．1∶2∶3B．2∶2∶1C．1∶1∶2D．以上都不對7．如圖1－10，△ABC中，∠ACB＝90°，BA的垂直平分線交CB邊于點D，若AB＝10，AC＝5，則圖中等于60°的角的個數(shù)為(

)A．2B．3C．4D．5D

D

圖1－106．在直角三角形中，一條直角邊長為a，另一條邊長為2a，那么8、如圖∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC＝2，則PD的長度為(

)A．4B．3C．2D．1

D8、如圖∠BOP＝∠AOP＝15°，PC∥OB，PD⊥PB于A

9、A9、階段綜合測試一（月考）10B

小明原有60元，如圖YK1－4記錄了他今天所有支出，其中餅干支出的金額被涂黑．若每包餅干的售價為6元，則小明可能剩下多少元(

)A．12

B．4C．8

D．2圖YK1－411如圖YK1－5，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點E，過點E的直線交AB，AC于點M，N，若BM＝ME，則CN與EN的關(guān)系是(

)A.CN＝ENB．CN>ENC.CN<END．無法確定圖YK1－5A

階段綜合測試一（月考）10B小明原有60元，如圖YK1－412、12、第一章三角形的證明第一章考點分析考查意圖

三角形的證明是屬于數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中《圖形與幾何》部分的重要內(nèi)容，在日常測試及中考中，常以填空、選擇、證明、計算及綜合題考查學(xué)生對于三角形全等、等腰三角形、勾股定理及其逆定理的掌握．試卷以雙基為主，考查學(xué)生對于基本知識點的理解及基本解題思路的掌握，重點在于培養(yǎng)學(xué)生對幾何題的分析能力和邏輯推理能力．

思想方法分類討論數(shù)形結(jié)合考點分析考三角形的證明是屬于數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)中《圖第一章|復(fù)習(xí)知識歸納1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)(1)：等腰三角形的兩個底角________．性質(zhì)(2)：等腰三角形頂角的_________、底邊上的________、底邊上的高互相重合．2．等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于60°3．等腰三角形的判定(1)定義：有兩條邊_____的三角形是等腰三角形．(2)等角對等邊：有兩個角________的三角形是等腰三角形．相等相等相等

平分線中線第一章|復(fù)習(xí)知識歸納1．等腰三角形的性質(zhì)相等相第一章|復(fù)習(xí)4．等邊三角形的判定(1)有一個角等于60°的______三角形是等邊三角形；(2)三邊相等的三角形叫做等邊三角形；(3)三個角相等的三角形是等邊三角形；(4)有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形．等腰

第一章|復(fù)習(xí)4．等邊三角形的判定等腰第一章|復(fù)習(xí)5．直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)(1)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的_________；性質(zhì)(2)：直角三角形的兩個銳角互余．判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．6．勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的_______．逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是_________三角形．一半平方

直角

第一章|復(fù)習(xí)5．直角三角形的性質(zhì)及判定一半平方第一章|復(fù)習(xí)7．線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離_______．判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的_____________上．[點撥]線段的垂直平分線可以看作和線段兩個端點距離相等的所有點的集合．8．三角形三邊中垂線的性質(zhì)三角形三條邊的垂直平分線相交于_______，并且這一點到三角形三個頂點的距離________．相等垂直平分線

相等

一點

第一章|復(fù)習(xí)7．線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及判定第一章|復(fù)習(xí)9．角平分線的性質(zhì)定理及判定定理性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離_________．判定定理：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊________相等的點在這個角的平分線上．[注意]角的平分線是在角的內(nèi)部的一條射線，所以它的逆定理必須加上“在角的內(nèi)部”這個條件．10．三角形三條角平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離_________．相等

距離

相等

第一章|復(fù)習(xí)9．角平分線的性質(zhì)定理及判定定理相等考點攻略?考點一線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用例1

如圖1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于點E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，則∠BCE＝________.50°

[解析]根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，得EA＝EC，所以∠A＝∠ACE＝30°.又因為∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.圖1－1考點攻略?考點一線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用例1如圖1－1，第一章|復(fù)習(xí)[方法技巧]若題目中出現(xiàn)或經(jīng)過構(gòu)造出現(xiàn)線段垂直平分線，注意利用“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”解決問題。同時，在求一些邊長、周長或角的度數(shù)時，如果能恰當(dāng)?shù)剡\用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以大大簡化解題過程，同學(xué)們在學(xué)習(xí)中要注意到這一點！第一章|復(fù)習(xí)[方法技巧]第一章|復(fù)習(xí)例2?考點二：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用圖1－2第一章|復(fù)習(xí)例2?考點二：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用第一章|復(fù)習(xí)第一章|復(fù)習(xí)[方法技巧]

與全等三角形有關(guān)的開放型試題形式多樣，設(shè)計新穎，能培養(yǎng)同學(xué)們的逆向思維能力、創(chuàng)新能力和綜合運用知識的能力。解答條件開放型試題，需要執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結(jié)論成立的條件。同時要注意挖掘圖形中的隱含條件，如對頂角、公共角、公共邊等，然后合理選擇全等三角形的知識解決。另外，要注意這類題的答案往往不唯一，只要合理即可。[方法技巧]第一章|復(fù)習(xí)例3圖1－3?考點三勾股定理的應(yīng)用[解析]這個有趣的問題是勾股定理的典型應(yīng)用，此問題看上去是一個曲面上的路線問題，但實際上能通過圓柱的側(cè)面展開而轉(zhuǎn)化為平面上的路線問題，值得注意的是，在剪開圓柱側(cè)面時，要從A開始并垂直于AB剪開，這樣展開的側(cè)面是個矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解決此問題．第一章|復(fù)習(xí)例3圖1－3?考點三勾股定理的應(yīng)第一章|復(fù)習(xí)圖1－4[方法技巧]利用勾股定理解決最短路線問題的實質(zhì)是解決旋轉(zhuǎn)體的問題，也是把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的問題，即將原圖形的側(cè)面展開轉(zhuǎn)化為平面圖形——即“展曲為平”問題，特別要注意圓柱、圓錐的側(cè)面展開問題。這種由三維立體和二維平面的相互轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)下的素質(zhì)教育對學(xué)生空間想象能力、圖形識別能力及理解能力的要求，是考查空間觀念和嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真態(tài)度的很好題型。第一章|復(fù)習(xí)圖1－4[方法技巧]利用勾股定理解決

例4、已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F，且DE=DF.求證：△ABC是等腰三角形.EFCDAB

分析：要證△ABC是等腰三角形，可證∠B=∠C.反思：1、證明△ABC是等腰三角形的基本思路是什么？

2、點D在∠BAC的角平分線上嗎？為什么？?考點四等腰三角形的判別例4、已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點

例5.已知：如圖，P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D．求證：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分線．證明：(1)∵P是∠AOB角平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB∴PC=PD在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)．∴OC=OD(全等三角形對應(yīng)邊相等)．PDAECOB(2)又∵

OP是△OCD中∠AOB的角平分線，∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)．?考點五：線段的垂直平分線和角平分線例5.已知：如圖，P是∠AOB平分線上的一點，PCD針對訓(xùn)練3．以下命題中，是真命題的是(

)A．兩條直線只有相交和平行兩種位置關(guān)系B．同位角相等C．兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等D

CD針對訓(xùn)練3．以下命題中，是真命題的是()D4．下列說法中，正確的是(

)A．等腰三角形一邊上的中線也是這邊上的高B．等腰三角形的內(nèi)角平分線的交點到三個頂點的距離相等C．等邊三角形每條角平分線都平分對邊D．直角三角形一邊上的中線等于這邊的一半C

5．如圖1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝1